第四章 第二节 平抛运动-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第二节　平抛运动　

一、平抛运动

1．平抛运动的特点

初速度方向__水平__，只受__重力__作用。

2．运动性质

平抛运动是加速度为g的__匀变速__运动，其运动轨迹是__抛物线__。

3．分析方法：运动的分解

(1)水平方向：__匀速直线__运动，vx＝__v0__，x＝__v0t__。

(2)竖直方向：__自由落体__运动，vy＝__gt__，y＝gt2。

(3)合运动

①合速度：v＝，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝＝　　。

②合位移：x合＝，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝　　。

二、斜抛运动

1．特点

初速度v0的方向__斜向上__或斜向下，只受__重力__作用。

2．运动性质

斜抛运动是加速度为g的__匀变速__运动，其运动轨迹是__抛物线__。

3．分析方法：运动的分解

以斜上抛为例，如图所示：

(1)水平方向：做__匀速直线__运动，vx＝v0cos θ。

(2)竖直方向：做__竖直上抛__运动，vy＝v0sin θ－gt。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)

(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)

(3)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。(√)

(4)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√)

(5)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的。(√)

(6)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。(×)

(7)对于在相同高度以相同速度平抛的物体，在月球上的水平位移和在地球上的水平位移相等。(×)

考点一　平抛运动的基本规律

1．飞行时间

t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。

2．水平射程

x＝v0t＝v即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。

3．落地速度

v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。

4．速度改变量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。

5．两个重要推论

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2 tan α，如图所示。

[例1]　(2020·南平模拟)如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是(　　)

A．小球通过B点的速度为12 m/s

B．小球的抛出速度为5 m/s

C．小球从A点运动到B点的时间为1 s

D．A、B之间的距离为6 m

[解析]　由平抛运动规律知v0＝vAsin 60°，v0＝vBsin 30°，解得v0＝5 m/s，vB＝10 m/s，选项A、B错误；竖直速度vAy＝vAcos 60°，vBy＝vBcos 30°，vBy＝vAy＋gt，解得t＝1 s，选项C正确；由v－v＝2gy，x＝v0t，s＝，解得s＝5 m，选项D错误。

[答案]　C

◆规律总结

分解思想在平抛运动中的应用

1．解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度，也不用分解加速度。

2．画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。

[跟踪训练]

1．(多选)(2021·山东师大附中模拟)以v0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移相等时，下列说法正确的是(　　)

A．此时速度的大小是v0

B．运动时间是

C．竖直分速度大小等于水平分速度大小

D．运动的位移是

[解析]　物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得水平方向上x＝v0t，竖直方向上h＝gt2，当其水平分位移与竖直分位移相等时，有x＝h，即v0t＝gt2，解得t＝，所以B正确；平抛运动竖直方向上的速度为vy＝gt＝g·＝2v0，所以C错误；此时合速度的大小为＝v0，所以A正确；由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以x＝h＝v0t＝v0·＝，所以此时运动的合位移的大小为＝x＝，所以D正确。

[答案]　ABD

考点二　限制条件下的平抛运动

(一)落点在竖直墙面上的平抛运动

[例2]　(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)

A．初速度之比是∶∶

B．初速度之比是1∶∶

C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶

D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶

[解析]　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝·gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误。

[答案]　AC

◆规律总结

某一固定点对着竖直墙壁抛出的物体运动规律

1．虽然初速度不同，但水平位移相同。

2．由竖直位移确定运动时间，t＝。

3．由运动时间确定水平初速度，v0＝。

[跟踪训练]

2．(2020·平潭县新世纪学校月考)某人在O点将质量为m的飞镖以不同大小的初速度沿OA水平投出，A为靶心且与O在同一高度，如图所示，飞镖水平初速度分别是v1、v2时打在靶上的位置分别是B、C，且AB∶BC＝1∶3则(　　)

A．两次飞镖从投出后到达靶的时间之比t1∶t2＝1∶3

B．两次飞镖投出的初速度大小之比v1∶v2＝2∶1

C．两次飞镖的速度变化量大小之比Δv1∶Δv2＝3∶1

D．适当减小m可使飞镖投中靶心

[解析]　忽略空气阻力，则飞镖被抛出做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2得：t＝，所以两次飞镖运动时间比t1∶t2＝∶＝1∶2，A错误；根据v＝，位移x相等，得v1∶v2＝t2∶t1＝2∶1，B正确；速度变化量Δv＝gt，所以两次飞镖的速度变化量大小之比Δv1∶Δv2＝t1∶t2＝1∶2，C错误；质量对平抛运动的过程没有影响，所以减小m不能使飞镖投中靶心，D错误。

[答案]　B

(二)与斜面有关的平抛运动

[例3]　(2020·济南期末)如图所示，斜面AC与水平方向的夹角为α，在底端A正上方与顶端等高处的E点以速度v0水平抛出一小球，小球垂直于斜面落到D点，重力加速度为g，则(　　)

A．小球在空中飞行时间为

B．小球落到斜面上时的速度大小为

C．小球的位移方向垂直于AC

D．CD与DA的比值为

[解析]　将小球在D点的速度进行分解，水平方向的分速度v1等于平抛运动的初速度v0，即v1＝v0，落到斜面上时的速度v＝，竖直方向的分速度v2＝，则小球在空中飞行时间t＝＝。由图可知平抛运动的位移方向不垂直AC。D、A间水平距离为x水平＝v0t，故DA＝；C、D间竖直距离为x竖直＝v2t，故CD＝，得＝。

[答案]　D

[规律总结]

与斜面相关联的平抛运动的分析方法

[跟踪训练]

3．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)

A．2倍　　 B．4倍　　

C．6倍　　 D．8倍

[解析]　如图所示，可知：

x＝vt，

x·tan θ＝gt2

vy＝gt＝2tan θ·v

则落至斜面的速率v落＝＝v，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为2∶1。

[答案]　A

(三)半圆内的平抛运动

[例4]　(2020·江西省赣州市十四县市期中)如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为(　　)

A．tan α  B．cos α

C．tan α α  D．cos α

[解析]　设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt，解得＝tan α，C正确。

[答案]　C

[跟踪训练]

4.

(2020·辽源市第五中学月考)如图所示，在竖直平面内有一固定的半圆环ACB，其中AB是它的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　)

A．只要v0足够大，小球一定可以不落在圆环上

B．只要v0取值不同，小球从抛出到落至环上的空中飞行时间就不同

C．初速度v0取值越小，小球从抛出到落至环上的空中飞行时间就越小

D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环

[解析]　小球飞出后平抛运动，竖直方向上必下落，故必落在圆环上，故A错误；平抛运动的物体飞行时间取决于竖直上下落的高度，当小球落在环上同一高度时飞行时间一定相同，但速度可不同；落在C点左侧时速度大者时间长，落在C点右侧时速度越大时间越短，故BC错误；因平抛运动的速度方向的反向延长线通过水平位移的中点，当小球垂直落在环上时，速度方向通过环心，而小球只要落在环上，水平位移都不可能达到2R，即水平位移的中点必在环心的左侧，故D正确。

[答案]　D

考点三　平抛运动的临界极值问题

[例5]　

(2020·福建泉州市第一次质量检查)某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸。圆心为O的圆弧槽BCD上开有小孔P，弹丸落到小孔时，速度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上(　　 )

A．位于B点时，只要弹丸射出速度合适就能过关

B．只要高于B点，弹丸射出速度合适都能过关

C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关

D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关

[解析]　根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可能沿OP方向从P点射出，故A错误；如图所示，根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可得：EN＝R(1＋cos α)，则竖直位移PN＝EN·tan α＝R(1＋cos α)tan α，弹射器离B点的高度为y＝PN－Rsin α＝R(tan α－sin α)，所以只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D错误，C正确。

[答案]　C

◆规律总结

平抛运动临界问题的技巧

1．临界点的确定

(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。

(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。

(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。

2．求解平抛运动临界问题的一般思路

(1)确定研究对象的运动性质。

(2)根据题意确定临界状态。

(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。

(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。

[跟踪训练]

5．在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。

(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；

(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；

(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。

[解析]　(1)打在中点的微粒h＝gt2①

t＝②

(2)打在B点的微粒v1＝，2h＝gt③

v1＝L④

同理，打在A点的微粒初速度v2＝L⑤

微粒初速度范围L≤v≤L⑥

(3)由能量关系mv＋mgh＝mv＋2mgh⑦

联立④⑤⑦式解得L＝2h。⑧

[答案]　(1)　(2)L≤v≤L

(3)L＝2h

体育运动中的平抛运动问题

平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，飞镖、射击、飞机投弹模型等。这些模型经常受到边界条件的制约，如网球是否触网或越界、飞镖是否能击中靶心、飞机投弹是否能命中目标等。解题的关键是能准确地运用平抛运动规律分析对应的运动特征。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件，尽可能画出示意图，应用平抛运动规律求解。

(一)乒乓球的平抛运动问题

[典例1]　(2021·浙江稽阳联谊学校一模)如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可绕竖直转轴OO′转动，发球器O′A部分水平且与桌面之间的距离为h，O′A部分的长度也为h。重力加速度为g。打开开关后，发球器可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，≤v0≤2。设发射出去的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°的范围内来回缓慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积S是(　　 )

A．2πh2　　 B．3πh2　　

C．4πh2　　 D．8πh2

[解析]　设乒乓球做平抛运动的时间为t，则t＝。当速度最大时，水平位移具有最大值xmax＝vmaxt＝2×＝4h，当速度最小时，水平位移具有最小值xmin＝vmint＝×＝2h，其中vmax、vmin为v0的最大值和最小值，又因为发球器O′A部分长度也为h，故乒乓球的落点距竖直转轴距离的范围为3h≤x≤5h，乒乓球第一次与桌面碰撞区域是一个圆心角为90°的宽度为2h的环形带状区域，其面积为S＝×π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故选项A、B、D错误，C正确。

[答案]　C

(二)足球的平抛运动问题

[典例2]　(2015·浙江卷)如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　)

A．足球位移的大小x＝

B．足球初速度的大小v0＝

C．足球末速度的大小v＝

D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝

[解析]　根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝，则足球位移的大小为：x＝＝，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝－，可得足球末速度v＝＝，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误。

[答案]　B

(三)排球的平抛运动问题

[典例3]　如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　)

A．H＝H　　　　　 B．H＝h

C．H＝h  D．H＝h

[解析]　将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故选项C正确。

[答案]　C

◆总结提升

在解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。