第十四章 第一节 机械振动-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第一节　机械振动　

一、简谐运动

1．简谐运动

(1)定义：如果质点的位移与__时间__的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x­t图象)是一条正弦曲线，这样的振动就叫做简谐运动。

(2)条件：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成__正比__，并且总是指向__平衡位置__，质点的运动就是简谐运动。

(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为__零__的位置。

(4)回复力：使物体返回到平衡位置的力。

①方向：总是指向__平衡位置__。

②来源：属于__效果__力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

第十四章　机械振动　机械波　光　电磁波　相对论高考总复习·物理2.简谐运动的两种模型

二、简谐运动的公式和图象

1．表达式

(1)动力学表达式：F＝__－kx__，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝__A·sin(ωt＋φ0)__，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做__初相__。

2．图象

(1)从__平衡位置__开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图甲所示。

(2)从__最大位移__处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示。

三、受迫振动和共振

1．受迫振动

系统在__驱动力__作用下的振动。受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与系统的固有频率__无关__。

2．共振

驱动力的频率与系统的固有频率__相等__时，受迫振动的振幅达到最大，这种现象叫做共振。共振曲线如图所示。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)简谐运动是匀变速运动。(×)

(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)

(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)

(4)简谐运动的回复力可以是恒力。(×)

(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)

(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)

(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)

(8)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。(×)

考点一　简谐运动的基本特征

简谐运动的规律——五个特征

1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

4．对称性特征

(1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。

(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。

5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

[例1]　(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1 sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是(　　)

A．h＝1.7 m

B．简谐运动的周期是0.8 s

C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m

D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反

[解析]　由小物块的运动方程可知，＝2.5π，T＝0.8 s，故B正确。0.6 s内物块运动了个周期，故路程应为0.3 m，C错。t＝0.4 s时物块运动了半个周期，正向下运动，与小球运动方向相同，故D错。t＝0.6 s时，物块的位移y＝－0.1 m，小球下落距离H＝gt2＝1.8 m，由题图可知，h＝H＋y＝1.7 m，故A正确。

[答案]　AB

◆规律方法

分析简谐运动的技巧

1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。

3．求解简谐运动问题紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。

[跟踪训练]

1．(多选)如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(　　)

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是2 s，振幅是5 cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm

D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm

[解析]　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，故A错误，B正确；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm,3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，故C错误，D正确。

[答案]　BD

考点二　简谐运动的图象

1．对简谐运动图象的认识

(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。

(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。

2．图象信息

(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。

(4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴。

(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。

(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。

[例2]　(2020·襄阳调研)在图甲中，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝0.2 kg的小球，现让小球在竖直方向上做简谐运动，小球从最高点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移y随时间t按正弦规律变化，如图乙所示。取g＝10 m/s2。

(1)写出小球相对平衡位置的位移y的表达式；

(2)求0～9.2 s内小球的总路程L，并指出t＝9.2 s时小球的位置。

[解析]　(1)由题图乙可知，周期T＝0.8 s

振幅A＝0.1 m

小球相对平衡位置的位移y＝Acos t

即y＝0.1cosπt(m)

(2)由于n＝＝11

0～9.2 s内小球的总路程L＝n·4A

解得L＝4.6 m

t＝9.2 s时小球处于最低点。

[答案]　(1)y＝0.1cos πt(m)　(2)4.6 m　最低点

◆规律方法

简谐运动图象问题的两种分析方法

方法一：图象—运动结合法

解此类题时，首先要理解x­t图象的意义，其次要把x­t图象与质点的实际振动过程联系起来。图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。

方法二：直观结论法

简谐运动的图象表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移—时间的函数关系图象，不是物体的运动轨迹。

[跟踪训练]

2．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x­t关系的是(　　)

[解析]　由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的摆长越大，周期越大，题中单摆在一个全振动中，当x＞0时摆长为l，T1＝2π；当x＜0时，摆长为，T2＝π，则T1＝2T2，由机械能守恒定律可知，小球将运动到与初始位置等高的地方，由几何关系可知，当x＜0时，振幅变小，故A项正确。

[答案]　A

◆规律总结

对振动图象的理解

1．简谐运动的图象不是振动质点的轨迹，它表示的是振动物体的位移随时间变化的规律。

2．因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。

3．速度方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如果增加，振动质点的速度方向就远离t轴，下一时刻的位移如果减小，振动质点的速度方向就指向t轴。

考点三　受迫振动和共振

1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较

2.对共振的理解

(1)共振曲线

如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。

(2)受迫振动中系统能量的转化；

做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

[题组突破]

[受迫振动的理解]

1．(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆。下列说法正确的是(　　)

A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同

B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π

C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A

D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大

E．驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量

[解析]　某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝＝－x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和信息，D正确，E错误。

[答案]　ABD

[共振现象的理解]

2．(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车由于受到周期性的冲击力做受迫振动。普通钢轨长为12.6 m，列车的固有振动周期为0.315 s。下列说法正确的是(　　)

A．列车的危险速率为40 m/s

B．列车过桥需要减速，是为了防止列车与桥发生共振现象

C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的

D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行

[解析]　对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率v＝＝40 m/s，A正确；为了防止共振现象发生，过桥时需要减速，B正确；列车运行时的振动频率总等于驱动力的频率，只有共振时才等于列车的固有频率，C错误；由v＝可知，l增大，T不变，v变大，所以D正确。

[答案]　ABD

考点四　实验：探究单摆的运动　用单摆测定重力加速度

一、实验目的

1．练习使用秒表和刻度尺，测单摆的周期和摆长。

2．用单摆测出当地重力加速度g。

二、实验原理

T＝2π―→g＝。

三、实验器材

单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、秒表。

四、实验步骤

1．做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。

2．测摆长：用刻度尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。

3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期。

4．改变摆长，重做几次实验。

五、数据处理

1．公式法：g＝l。

2．图象法：画L－T2图象。

六、注意事项

1．选用1 m左右的细线。

2．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。

3．小球在同一竖直面内摆动，且摆角小于5°。

4．选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。

5．小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。

[例3]　某同学利用单摆测量重力加速度。

(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是(　　)

A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球

B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线

C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动

D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大

(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆。实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝__________。

[审题指导]　单摆是一种理想化模型，要求摆球可视为质点，绳为不可伸长的轻绳且摆角小于5°；由周期公式T＝2π可得g的表达式。

[解析]　(1)组装单摆时，悬线应选用不易伸长的细线；摆球选择体积小、密度大的摆球；单摆摆动时在同一竖直面内摆动；摆的振幅尽量小一些。选项B、C正确。

(2)设单摆的周期为T1时摆长为L1，周期为T2时摆长为L2

则T1＝2π①

T2＝2π②

且L1－L2＝ΔL③

联立①②③式得g＝。

[答案]　(1)BC　(2)

[跟踪训练]

3．根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。

(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为____________ mm。

(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有____________。(填正确选择序号)

a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些

b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的

c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度

d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T

e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝

[解析]　(1)按照游标卡尺的读数原则测得小钢球直径为18 mm＋7×0.1 mm＝18.7 mm。

(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小，密度大的；偏角不超过5°，故a、b正确，c错误。为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间。故d错误，e正确。

[答案]　(1)18.7　(2)abe