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第五章 第1讲 功 功率—2022高中物理一轮复习学案
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这是一份第五章 第1讲 功 功率—2022高中物理一轮复习学案，共12页。
第1讲 功 功率
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 功
1．定义：物体受到力的作用，并在__力的方向上__发生一段位移，就说力对物体做了功。
2．做功的两个必要条件：
力和物体在力的方向上发生的__位移__。
3．公式：W＝__Flcos α__，其中F是恒力，l是位移，α是__力F__和__位移l__的夹角。
4．单位：焦耳(J)。
5．功是__标量__，没有方向，但有正、负。根据W＝Flcos α可知：
(1)当0°≤α<90°时，力对物体做__正__功，是动力，物体获得动能。
(2)当90°<α≤180°时，力对物体做__负__功(如－2 J，也称物体克服这个力做了2 J的功)，是阻力，物体向外转移动能。
(3)当α＝90°时，力对物体__不__做功。
可见，正功、负功表示对物体做功的力是__动__力或__阻__力，以及力对物体做功引起能量的转化。
思考：一阵风水平吹过，将熟透的苹果从2 m高的枝头吹落。若苹果重2 N，风力恒为3 N，下落的水平位移为1 m。
(1)苹果下落过程中，重力和风力各做多少功？
(2)重力和风力对苹果做的总功能不能用平行四边形定则来求？若不能应该怎么求？所做总功为多少？总结出两个力的总功的求法。
[答案] (1)重力做功为4 J，风力做功为3 J。(2)不能，各力做功的代数和为总功，总功为7 J。
知识点2 功率
1．公式
(1)P＝，P为时间t内的__平均功率__。
(2)P＝__Fvcos_α__，α为F与v的夹角。
①若v为平均速度，则P为__平均功率__。
②若v为瞬时速度，则P为__瞬时功率__。
2．物理意义：描述做功的__快慢__，功率大则做功__快__，功率小则做功__慢__。
3．额定功率：机器__正常__工作的功率，一般在机器的铭牌上标明。
4．实际功率：机器__实际工作__时输出的功率。要求__小于等于__额定功率。
思考：汽车以不同方式启动，一次以恒定功率启动，一次匀加速启动。
(1)用公式P＝Fv研究汽车启动问题时，力F是什么力？
(2)以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？
(3)汽车上坡的时候，司机师傅必须换挡，其目的是什么？
[答案] (1)牵引力 (2)变化，做加速度减小的加速运动 (3)减小速度，增大牵引力。
思维诊断：
(1)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( √ )
(2)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。( × )
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。( × )
(4)据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。( √ )
(5)汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较小的牵引力。( × )
1.如图所示，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是( C )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
[解析] A对地面虽然有摩擦力，但在力的作用下地面没有发生位移，所以滑动摩擦力不做功，B对A的静摩擦力向右，A的位移也向右，所以该静摩擦力做正功，故C正确。
2.如图所示，匈牙利大力士希恩考·若尔特曾用牙齿拉动50 t的A320客机。他把一条绳索的一端系在飞机下方的前轮处，另一端用牙齿紧紧咬住，在52 s的时间内将客机拉动了约40 m，假设大力士牙齿的拉力约为5×103 N，绳子与水平方向夹角θ约为30°，则飞机在被拉动的过程中( B )
A．重力做功为2.0×107J
B．拉力做功约1.7×105J
C．克服阻力做功约1.5×105J
D．合外力做功约2.0×105J
[解析] 飞机在水平方向被拉动，故此过程中飞机的重力不做功，故A错误；根据W＝Fscos θ＝5×103×40× J＝1.7×105 J，故B正确；飞机获得的动能Ek＝mv2＝m()2＝×50×103×(2×)2 J＝5.9×104 J，根据动能定理可知，合外力做功为5.9×104 J，又拉力做功1.7×105 J，所以克服阻力做功1.11×105 J，故C、D均错误。
3．一个成年人以正常的速度骑自行车，受到的阻力为总重力的0.02倍，则成年人骑自行车行驶时的功率最接近于( C )
A．1 W B．10 W
C．100 W D．1000 W
[解析] 设人和车的总质量为100 kg，匀速行驶时的速率为5 m/s，匀速行驶时的牵引力与阻力大小相等，F＝0.02mg＝20 N，则人骑自行车行驶时的功率为P＝Fv＝100 W，故C正确。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 功的分析与计算
1．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据
适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度α的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
(3)变力做的功
①应用动能定理求解。
②用W＝Pt求解，其中变力的功率P不变。
③当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
④有些变力做功问题通过转换研究对象，可转换为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功问题。
⑤在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、梯形、圆等规则的几何图形)。
例1 (2019·福建邵武七中期中)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( A )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
[解析] 本题考查做功和功率问题。根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝＝m，故C错误；对人由牛顿第二定律可得f－F＝ma，则f＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W＝fL＝(F＋ma)L，故D错误。
〔类题演练1〕
(2020·江西丰城九中段考)20世纪五六十年代，人们通常通过“拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为( B )
A．0 B．2πrF
C．2Fr D．－2πrF
[解析] 本题使用微元法考查变力做功问题。由题可知推力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长L＝2πr，所以拉力所做的功W＝FL＝2πrF，故选项B正确，选项A、C、D错误。
考点二 功率的计算
计算功率的方法
1．平均功率的计算方法
(1)利用 ＝。
(2)利用 ＝F·cos θ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
例2 (2019·襄阳模拟)如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2所示，g＝10 m/s2，则( B )
A．第1 s内推力做功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功为W＝2.0 J
C．第1.5 s时推力F的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率1.5 W
[解析] A项，从速度－时间图象中可知物体在第1 s内速度为零，即处于静止状态，所以推力做功为零，故A项错误；B项，速度－时间图象与坐标轴围成的面积表示位移，所以第2 s内的位移为x＝×1×2 m＝1 m，由速度－时间图象可以知道在2～3 s的时间内，物体匀速运动，处于受力平衡状态，所以滑动摩擦力的大小为2 N，故摩擦力做功为Wf＝－fx＝－2×1 J＝－2 J，所以克服摩擦力做功2 J，故B项正确；C项，第1.5 s速度为1 m/s，故第1.5 s时推力的功率为P＝Fv＝3×1 W＝3 W，故C项错误；D项，在第二秒内F的功为：W＝Fx＝3×1 J＝3 J，所以第2 s内推力F做功的平均功率为：＝＝ W＝3 W，故D项错误。
规律总结：
计算功率的基本思路
(1)首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。
〔类题演练2〕
如图所示，四个相同的小球A、B、C、D，其中A、B、C位于同一高度h处，A做自由落体运动，B沿光滑斜面由静止滑下，C做平抛运动，D从地面开始做斜抛运动，其运动的最大高度也为h。在每个小球落地的瞬间，其重力的功率分别为PA、PB、PC、PD。下列关系式正确的是( C )
A．PA＝PB＝PC＝PD B．PA＝PC>PB＝PD
C．PA＝PC＝PD>PB D．PA>PC＝PD>PB
[解析] A做自由落体运动，C做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，故A、C、D落地时竖直方向的速度大小相同，故落地时的功率P＝mgv相同，B沿斜面下滑，下滑到斜面底端的速度跟A落地时的速度相同，但速度方向与重力方向成一定的夹角，故功率小于A的功率，故C项正确。
考点三 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
a＝不变⇒
F不变⇒v↑P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以v m匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒以v m＝匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝
例3 在港珠澳大桥6.7千米海底隧道的两端各建有一个人工岛，两人工岛及隧道路面可简化成如图所示，各部分的长度已在图中标出，其中倾斜路面与水平路面之间有一小段圆弧连接，重力加速度为g。
(1)假设汽车在倾斜路面上运动所受阻力和在水平路面上运动所受阻力相等。若汽车关闭发动机后刚好能够从左侧倾斜路面向下匀速运动，求汽车关闭发动机以速度v0从左侧倾斜路面的最高点向下运动后，能够在水平路面上运动的距离s(s
(3)已知质量为m、额定功率为P的汽车在图中右侧倾斜路面上向上行驶的最大速度为vm2，求汽车以额定功率在右侧倾斜路面上向上行驶速度为v1(v1
汽车运动到水平路面时速度为v0，由动能定理得－f1s＝0－mv，联立解得s＝。
(2)汽车启动过程中达到最大速度vm1时，牵引力等于阻力，则P＝f2vm1，解得阻力f2＝；
设在匀加速启动过程中，汽车做匀加速运动的牵引力为F，达到额定功率时的速度为v、时间为t，则P＝Fv，v＝at，F－f2＝ma
联立解得t＝。
(3)由P＝F阻vm2(F阻包含重力沿斜面向下的分力)
解得阻力F阻＝
当汽车速度为v1时牵引力F1＝
由牛顿第二定律有F1－F阻＝ma1
联立解得a1＝－。
[答案] (1) (2) (3)－
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
功和功率计算中的两类易错题
▼
一、滑轮两侧细绳平行
例4 如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( C )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
[解析] 由题图乙可知，v－t图象的斜率表示物体加速度的大小，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误。
规律总结：
(1)不计摩擦和滑轮质量时，滑轮两侧细绳拉力大小相等。
(2)通过定滑轮连接的两物体，位移大小相等。
(3)通过动滑轮拉动物体时，注意物体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。
二、滑轮两侧细绳不平行
例5 一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示，当用力F拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和滑轮摩擦)是( B )
A．Fscos θ B．Fs(1＋cos θ)
C．2Fscos θ D．2Fs
[解析] 方法一：如图所示，力F作用点的位移l＝2scos，
故拉力F所做的功W＝Flcos α＝2Fscos2＝Fs(1＋cos θ)。
方法二：可看成两股绳都在对木块做功W＝Fs＋Fscos θ＝Fs(1＋cos θ)，则B正确。
规律总结：
对于通过动滑轮拉物体，当拉力F的方向与物体的位移方向不同时，拉力F做的功可用如下两种思路求解：
(1)用W＝Flcos α求，其中l为力F作用点的位移，α为F与l之间的夹角。
(2)用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2018·全国卷Ⅲ，19)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( AC )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
[解析] A对：由图线①知，上升总高度h＝·2t0＝v0t0。
由图线②知，加速阶段和减速阶段上升高度和
h1＝·(＋)＝v0t0
匀速阶段：h－h1＝v0·t′，解得t′＝t0
故第②次提升过程所用时间为＋t0＋＝t0
两次上升所用时间之比为2t0∶t0＝4∶5。B错：由于加速阶段加速度相同，故加速时牵引力相同。C对：在加速上升阶段，由牛顿第二定律知，
F－mg＝ma，F＝m(g＋a)
第①次在t0时刻，功率P1＝F·v0
第②次在时刻，功率P2＝F·
第②次在匀速阶段P2′＝F′·＝mg·
2.(2019·广东清远期末)如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过光滑滑轮用不可伸长的轻绳将物块A拉着向上运动，拉力为F，在物块A匀速上升过程中，下列说法正确的是( D )
A．拉力F变小
B．杆对A的弹力N不变
C．绳子自由端(右端)的速率增大
D．拉力F的功率P不变
[解析] 本题考查受力及功率的计算。设绳子与竖直方向上的夹角为θ，因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，受力分析得Fcos θ＝mg，因为θ增大，则cos θ减小， 则F增大； 水平方向合力为零，有N＝Fsin θ，F增大，sin θ增大，N增大，故A、B错误；物块A沿绳子方向上的分速度v1＝vcos θ，该速度等于绳子自由端的速度，θ增大，绳子自由端速度减小，拉力的功率P＝Fv1＝vcos θ＝mgv，知拉力的功率不变，故C错误，D正确。
3．(2020·吉林五地六校合作体联考)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v－t图象如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是( C )
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
[解析] 本题考查定加速度与定功率启动问题。由图象可知匀加速直线运动的加速度a＝＝ m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得牵引力为F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误；额定功率为P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，故C正确；当车的速度是25 m/s时，牵引力F′＝＝ N＝4 000 N，此时车的加速度a′＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B错误；当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为vm＝＝＝ m/s＝100 m/s，故D错误。
4．(2018·天津理综，10)我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1 倍，重力加速度取g＝10 m/s2。求飞机滑跑过程中
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P。
[答案] (1)2 m/s2 (2)8.4×106W
[解析] (1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有
v2＝2ax①
代入数据解得
a＝2 m/s2②
(2)设飞机滑跑受到的阻力为F阻，依题意有
F阻＝0.1mg③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有
F－F阻＝ma④
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有
＝⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率
P＝F⑥
联立②③④⑤⑥式得
P＝8.4×106W⑦
第1讲 功 功率
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 功
1．定义：物体受到力的作用，并在__力的方向上__发生一段位移，就说力对物体做了功。
2．做功的两个必要条件：
力和物体在力的方向上发生的__位移__。
3．公式：W＝__Flcos α__，其中F是恒力，l是位移，α是__力F__和__位移l__的夹角。
4．单位：焦耳(J)。
5．功是__标量__，没有方向，但有正、负。根据W＝Flcos α可知：
(1)当0°≤α<90°时，力对物体做__正__功，是动力，物体获得动能。
(2)当90°<α≤180°时，力对物体做__负__功(如－2 J，也称物体克服这个力做了2 J的功)，是阻力，物体向外转移动能。
(3)当α＝90°时，力对物体__不__做功。
可见，正功、负功表示对物体做功的力是__动__力或__阻__力，以及力对物体做功引起能量的转化。
思考：一阵风水平吹过，将熟透的苹果从2 m高的枝头吹落。若苹果重2 N，风力恒为3 N，下落的水平位移为1 m。
(1)苹果下落过程中，重力和风力各做多少功？
(2)重力和风力对苹果做的总功能不能用平行四边形定则来求？若不能应该怎么求？所做总功为多少？总结出两个力的总功的求法。
[答案] (1)重力做功为4 J，风力做功为3 J。(2)不能，各力做功的代数和为总功，总功为7 J。
知识点2 功率
1．公式
(1)P＝，P为时间t内的__平均功率__。
(2)P＝__Fvcos_α__，α为F与v的夹角。
①若v为平均速度，则P为__平均功率__。
②若v为瞬时速度，则P为__瞬时功率__。
2．物理意义：描述做功的__快慢__，功率大则做功__快__，功率小则做功__慢__。
3．额定功率：机器__正常__工作的功率，一般在机器的铭牌上标明。
4．实际功率：机器__实际工作__时输出的功率。要求__小于等于__额定功率。
思考：汽车以不同方式启动，一次以恒定功率启动，一次匀加速启动。
(1)用公式P＝Fv研究汽车启动问题时，力F是什么力？
(2)以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？
(3)汽车上坡的时候，司机师傅必须换挡，其目的是什么？
[答案] (1)牵引力 (2)变化，做加速度减小的加速运动 (3)减小速度，增大牵引力。
思维诊断：
(1)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( √ )
(2)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。( × )
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。( × )
(4)据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。( √ )
(5)汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较小的牵引力。( × )
1.如图所示，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是( C )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
[解析] A对地面虽然有摩擦力，但在力的作用下地面没有发生位移，所以滑动摩擦力不做功，B对A的静摩擦力向右，A的位移也向右，所以该静摩擦力做正功，故C正确。
2.如图所示，匈牙利大力士希恩考·若尔特曾用牙齿拉动50 t的A320客机。他把一条绳索的一端系在飞机下方的前轮处，另一端用牙齿紧紧咬住，在52 s的时间内将客机拉动了约40 m，假设大力士牙齿的拉力约为5×103 N，绳子与水平方向夹角θ约为30°，则飞机在被拉动的过程中( B )
A．重力做功为2.0×107J
B．拉力做功约1.7×105J
C．克服阻力做功约1.5×105J
D．合外力做功约2.0×105J
[解析] 飞机在水平方向被拉动，故此过程中飞机的重力不做功，故A错误；根据W＝Fscos θ＝5×103×40× J＝1.7×105 J，故B正确；飞机获得的动能Ek＝mv2＝m()2＝×50×103×(2×)2 J＝5.9×104 J，根据动能定理可知，合外力做功为5.9×104 J，又拉力做功1.7×105 J，所以克服阻力做功1.11×105 J，故C、D均错误。
3．一个成年人以正常的速度骑自行车，受到的阻力为总重力的0.02倍，则成年人骑自行车行驶时的功率最接近于( C )
A．1 W B．10 W
C．100 W D．1000 W
[解析] 设人和车的总质量为100 kg，匀速行驶时的速率为5 m/s，匀速行驶时的牵引力与阻力大小相等，F＝0.02mg＝20 N，则人骑自行车行驶时的功率为P＝Fv＝100 W，故C正确。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 功的分析与计算
1．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据
适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度α的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
(3)变力做的功
①应用动能定理求解。
②用W＝Pt求解，其中变力的功率P不变。
③当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
④有些变力做功问题通过转换研究对象，可转换为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功问题。
⑤在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、梯形、圆等规则的几何图形)。
例1 (2019·福建邵武七中期中)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( A )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
[解析] 本题考查做功和功率问题。根据功的公式可知，人对车的推力做功W＝FL，故A正确；在水平方向上，由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F′＝ma，由牛顿第三定律可知人对车的作用力为－ma，人对车做功W＝－maL，故B错误；人水平方向受到的合力为ma，竖直方向上车对人还有支持力，故车对人的作用力为N＝＝m，故C错误；对人由牛顿第二定律可得f－F＝ma，则f＝ma＋F，车对人的摩擦力做功为W＝fL＝(F＋ma)L，故D错误。
〔类题演练1〕
(2020·江西丰城九中段考)20世纪五六十年代，人们通常通过“拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为( B )
A．0 B．2πrF
C．2Fr D．－2πrF
[解析] 本题使用微元法考查变力做功问题。由题可知推力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长L＝2πr，所以拉力所做的功W＝FL＝2πrF，故选项B正确，选项A、C、D错误。
考点二 功率的计算
计算功率的方法
1．平均功率的计算方法
(1)利用 ＝。
(2)利用 ＝F·cos θ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
例2 (2019·襄阳模拟)如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2所示，g＝10 m/s2，则( B )
A．第1 s内推力做功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功为W＝2.0 J
C．第1.5 s时推力F的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率1.5 W
[解析] A项，从速度－时间图象中可知物体在第1 s内速度为零，即处于静止状态，所以推力做功为零，故A项错误；B项，速度－时间图象与坐标轴围成的面积表示位移，所以第2 s内的位移为x＝×1×2 m＝1 m，由速度－时间图象可以知道在2～3 s的时间内，物体匀速运动，处于受力平衡状态，所以滑动摩擦力的大小为2 N，故摩擦力做功为Wf＝－fx＝－2×1 J＝－2 J，所以克服摩擦力做功2 J，故B项正确；C项，第1.5 s速度为1 m/s，故第1.5 s时推力的功率为P＝Fv＝3×1 W＝3 W，故C项错误；D项，在第二秒内F的功为：W＝Fx＝3×1 J＝3 J，所以第2 s内推力F做功的平均功率为：＝＝ W＝3 W，故D项错误。
规律总结：
计算功率的基本思路
(1)首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。
〔类题演练2〕
如图所示，四个相同的小球A、B、C、D，其中A、B、C位于同一高度h处，A做自由落体运动，B沿光滑斜面由静止滑下，C做平抛运动，D从地面开始做斜抛运动，其运动的最大高度也为h。在每个小球落地的瞬间，其重力的功率分别为PA、PB、PC、PD。下列关系式正确的是( C )
A．PA＝PB＝PC＝PD B．PA＝PC>PB＝PD
C．PA＝PC＝PD>PB D．PA>PC＝PD>PB
[解析] A做自由落体运动，C做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，故A、C、D落地时竖直方向的速度大小相同，故落地时的功率P＝mgv相同，B沿斜面下滑，下滑到斜面底端的速度跟A落地时的速度相同，但速度方向与重力方向成一定的夹角，故功率小于A的功率，故C项正确。
考点三 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝↓
⇒a＝↓
a＝不变⇒
F不变⇒v↑P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动性质
以v m匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒以v m＝匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝
例3 在港珠澳大桥6.7千米海底隧道的两端各建有一个人工岛，两人工岛及隧道路面可简化成如图所示，各部分的长度已在图中标出，其中倾斜路面与水平路面之间有一小段圆弧连接，重力加速度为g。
(1)假设汽车在倾斜路面上运动所受阻力和在水平路面上运动所受阻力相等。若汽车关闭发动机后刚好能够从左侧倾斜路面向下匀速运动，求汽车关闭发动机以速度v0从左侧倾斜路面的最高点向下运动后，能够在水平路面上运动的距离s(s
(3)已知质量为m、额定功率为P的汽车在图中右侧倾斜路面上向上行驶的最大速度为vm2，求汽车以额定功率在右侧倾斜路面上向上行驶速度为v1(v1
汽车运动到水平路面时速度为v0，由动能定理得－f1s＝0－mv，联立解得s＝。
(2)汽车启动过程中达到最大速度vm1时，牵引力等于阻力，则P＝f2vm1，解得阻力f2＝；
设在匀加速启动过程中，汽车做匀加速运动的牵引力为F，达到额定功率时的速度为v、时间为t，则P＝Fv，v＝at，F－f2＝ma
联立解得t＝。
(3)由P＝F阻vm2(F阻包含重力沿斜面向下的分力)
解得阻力F阻＝
当汽车速度为v1时牵引力F1＝
由牛顿第二定律有F1－F阻＝ma1
联立解得a1＝－。
[答案] (1) (2) (3)－
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
功和功率计算中的两类易错题
▼
一、滑轮两侧细绳平行
例4 如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( C )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
[解析] 由题图乙可知，v－t图象的斜率表示物体加速度的大小，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝Fl＝84 J，故平均功率＝＝21 W，D错误。
规律总结：
(1)不计摩擦和滑轮质量时，滑轮两侧细绳拉力大小相等。
(2)通过定滑轮连接的两物体，位移大小相等。
(3)通过动滑轮拉动物体时，注意物体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。
二、滑轮两侧细绳不平行
例5 一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示，当用力F拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和滑轮摩擦)是( B )
A．Fscos θ B．Fs(1＋cos θ)
C．2Fscos θ D．2Fs
[解析] 方法一：如图所示，力F作用点的位移l＝2scos，
故拉力F所做的功W＝Flcos α＝2Fscos2＝Fs(1＋cos θ)。
方法二：可看成两股绳都在对木块做功W＝Fs＋Fscos θ＝Fs(1＋cos θ)，则B正确。
规律总结：
对于通过动滑轮拉物体，当拉力F的方向与物体的位移方向不同时，拉力F做的功可用如下两种思路求解：
(1)用W＝Flcos α求，其中l为力F作用点的位移，α为F与l之间的夹角。
(2)用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2018·全国卷Ⅲ，19)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( AC )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
[解析] A对：由图线①知，上升总高度h＝·2t0＝v0t0。
由图线②知，加速阶段和减速阶段上升高度和
h1＝·(＋)＝v0t0
匀速阶段：h－h1＝v0·t′，解得t′＝t0
故第②次提升过程所用时间为＋t0＋＝t0
两次上升所用时间之比为2t0∶t0＝4∶5。B错：由于加速阶段加速度相同，故加速时牵引力相同。C对：在加速上升阶段，由牛顿第二定律知，
F－mg＝ma，F＝m(g＋a)
第①次在t0时刻，功率P1＝F·v0
第②次在时刻，功率P2＝F·
第②次在匀速阶段P2′＝F′·＝mg·
2.(2019·广东清远期末)如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过光滑滑轮用不可伸长的轻绳将物块A拉着向上运动，拉力为F，在物块A匀速上升过程中，下列说法正确的是( D )
A．拉力F变小
B．杆对A的弹力N不变
C．绳子自由端(右端)的速率增大
D．拉力F的功率P不变
[解析] 本题考查受力及功率的计算。设绳子与竖直方向上的夹角为θ，因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，受力分析得Fcos θ＝mg，因为θ增大，则cos θ减小， 则F增大； 水平方向合力为零，有N＝Fsin θ，F增大，sin θ增大，N增大，故A、B错误；物块A沿绳子方向上的分速度v1＝vcos θ，该速度等于绳子自由端的速度，θ增大，绳子自由端速度减小，拉力的功率P＝Fv1＝vcos θ＝mgv，知拉力的功率不变，故C错误，D正确。
3．(2020·吉林五地六校合作体联考)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v－t图象如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10 m/s2，则以下说法正确的是( C )
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×102 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为5 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
[解析] 本题考查定加速度与定功率启动问题。由图象可知匀加速直线运动的加速度a＝＝ m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得牵引力为F＝f＋ma＝0.1×1×104 N＋1×103×4 N＝5×103 N，故A错误；额定功率为P＝Fv＝5 000×20 W＝100 kW，故C正确；当车的速度是25 m/s时，牵引力F′＝＝ N＝4 000 N，此时车的加速度a′＝＝ m/s2＝3 m/s2，故B错误；当牵引力与阻力相等时，速度最大，最大速度为vm＝＝＝ m/s＝100 m/s，故D错误。
4．(2018·天津理综，10)我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1 倍，重力加速度取g＝10 m/s2。求飞机滑跑过程中
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P。
[答案] (1)2 m/s2 (2)8.4×106W
[解析] (1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有
v2＝2ax①
代入数据解得
a＝2 m/s2②
(2)设飞机滑跑受到的阻力为F阻，依题意有
F阻＝0.1mg③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有
F－F阻＝ma④
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有
＝⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率
P＝F⑥
联立②③④⑤⑥式得
P＝8.4×106W⑦
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