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第四章 第4讲 万有引力定律及其应用—2022高中物理一轮复习学案
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这是一份第四章 第4讲 万有引力定律及其应用—2022高中物理一轮复习学案，共13页。
第4讲 万有引力定律及其应用
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 开普勒三定律
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是__椭圆__，太阳处在所有椭圆的一个__焦点__上。
开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内__扫过的面积__相等。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与__公转周期的二次方__的比值都相等，即＝k。
(1)对于椭圆轨道，公式＝k中的a是半长轴，即长轴的一半，注意椭圆轨道的对称性；
(2)对于圆轨道，公式＝k中的a是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引力等于向心力；
(3)公式＝k中的k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关。
知识点2 万有引力定律
1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
2．公式：F＝G，G为万有引力常量，G＝__6.67×10－11 N·m2/kg2__。
3．适用条件：适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
思考：卡文迪许把他的实验说成是可以“称量地球的质量”。阅读教材，怎样通过推导公式来证明卡文迪许的实验是能够称量地球质量的。
[答案] 若忽略地球自转的影响，则mg＝G，由此得到M＝。地球表面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就已知道，卡文迪许通过实验测得了引力常量G，所以就可以算出地球的质量M。
知识点3 人造卫星
表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法
G＝ma＝m＝mrω2＝__mr()2__
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。
基本特征：把天体运动看成是__匀速圆周__运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
知识点4 宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度，也是最大的线速度，其大小为v1＝__7.9__ km/s。
2．第二宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度。其大小为v2＝__11.2__ km/s。
3．第三宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为v3＝__16.7__ km/s。
思考：发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何计算第一宇宙速度？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[答案] (1)不同。围绕星球表面运转卫星的线速度即为第一宇宙速度。
(2)越大。
思维诊断：
(1)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。( × )
(2)牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万有引力常量。( × )
(3)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( √ )
(4)在地球上，若汽车的速度达到7.9k m/s，则汽车将飞离地面。( √ )
(5)“嫦娥三号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。( √ )
1．(2019·江西抚州七校联考)(多选)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球( CD )
A．绕地球运动的线速度更大
B．距离地球更近
C．绕地球运动的线速度更小
D．距离地球更远
[解析] 本题考查开普勒第二定律的应用。地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远，所以7月的月球离地球更远，根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，故A、B错误，C、D正确。
2．在距地面不同高度的太空有许多飞行器。其中“天舟一号”距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为500 km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则( A )
A．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度
C．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度
[解析] 根据万有引力提供飞行器的向心力，＝ma，a＝，“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度，故A正确；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝m，v＝，哈勃望远镜的线速度小于“张衡一号”的线速度，故B错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝mr，T＝，“天舟一号”的周期小于哈勃望远镜的周期，故C错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝mω2r，ω＝，哈勃望远镜的角速度小于“张衡一号”的角速度，故D错误。
3．(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是( CD )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的倍
[解析] 根据三个宇宙速度的定义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝，R火＝，则＝∶＝，选项D正确。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 中心天体质量和密度的估算
1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝mr，得M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例1 (2019·广东广州天河区二模)假定太阳系一颗质量均匀且可看成球体的小行星，起初自转可以忽略。现若该行星自转加快，当其自转的角速度增加为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对星球的压力减小至原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 本题考查行星密度的求解问题。忽略行星的自转影响时，该行星表面的物体受到的万有引力等于重力，即G＝mg，自转不可忽略时，万有引力提供重力及物体随行星自转的向心力，则自转角速度为ω时有G＝mg＋mω2r，行星的密度为ρ＝，解得ρ＝，故选B。
规律总结：
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F有两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
〔类题演练1〕
(2020·四川成都七中诊断)(多选)中国已经开发出了低轨道太空测试设备，目前安装在了“天宫二号”上进行测试。若该设备能将飞行器P送到火星附近使其绕火星做匀速圆周运动。如图所示，火星相对飞行器的张角为θ，火星半径为R，飞行器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r，已知引力常量为G。下列说法正确的是( BD )
A．若测得飞行器周期和火星半径R，可得到火星的质量
B．若测得飞行器周期和轨道半径r，可得到火星的质量
C．若测得飞行器周期和张角θ，可得到火星的质量
D．若测得飞行器周期和张角θ，可得到火星的平均密度
[解析] 本题考查根据卫星环绕中心天体做圆周运动，求解中心天体的质量、密度。设火星的质量为M，平均密度为ρ。飞行器的质量为m，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力有＝mr，得M＝，所以若测得飞行器周期和轨道半径r，可得到火星的质量，选项B正确；由几何关系得R＝rsin，所以M＝； 若测得飞行器周期、火星半径R和张角θ，可得到火星的质量，选项A、C错误；火星的平均密度ρ＝＝，知测得飞行器周期和张角，可得到火星的平均密度，选项D正确。
考点二 人造卫星问题
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称“黄金代换”。
(3)四个关系：人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。
＝ 越高越慢
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例2 (2019·重庆一中月考)如图所示，卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用T、a、v、S分别表示卫星的周期、加速度、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的是( A )
A．TA>TB B．aA>aB
C．vA>vB D．SA＝SB
[解析] 本题考查开普勒第二定律与万有引力定律的应用。根据万有引力提供向心力可得＝＝＝ma，可知线速度为v＝，周期为T＝，加速度为a＝，A的轨道半径较大，则vATB，aA
(2019·四川泸州一诊)2018年6月14日1时06分，探月工程“嫦娥四号”任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球约6.5万千米的地月拉格朗日L2点的Halo轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，地月L2是个“有趣”的位置，在这里中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，下列说法正确的是( D )
A．“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度比月球绕地球转动的角速度大
B．“鹊桥”中继星与地心的连线及月球与地心的连线在相同时间内分别扫过的面积相等
C．“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度小
D．“鹊桥”中继星绕地球转动的向心力由地球和月球的万有引力共同提供
[解析] 本题考查卫星运行规律。根据题意知“鹊桥”中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，根据ω＝知“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度与月球绕地球转动的角速度相等，故A错误；“鹊桥”中继星与地心的连线及月球与地心的连线在相同时间内分别转过的角度相等，但是因“鹊桥”中继星轨道半径大于月球轨道半径，可知在相同时间内分别扫过的面积不相等，故B错误；“鹊桥”中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据a＝ω2r知，ω相等时，“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大，故C错误；“鹊桥”中继星在地月连线延长线上，同时受地球及月球的万有引力，则绕地球转动的向心力由地球和月球的万有引力共同提供，故D正确。
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
多星运动模型
▼
(一)双星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
例3 (2019·吉林省实验中学八模)某双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动。这两颗星之间的距离为L，a星绕它们连线上的某点每秒转动n圈，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，引力常量为G。则( A )
A．a、b两颗星的质量之和为
B．a、b两颗星的质量之比为
C．b星的角速度为
D．a、b两颗星的轨道半径之比为
[解析] 本题考查双星问题。设a、b两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，由题意r1>r2，则r1＋r2＝L，r1－r2＝Δr，解得r1＝(L＋Δr)，r2＝(L－Δr)，则＝，选项D错误；两星围绕它们连线上的某点运动的角速度相同，a星绕它们连线上的某点每秒转动n圈，角速度为ω1＝2πn，则b星的角速度也为2πn，选项C错误；根据万有引力提供向心力可知＝m1r1ω2＝m2r2ω2，整理可得＝(r1＋r2)＝4π2n2L，解得质量之和m1＋m2＝，选项A正确；由＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可得a、b两颗星的质量之比为＝＝，选项B错误。
(二)三星模型
1．直线模型
如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上。两行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。
2．三角形模型
如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。三颗行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星的万有引力的合力来提供：×2×cos 30°＝ma
其中L＝2rcos 30°。
例4 (2019·甘肃静宁一中二模)(多选)三颗质量均为M的星球分别(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示，如果他们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是( BD )
A．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为
B．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
C．它们运行的轨道半径为L
D．它们运行的线速度大小为
[解析] 本题考查多星系统问题。根据万有引力定律，任意两个星体间的引力大小为F＝G，每个星球所受的合力为F合＝2Fcos 30°＝，根据几何关系可知，合力的方向指向圆心O，故A错误，B正确；由几何知识可知星球做圆周运动的轨道半径R＝＝L，故C错误；根据万有引力的合力提供向心力可知，F合＝M，可得v＝＝＝，故D正确。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2019·全国卷Ⅰ，21)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( AC )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
[解析] B错：如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有mPgM＝kx0，则mP＝；对Q有mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP。
A对：根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1。
C对：当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，
即EkP＝3mPa0x0－Ep弹；
对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，
即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹
＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP。
D错：P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中的最大压缩量为2x0，Q为4x0。
2．(2019·全国卷Ⅱ，14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( D )
A B C D
[解析] 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
3．(2019·全国卷Ⅲ，15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
[解析] 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识：
由G＝ma得向心加速度a＝，
由G＝m得速度v＝
由于R金＜R地＜R火
所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
4．(2019·北京，18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗
北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( D )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
[解析] A错： 同步卫星只能位于赤道正上方。
B错：由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)。
C错：同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度。
D对：若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少。
5．(2019·天津，1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( A )
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
[解析] A对：探测器绕月运动由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ 。
B错：由G＝m知，动能Ek＝mv2＝。
C错：由G＝mrω2得，角速度ω＝ 。
D错：由G＝ma得，向心加速度a＝。
第4讲 万有引力定律及其应用
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 开普勒三定律
开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是__椭圆__，太阳处在所有椭圆的一个__焦点__上。
开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内__扫过的面积__相等。
开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与__公转周期的二次方__的比值都相等，即＝k。
(1)对于椭圆轨道，公式＝k中的a是半长轴，即长轴的一半，注意椭圆轨道的对称性；
(2)对于圆轨道，公式＝k中的a是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引力等于向心力；
(3)公式＝k中的k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关。
知识点2 万有引力定律
1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
2．公式：F＝G，G为万有引力常量，G＝__6.67×10－11 N·m2/kg2__。
3．适用条件：适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离。
思考：卡文迪许把他的实验说成是可以“称量地球的质量”。阅读教材，怎样通过推导公式来证明卡文迪许的实验是能够称量地球质量的。
[答案] 若忽略地球自转的影响，则mg＝G，由此得到M＝。地球表面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就已知道，卡文迪许通过实验测得了引力常量G，所以就可以算出地球的质量M。
知识点3 人造卫星
表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法
G＝ma＝m＝mrω2＝__mr()2__
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。
基本特征：把天体运动看成是__匀速圆周__运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
知识点4 宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)
指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度，也是最大的线速度，其大小为v1＝__7.9__ km/s。
2．第二宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度。其大小为v2＝__11.2__ km/s。
3．第三宇宙速度
在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为v3＝__16.7__ km/s。
思考：发射卫星，要有足够大的速度才行，请思考：
(1)不同星球的第一宇宙速度是否相同？如何计算第一宇宙速度？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[答案] (1)不同。围绕星球表面运转卫星的线速度即为第一宇宙速度。
(2)越大。
思维诊断：
(1)当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。( × )
(2)牛顿根据前人的研究成果得出了万有引力定律，并测量得出了万有引力常量。( × )
(3)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。( √ )
(4)在地球上，若汽车的速度达到7.9k m/s，则汽车将飞离地面。( √ )
(5)“嫦娥三号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。( √ )
1．(2019·江西抚州七校联考)(多选)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球( CD )
A．绕地球运动的线速度更大
B．距离地球更近
C．绕地球运动的线速度更小
D．距离地球更远
[解析] 本题考查开普勒第二定律的应用。地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远，所以7月的月球离地球更远，根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，故A、B错误，C、D正确。
2．在距地面不同高度的太空有许多飞行器。其中“天舟一号”距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为500 km。若它们均可视为绕地球做圆周运动，则( A )
A．“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度
B．哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度
C．“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期
D．哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度
[解析] 根据万有引力提供飞行器的向心力，＝ma，a＝，“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度，故A正确；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝m，v＝，哈勃望远镜的线速度小于“张衡一号”的线速度，故B错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝mr，T＝，“天舟一号”的周期小于哈勃望远镜的周期，故C错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，＝mω2r，ω＝，哈勃望远镜的角速度小于“张衡一号”的角速度，故D错误。
3．(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是( CD )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的倍
[解析] 根据三个宇宙速度的定义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝，R火＝，则＝∶＝，选项D正确。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 中心天体质量和密度的估算
1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝mr，得M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
例1 (2019·广东广州天河区二模)假定太阳系一颗质量均匀且可看成球体的小行星，起初自转可以忽略。现若该行星自转加快，当其自转的角速度增加为ω时，该行星表面“赤道”上的物体对星球的压力减小至原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 本题考查行星密度的求解问题。忽略行星的自转影响时，该行星表面的物体受到的万有引力等于重力，即G＝mg，自转不可忽略时，万有引力提供重力及物体随行星自转的向心力，则自转角速度为ω时有G＝mg＋mω2r，行星的密度为ρ＝，解得ρ＝，故选B。
规律总结：
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F有两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
〔类题演练1〕
(2020·四川成都七中诊断)(多选)中国已经开发出了低轨道太空测试设备，目前安装在了“天宫二号”上进行测试。若该设备能将飞行器P送到火星附近使其绕火星做匀速圆周运动。如图所示，火星相对飞行器的张角为θ，火星半径为R，飞行器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r，已知引力常量为G。下列说法正确的是( BD )
A．若测得飞行器周期和火星半径R，可得到火星的质量
B．若测得飞行器周期和轨道半径r，可得到火星的质量
C．若测得飞行器周期和张角θ，可得到火星的质量
D．若测得飞行器周期和张角θ，可得到火星的平均密度
[解析] 本题考查根据卫星环绕中心天体做圆周运动，求解中心天体的质量、密度。设火星的质量为M，平均密度为ρ。飞行器的质量为m，周期为T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力有＝mr，得M＝，所以若测得飞行器周期和轨道半径r，可得到火星的质量，选项B正确；由几何关系得R＝rsin，所以M＝； 若测得飞行器周期、火星半径R和张角θ，可得到火星的质量，选项A、C错误；火星的平均密度ρ＝＝，知测得飞行器周期和张角，可得到火星的平均密度，选项D正确。
考点二 人造卫星问题
1．人造卫星的运动规律
(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称“黄金代换”。
(3)四个关系：人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。
＝ 越高越慢
2．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
3．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
例2 (2019·重庆一中月考)如图所示，卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用T、a、v、S分别表示卫星的周期、加速度、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的是( A )
A．TA>TB B．aA>aB
C．vA>vB D．SA＝SB
[解析] 本题考查开普勒第二定律与万有引力定律的应用。根据万有引力提供向心力可得＝＝＝ma，可知线速度为v＝，周期为T＝，加速度为a＝，A的轨道半径较大，则vA
(2019·四川泸州一诊)2018年6月14日1时06分，探月工程“嫦娥四号”任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球约6.5万千米的地月拉格朗日L2点的Halo轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，地月L2是个“有趣”的位置，在这里中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，下列说法正确的是( D )
A．“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度比月球绕地球转动的角速度大
B．“鹊桥”中继星与地心的连线及月球与地心的连线在相同时间内分别扫过的面积相等
C．“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度小
D．“鹊桥”中继星绕地球转动的向心力由地球和月球的万有引力共同提供
[解析] 本题考查卫星运行规律。根据题意知“鹊桥”中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，根据ω＝知“鹊桥”中继星绕地球转动的角速度与月球绕地球转动的角速度相等，故A错误；“鹊桥”中继星与地心的连线及月球与地心的连线在相同时间内分别转过的角度相等，但是因“鹊桥”中继星轨道半径大于月球轨道半径，可知在相同时间内分别扫过的面积不相等，故B错误；“鹊桥”中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据a＝ω2r知，ω相等时，“鹊桥”中继星绕地球转动的向心加速度比月球绕地球转动的向心加速度大，故C错误；“鹊桥”中继星在地月连线延长线上，同时受地球及月球的万有引力，则绕地球转动的向心力由地球和月球的万有引力共同提供，故D正确。
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
多星运动模型
▼
(一)双星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝
(5)双星的运动周期T＝2π
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝
例3 (2019·吉林省实验中学八模)某双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动。这两颗星之间的距离为L，a星绕它们连线上的某点每秒转动n圈，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，引力常量为G。则( A )
A．a、b两颗星的质量之和为
B．a、b两颗星的质量之比为
C．b星的角速度为
D．a、b两颗星的轨道半径之比为
[解析] 本题考查双星问题。设a、b两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，由题意r1>r2，则r1＋r2＝L，r1－r2＝Δr，解得r1＝(L＋Δr)，r2＝(L－Δr)，则＝，选项D错误；两星围绕它们连线上的某点运动的角速度相同，a星绕它们连线上的某点每秒转动n圈，角速度为ω1＝2πn，则b星的角速度也为2πn，选项C错误；根据万有引力提供向心力可知＝m1r1ω2＝m2r2ω2，整理可得＝(r1＋r2)＝4π2n2L，解得质量之和m1＋m2＝，选项A正确；由＝m1ω2r1＝m2ω2r2，可得a、b两颗星的质量之比为＝＝，选项B错误。
(二)三星模型
1．直线模型
如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上。两行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。
2．三角形模型
如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。三颗行星转动的方向相同，角速度、线速度的大小相等。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星的万有引力的合力来提供：×2×cos 30°＝ma
其中L＝2rcos 30°。
例4 (2019·甘肃静宁一中二模)(多选)三颗质量均为M的星球分别(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示，如果他们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是( BD )
A．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为
B．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
C．它们运行的轨道半径为L
D．它们运行的线速度大小为
[解析] 本题考查多星系统问题。根据万有引力定律，任意两个星体间的引力大小为F＝G，每个星球所受的合力为F合＝2Fcos 30°＝，根据几何关系可知，合力的方向指向圆心O，故A错误，B正确；由几何知识可知星球做圆周运动的轨道半径R＝＝L，故C错误；根据万有引力的合力提供向心力可知，F合＝M，可得v＝＝＝，故D正确。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2019·全国卷Ⅰ，21)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( AC )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
[解析] B错：如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有mPgM＝kx0，则mP＝；对Q有mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP。
A对：根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1。
C对：当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，
即EkP＝3mPa0x0－Ep弹；
对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，
即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹
＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP。
D错：P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中的最大压缩量为2x0，Q为4x0。
2．(2019·全国卷Ⅱ，14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( D )
A B C D
[解析] 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
3．(2019·全国卷Ⅲ，15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
[解析] 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识：
由G＝ma得向心加速度a＝，
由G＝m得速度v＝
由于R金＜R地＜R火
所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
4．(2019·北京，18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗
北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( D )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
[解析] A错： 同步卫星只能位于赤道正上方。
B错：由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)。
C错：同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度。
D对：若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少。
5．(2019·天津，1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( A )
A．周期为 B．动能为
C．角速度为 D．向心加速度为
[解析] A对：探测器绕月运动由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ 。
B错：由G＝m知，动能Ek＝mv2＝。
C错：由G＝mrω2得，角速度ω＝ 。
D错：由G＝ma得，向心加速度a＝。
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