第四章 第一节 曲线运动运动的合成与分解-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第一节　曲线运动　运动的合成与分解　

一、曲线运动

1．曲线运动速度的方向

质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的__切线__方向。

2．曲线运动性质

速度的__方向__时刻改变，故曲线运动一定是__变速__运动，即必然具有加速度。

3．物体做曲线运动的条件

(1)运动学角度：__加速度__方向跟速度方向不在同一条直线上。

(2)动力学角度：所受__合外力__的方向跟速度方向不在同一条直线上。

4．合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在__合外力__方向与__速度__方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。

二、运动的合成与分解

1．分运动与合运动的关系

2.运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守__平行四边形__定则。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)

(2)做曲线运动的物体一定受变力作用，所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。(×)

(3)做曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能达到所受合外力的方向。(√)

(4)做曲线运动的物体一段时间内的位移可能等于0。(√)

(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√)

(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)

(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)

(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(√)

考点一　曲线运动的条件与轨迹分析

1．运动轨迹的判断

(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。

(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。

2．速率变化情况判断

(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。

(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。

(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

[题组突破]

[力与曲线运动]

1．(2020·江西上饶市重点中学六校第一次联考)下列关于运动和力的叙述中，正确的是(　　 )

A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的

B．物体做圆周运动，所受的合力一定是向心力

C．物体所受合力恒定，该物体速率随时间一定均匀变化

D．物体运动的速率在增加，所受合力一定做正功

[解析]　做曲线运动的物体，其加速度方向不一定是变化的，例如平抛运动，选项A错误；物体做匀速圆周运动时，所受的合力一定是向心力，选项B错误；物体所受合

力恒定，该物体速率随时间不一定均匀变化，例如平抛运动，选项C错误；根据动能定理可知，物体运动的速率在增加，所受合力一定做正功，选项D正确。

[答案]　D

[加速度方向与速率变化的关系]

2．如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直。在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．质点经过C点的速率比经过D点的大

B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°

C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大

D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小

[解析]　质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C错误；由于在D点时速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，B错误；质点由C到D速率减小，所以经过C点的速率比经过D点的大，A正确；质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角逐渐减小，D错误。

[答案]　A

考点二　运动的合成与分解

1．运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。

2．合运动的性质判断

(1)加速度(或合外力)

(2)

[例1]　(2020·江西宜春市第一学期期末)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v­t图象。以下判断正确的是(　　 )

A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动

B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动

C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动

D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动

[解析]　在0～1 s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，物体水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：ax＝4 m/s2，竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合速度为v0＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，则根据曲线运动条件可知，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误。

[答案]　C

◆规律总结　“化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用

1．分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动。

2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。

3．两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。

[跟踪训练]

1．质量为2 kg的质点在xOy平面上运动，x方向的速度—时间图象和y方向的位移—时间图象分别如图所示，则质点(　　)

A．初速度为4 m/s

B．所受合外力为4 N

C．做匀变速直线运动

D．初速度的方向与合外力的方向垂直

[解析]　由题图可知，质点在x轴方向的初速度为vx＝4 m/s，在y轴方向的初速度vy＝3 m/s，则质点的初速度v0＝＝5 m/s，故A错误；由题图可知，质点在x轴方向的加速度a＝2 m/s2，在y轴方向做匀速直线运动，所以质点所受合力F合＝ma＝4 N，故B正确；质点在x轴方向的合力恒定不变，在y轴方向做匀速直线运动，在y轴方向合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故C错误；质点的合力沿x轴方向，而初速度方向既不沿x轴方向，也不沿y轴方向，所以质点初速度的方向与合外力方向不垂直，故D错误。

[答案]　B

考点三　小船渡河模型

1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。

3．两种渡河方式

[例2]　小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s。

(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？

(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？

(3)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？

[解析]　(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动。因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝＝ s＝50 s

小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m

即船将在正对岸下游100 m处靠岸。

图1

(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图1所示，则cos θ＝＝＝，

故θ＝60°

即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝s＝s。

图2

(3)因为v船＝3 m/s＜v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游。如图2所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短。以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大。

则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°

又＝＝，代入数据解得x′≈267 m。

[答案]　见解析

◆规律总结　解决小船渡河问题应注意的两个要点

1．渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。

2．船渡河位移最短值与v船和v水大小关系有关，v船＞v水时，河宽即为最短位移，v船＜v水时，应利用图解求极值的方法处理。

[跟踪训练]

2．(2020·潍坊质检)如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，

让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是(　　)

A．小船渡河的轨迹为直线

B．小船在河水中的最大速度是5 m/s

C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度

D．小船渡河的时间是160 s

[解析]　小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，A错误。当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，B正确。小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错误。小船的渡河时间t＝200 s，D错误。

[答案]　B

绳(杆)端速度分解模型

1．模型特点

绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。

2．解题的一般思路

(1)明确合速度→物体的实际运动速度v。

(2)明确分速度→

3．常见的模型

(一)绳关联速度的分解

[典例1]　(2019·深圳市高级中学月考)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是(　　)

A．P的速率为v　　　　　 B．P的速率为vcos θ2

C．绳的拉力等于mgsin θ1  D．绳的拉力小于mgsin θ1

[解析]　将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为v1、v2，P的速率等于v1＝vcos θ2，A错误，B正确；小车向右做匀速直线运动，θ2减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误。

[答案]　B

[跟踪训练]

1．A、B两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)(　　)

A.　 B.　

C.　 D.

[解析]　设物体B的运动速度为vB，速度分解如图甲所示，则有vB＝①

物体A的合运动对应的速度为v1，它的速度分解如图乙所示，则有

v绳A＝v1cos α②

由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳B＝v绳A③

联立①②③式解得vB＝，选项D正确。

[答案]　D

(二)杆关联速度的分解

[典例2]　如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的小环M运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将(　　)

A．逐渐增大

B．先减小后增大

C．先增大后减小

D．逐渐减小

[解析]　设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点的线速度为v＝ω·。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆

方向分解，垂直于AB杆方向的分速度大小等于小环M绕A点的线速度v，则小环M的速度v′＝＝，随着时间的延长，则小环的速度将不断变大，故选项A正确，B、C、D错误。

[答案]　A

◆规律总结

解决绳(杆)端速度分解问题的技巧

1．明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度。

2．知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解。

3．求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。

[跟踪训练]

2．两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球a和b，小球a、b间用一细直棒相连，如图所示。当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求小球a、b实际速度大小之比。

[解析]　根据速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示。由图中几

何关系可得，a、b沿棒方向的分速度分别为vacos θ和vbsin θ，根据“关联速度”的特点可知，两小球沿棒的分速度大小相等，即有vacos θ＝vbsin θ，解得：＝tan θ。

[答案]　tan θ