第五章 第三节 机械能守恒定律及其应用-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

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第三节　机械能守恒定律及其应用　一、重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与__路径__无关，只与始、末位置的__高度差__有关。(2)重力做功不引起物体__机械能__的变化。2．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就__减小__；重力对物体做负功，重力势能就__增大__。(2)定量关系：重力对物体做的功__等于__物体重力势能的__减小__量。即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝__－ΔEp__。(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取__无关__。二、弹性势能1．概念：物体由于发生__弹性形变__而具有的能。2．大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量__越大__，劲度系数__越大__，弹簧的弹性势能越大。3．弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝__－ΔEp__。三、机械能守恒定律及其应用1．机械能__动能__和__势能__统称为机械能，其中势能包括__重力势能__和__弹性势能__。2．机械能守恒定律(1)内容：在只有__重力__或__弹力__做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能__保持不变__。(2)常用的三种表达式。①守恒式：E1＝E2或__Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2__。(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能)②转化式：ΔEk＝__－ΔEp__或ΔEk增＝__ΔEp减__。(表示系统势能的减少量等于动能的增加量)③转移式：ΔEA＝__－ΔEB__或ΔEA增＝__ΔEB减__。(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)[自我诊断]判断下列说法的正误。(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)(2)弹力做正功弹性势能一定增加。(×)(3)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。 (×)(4)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(√)(5)物体所受合外力做功20 J，则物体的机械能增加20 J。(×)(6)物体除重力外，其它力做功为零，则物体的机械能守恒，此时物体的动能、势能均不变。(×)(7)物体只发生动能和重力势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒。(√)(8)做曲线运动的物体机械能可能守恒。(√)考点一　机械能守恒的理解与判断1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，是系统的机械能守恒。2．机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用做功即守恒条件判断。(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。[题组突破]1．(2020·贵阳期末)如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧上升到一定高度后再下落，如此反复，该过程中弹簧的弹力大小F随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力，则(　　)A．t1时刻小球的速度最大B．t2时刻小球所受合力为零C．以地面为零重力势能面，t1和t3时刻小球的机械能相等D．以地面为零重力势能面，t1～t3时间内小球的机械能守恒[解析]　根据题述，结合弹簧弹力随时间变化的图线，金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，t1时刻接触弹簧，由于重力大于弹簧弹力，小球还要加速向下运动，当弹力增大到等于小球重力时，小球速度最大，选项A错误；t2时刻弹簧被压缩到最短，弹簧的弹力最大，小球所受合力向上，选项B错误；t1时刻和t3时刻小球的速度大小相同，动能相同，距离地面高度相同，以地面为零重力势能面，t1时刻和t3时刻小球的机械能相等，选项C正确；以地面为零重力势能面，t1～t3时间内，小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，但由于小球受到弹簧的弹力作用，小球的机械能先减小后增大，选项D错误。[答案]　C2．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ＜45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长。现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)A．小球的动能与重力势能之和保持不变B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变[解析]　小球与弹簧组成的系统在整个过程中，机械能守恒。弹簧原长时弹性势能为零，小球从C点到最低点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，所以小球的动能与重力势能之和先增大后减小，A项错，B项对；小球的重力势能不断减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和不断增大，C项错；小球的初、末动能均为零，所以整个过程中小球的动能先增大后减小，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，D项错。[答案]　B◆易错提醒1．机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。2．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。3．对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。考点二　单物体机械能守恒问题机械能守恒的三种表达式对比 表达式物理意义注意事项守恒观点Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等应用时应选好重力势能的零势能面，且初末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔEk＝－ΔEp表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差转移观点ΔEA增＝ΔEB减若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题  [例1]　如图，MN为半径R＝0.4 m、固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同但质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，小钢珠每次都在M点离开弹簧枪。某次发射的小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，水平飞出后落到OP上的Q点，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：(1)小钢珠经过N点时速度的大小vN；(2)小钢珠离开弹簧枪时的动能Ek；(3)小钢珠的落点Q与圆心O的距离x。[解析]　(1)小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，则有mg＝m解得vN＝2 m/s。(2)小钢珠在光滑圆弧轨道上运动，由机械能守恒定律得mv＋mgR＝Ek解得Ek＝0.06 J。(3)小钢珠从N点水平飞出后，做平抛运动，R＝gt2，x＝vNt，解得x＝ m。[答案]　(1)2 m/s　(2)0.06 J　(3) m◆规律总结求解单个物体机械能守恒问题的基本思路1．选取研究对象——物体。2．根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。3．恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。4．选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。[跟踪训练](2016·全国卷Ⅲ)如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。(1)求小球在B、A两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。[解析]　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg·①设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg·②由①②式得＝5③(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有FN＋mg＝m⑤由④⑤式得，vC应满足mg≤m⑥由机械能守恒有mg·＝mv⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。[答案]　(1)5∶1　(2)能沿轨道运动到C点考点三　连接体机械能守恒问题1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。(一)绳连接的物体系统[例2]　如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上。开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m。现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2。若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)A.＝　　　　　　 B.＝C.＝  D.＝[解析]　圆环下降3 m时的速度v＝5 m/s则此时A的速度为vA＝vcos θ＝v·＝3 m/sA上升的高度hA＝－l＝1 m由机械能守恒定律得mgh＝MghA＋mv2＋Mv解得＝。[答案]　A[规律总结]绳连接系统的常见情境及解题注意事项常见情景三点提醒(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。  (二)轻杆连接的物体系统[例3]　(多选)如图所示在一个固定的十字架上(横竖两杆连结点为O点)，小球A套在竖直杆上，小球B套在水平杆上，A、B两球通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，并竖直静止。由于微小扰动，B球从O点开始由静止沿水平杆向右运动。A、B两球的质量均为m，不计一切摩擦，小球A、B视为质点。在A球下滑到O点的过程中，下列说法中正确的是(　　)A．在A球下滑到O点之前轻杆对B球一直做正功B．小球A的机械能先减小后增大C．A球运动到O点时的速度为D．B球的速度最大时，B球对水平杆的压力大小为2mg[解析]　当A到达底端时，B的速度为零，可见B的速度先增大后减小，所以轻杆对B先做正功，后做负功，A错。A、B组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，而B的机械能先增大后减小，所以小球A的机械能先减小后增大，B正确。A运动到最低点时，B的速度为零，根据系统机械能守恒定律得mgL＝mv，解得vA＝，C正确。当A机械能最小时，B的机械能最大，B的动能最大，轻杆对B无作用力，B对水平杆的压力大小为mg，D错。[答案]　BC[规律总结]轻杆连接系统的常见情境及特点常见情景三大特点(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 (三)弹簧连接的物体系统[例4]　(2020·包头模拟)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直，cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度。求：(1)斜面倾角α；(2)B的最大速度v。[解析]　(1)当物体A刚刚离开地面时，设弹簧的伸长量为xA，对A有kxA＝mg。此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT三个力的作用，设B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有，FT－mg－kxA＝ma，对C有，4mgsin α－FT＝4ma，当B获得最大速度时，有a＝0，由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°。(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝，显然xA＝xB。当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离为xA＋xB。由于xA＝xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体A刚刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin α－mg(xA＋xB)＝(4m＋m)v2，代入数值解得v＝2g。[答案]　(1)30°　(2)2g[规律总结]弹簧连接物体系统的题型特点题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。两点提醒(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。  非质点类机械能守恒问题1．“链条”“液柱”类的物体，在运动过程中往往发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看作质点来处理。2．“链条”“液柱”类物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，故整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。[典例]　如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D至B点的距离为L－a。现自由释放链条，则：(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由。(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？[解析]　(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。(2)　设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，高度减少量h＝sin α＝sin α该部分的质量为m′＝(L－a)由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，解得：v＝。[答案]　(1)守恒　理由见解析(2)　[跟踪训练]如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体、开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)A. 　 B. 　C. 　 D. [解析]　当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据功能关系有mg·h＝mv2，解得v＝。[答案]　A