2020-2021年湖北省宜城市某校初二（下）期中考试数学试卷

这是一份2020-2021年湖北省宜城市某校初二（下）期中考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题)，填空题)，解答题)等内容，欢迎下载使用。


1. 若3x−2+2−3x−5在实数范围内有意义，则x满足的条件是( )
A.x≥23B.x≤23C.x=23D.x≠23

2. 下列运算正确的是（ ）
A.3+4=7B.12=32C.(−2)2=−2D.146=213

3. 函数y=x+3x−5 中自变量x的取值范围( )
A.x≥−3B.x≠5C.x>5且x≠5D.x≥−3且x≠5

4. 若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A.矩形B.菱形
C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形

5. 一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为( )
A.10B.8C.6或8D.10或27

6. 下列函数图象，反映了变量y是x的函数的是( )
A.B.C.D.

7. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=23，∠AEO=120∘，则FC的长度为( )

A.1B.2C.2D.3

8. 下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数有( )
A.0B.1C.2D.3

9. 如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是( )

A.4.5B.5C.5.5D.6

10. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD=120∘；②BG+DG=CG；③△BDF≅△CGB；④S△ABD=34AB2.
其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题)

11. 已知a−22+b−2=0，则ab的平方根是________.

12. 如图，在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B=________.


13. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90∘，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为________．


14. 如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为________．


15. 如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，BC=4，BE=3CE，点P是BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是________．


16. 梯形的上底为8，下底为x，高是6，梯形面积y与下底x之间的函数关系式是________．
三、解答题)

17. 计算：
(1)23−x0+|4−32|−18；

(2)30.5−513−218−43 .

18. 计算：
18×2−12；

212×68+(6+2)(2−6).

19. 先化简，再求值：(1x−y−1x+y)÷2yx2+2xy+y2，其中x=3+2，y=3−2.

20. 木工师傅做一个三角形屋梁架ABC，如图所示，上弦AB=AC=4m，跨度BC为6m，为牢固起见，还需做一根中柱AD（AD是△ABC的中线）加以连接，现有一根长为3m的木料，请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做成中柱AD．


21. 如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，∠D=30∘，AB=6，求△ABE的面积．


22. 如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，对角线AC与BD相交于点O，BE的延长线交CD的延长线于点F，连结AF，OE．

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)若OE=2，求CF的长．

23. 如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．

(1)求证：DC=BE；

(2)若∠AEC=66∘，求∠BCE的度数．

24. 如图，四边形ABCD是平行四边形纸片，把纸片ABCD沿AF折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处，且AB=10，AD=8，DE=6．

(1)求证：▱ABCD是矩形；

(2)求BF的长．

25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t 秒(0
(1)求证：AE=DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021年湖北省宜城市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出x的值．
【解答】
解：要使3x−2+2−3x−5在实数范围内有意义，
则3x−2≥0,2−3x≥0,
解得x=23.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．
【解答】
解：A，3+4=3+2，所以A选项错误；
B，12=23，所以B选项错误；
C，(−2)2=2，所以C选项错误；
D，146=14×66×6=213，所以D选项正确．
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
函数自变量的取值范围
【解析】
根据二次根式有意义的条件可得x−5≥0，根据分式有意义的条件可得x−5≠0，进而可得答案．
【解答】
解：由题意，得x−5>0，
解得x>5.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
中点四边形
【解析】
首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】
解：如图，四边形EFGH是矩形，且E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH // FG // BD，EF // AC // HG.
∵ 四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴ AC⊥BD.
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：设第三边为x，
①当8是直角边时，则62+82=x2，解得x=10，
②当8是斜边时，则62+x2=82，解得x=2 7．
∴ 第三边长为10或27．
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】
解：A，对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，故A错误；
B，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B正确；
C，对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，故C错误；
D，对于x的每一个取值，y可能有三个值与之对应，故D错误.
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
矩形的性质
勾股定理
【解析】
先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．
【解答】
解：∵ EF⊥BD，∠AEO=120∘，
∴ ∠EDO=30∘，∠DEO=60∘，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠OBF=∠OCF=30∘，∠BFO=60∘，
∴ ∠BOC=120∘，∠BOF=90∘，
∴ ∠FOC=120∘−90∘=30∘，
∴ OF=CF，
又∵ Rt△BOF中，BO=12BD=12AC=3，
设OF=x，则BF=2x，
∴ 由勾股定理得，BO2+OF2=BF2，
即32+x2=4x2，
解得x=1或x=−1（舍去），即OF=1，
∴ CF=1.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
命题与定理
真命题，假命题
【解析】
写出各个命题的逆命题，判断即可．
【解答】
解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，成立；
③两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
④相等的两个数的平方也相等的逆命题是两个数的平方相等，这两个数相等，不成立，
如−12=12，但−1≠1，不正确.
所以正确的有2个，②③．
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
三角形中位线定理
【解析】
根据中线的性质，可得△AEF的面积=12×△ABE的面积=14×△ABD的面积=18×△ABC的面积=32，△AEG的面积=32，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=14×△BCE的面积=32，进而得到△AFG的面积．
【解答】
解：∵ 点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴ AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，
CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，
AG是△ACE的中线，
∴ △AEF的面积=12×△ABE的面积
=14×△ABD的面积
=18×△ABC的面积
=32，
同理可得△AEG的面积=32，
△BCE的面积=12×△ABC的面积=6，
又∵ FG是△BCE的中位线，
∴ △EFG的面积=14×△BCE的面积=32，
∴ △AFG的面积是32×3=92.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
菱形的性质
等边三角形的判定方法
全等三角形的性质
【解析】
先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．
【解答】
解：①由菱形的性质可得△ABD，△BDC是等边三角形，E，F分别是AB，AD的中点，
△ABF和△ADE是含30∘角的直角三角形且全等，
∴ ∠DGB=∠GBE+∠GEB=30∘+90∘=120∘，故①正确；
②∵ ∠DCG=∠BCG=30∘，DE⊥AB，即DE⊥DC，
∴ 可得DG=12CG（30∘角所对直角边等于斜边一半）,
同理BG=12CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG>FD，
故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S△ABD=12AB⋅DE=12AB⋅3BE=12AB⋅32AB=34AB2，
即④正确．
综上可得①②④正确，共3个．
故选C．
二、填空题
11.
【答案】
±2
【考点】
非负数的性质：偶次方
平方根
非负数的性质：算术平方根
【解析】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】
解：∵a−22+b−2=0，
∴a−22=0，b−2=0，
∴a−2=0，b−2=0，
∴a=2，b=2，
∴ ab=2×2=4=2.
∵2的平方根是±2，
∴ab的平方根是±2．
故答案为：±2．
12.
【答案】
30∘
【考点】
直角三角形斜边上的中线
等边三角形的性质与判定
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=AD，得到△ADC是等边三角形，求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数．
【解答】
解：∵ CD是斜边AB上的中线，
∴ CD=AD ，
又∵ CD=AC
∴ △ADC是等边三角形，
∴ ∠A=60∘，
∴ ∠B=90∘−∠A=30∘.
故答案为：30∘.
13.
【答案】
24
【考点】
勾股定理
平行四边形的面积
平行四边形的判定
【解析】
根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】
解：∵ ∠CBD=90∘，BC=4，BE=ED=3，AC=10，
∴ 在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE=BC2+BE2=32+42=5，
又∵ BE=DE=3，AE=CE=5，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ 四边形ABCD的面积为BC×BD=4×3+3=24.
故答案为：24．
14.
【答案】
150∘
【考点】
正方形的性质
等边三角形的性质
等腰三角形的性质
【解析】
由正方形和等边三角形的性质得出AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30∘，求出∠ADE=∠BCE=75∘，再求出∠EDC=∠ECD=15∘，即可得出∠CED．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90∘，
AB=BC=CD=DA.
∵ △ABE是等边三角形，
∴ AB=AE=BE，∠BAE=∠ABE=60∘，
∴ AE=AD=BE=BC，∠DAE=∠CBE=30∘，
∴ ∠ADE=∠BCE=12(180∘−30∘)=75∘，
∴ ∠EDC=∠ECD=15∘，
∴ ∠CED=180∘−15∘−15∘=150∘．
故答案为：150∘．
15.
【答案】
5
【考点】
轴对称——最短路线问题
正方形的性质
勾股定理
【解析】
要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【解答】
解：∵BC=4，BE=3CE，
∴BE+CE=3CE+CE=4CE=4，
∴CE=1，BE=3CE=3，
如图，连接AE，
∵在正方形ABCD中，点A和点C关于BD对称，
∴PC=PA，
∴PE+PC=PE+PA，
由两点之间线段最短可知，当点A，P，E在一条直线上时，
PE+PA有最小值，且最小值为AE，
在Rt△ABE中，AB=BC=4，BE=3，
∴AE=AB2+BE2=42+32=5．
∴ PE+PC的最小值为5．
故答案为：5．
16.
【答案】
y=24+3x
【考点】
一次函数的应用
【解析】
根据梯形面积=12(上底+下底)×高列出函数关系式．
【解答】
解：∵ 梯形面积为12(上底+下底)×高，
∴ 梯形面积y与下底x之间的函数关系式是y=12(8+x)×6，
即y=24+3x.
故答案为：y=24+3x．
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)原式=1+32−4−32=−3 .
(2)原式=3×22−5×33−2×228+233
=322−533−22+233
=2−3 .
【考点】
绝对值
算术平方根
零指数幂、负整数指数幂
二次根式的混合运算
【解析】
（1）原式 =1+32−4−32
=−3 .
【解答】
解：(1)原式=1+32−4−32=−3 .
(2)原式=3×22−5×33−2×228+233
=322−533−22+233
=2−3 .
18.
【答案】
解：(1)原式=8×2−8×12
=16−4
=4−2
=2.
2原式=12×68+2−6
=3+2−6
=−1.
【考点】
二次根式的加减混合运算
二次根式的乘除法
平方差公式
【解析】
1根据二次根式的混合运算法则，计算即可；
2根据平方差公式，结合二次根式的混合运算，即可解答.
【解答】
解：(1)原式=8×2−8×12
=16−4
=4−2
=2.
2原式=12×68+2−6
=3+2−6
=−1.
19.
【答案】
解：原式=x+yx+yx−y−x−yx+yx−y⋅ x+y22y
=x+y−x+yx+yx−y⋅x+y22y
=2yx+yx−y⋅x+y22y
=x+yx−y，
当x=3+2，y=3−2时，
原式=3+2+3−23+2−3+2=2322=32=62.
【考点】
分式的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=x+yx+yx−y−x−yx+yx−y⋅ x+y22y
=x+y−x+yx+yx−y⋅x+y22y
=2yx+yx−y⋅x+y22y
=x+yx−y，
当x=3+2，y=3−2时，
原式=3+2+3−23+2−3+2=2322=32=62.
20.
【答案】
解：∵ AB=AC=4m，AD是△ABC的中线，BC=6m，
∴ △ABC为等腰三角形，
∴ AD⊥BC，BD=12BC=3m．
由勾股定理，得AD=AB2−BD2=42−32=7．
∵ 7<3，
∴ 这根木料的长度适合做中柱AD．
【考点】
勾股定理的应用
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
在Rt△ADB中，只要计算出AD的长再与木料的长进行比较，如果木料长度大于AD则适合，否则不适合．
【解答】
解：∵ AB=AC=4m，AD是△ABC的中线，BC=6m，
∴ △ABC为等腰三角形，
∴ AD⊥BC，BD=12BC=3m．
由勾股定理，得AD=AB2−BD2=42−32=7．
∵ 7<3，
∴ 这根木料的长度适合做中柱AD．
21.
【答案】
解：过点B作BF⊥DA，交DA延长线于点F，如图，
∴∠F=90∘，
在▱ABCD中，∵ AD//BC，AB//CD，
∴∠AEB=∠EBC，∠FAB=∠D=30∘.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6.
在Rt△ABF中，∵ ∠FAB=30∘，AB=6，
∴BF=12AB=62，
∴S△ABE=12AE⋅BF=12×6×62=32．
【考点】
平行四边形的性质
含30度角的直角三角形
角平分线的定义
三角形的面积
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：过点B作BF⊥DA，交DA延长线于点F，如图，
∴∠F=90∘，
在▱ABCD中，∵ AD//BC，AB//CD，
∴∠AEB=∠EBC，∠FAB=∠D=30∘.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6.
在Rt△ABF中，∵ ∠FAB=30∘，AB=6，
∴BF=12AB=62，
∴S△ABE=12AE⋅BF=12×6×62=32．
22.
【答案】
(1)证明：在▱ABCD中，∵ AB//CD，
∴AB//DF，
∴∠ABE=∠DFE.
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEB和△DEF中，
∠ABE=∠DFE,∠AEB=∠DEF,AE=DE,
∴△AEB≅△DEF(AAS)，
∴AB=DF.
又∵AB//DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
(2)解：由(1)，得AB=CD，OB=OD，AB=DF，
∴CD=DF，
∴CF=CD+DF=2DF.
∵ △AEB≅△DEF，
∴BE=EF.
又OB=OD，OE=2，
∴DF=2OE=4，
∴CF=2DF=8．
【考点】
平行四边形的性质与判定
全等三角形的性质与判定
平行四边形的性质
三角形中位线定理
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
(1)证明：在▱ABCD中，∵ AB//CD，
∴AB//DF，
∴∠ABE=∠DFE.
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEB和△DEF中，
∠ABE=∠DFE,∠AEB=∠DEF,AE=DE,
∴△AEB≅△DEF(AAS)，
∴AB=DF.
又∵AB//DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
(2)解：由(1)，得AB=CD，OB=OD，AB=DF，
∴CD=DF，
∴CF=CD+DF=2DF.
∵ △AEB≅△DEF，
∴BE=EF.
又OB=OD，OE=2，
∴DF=2OE=4，
∴CF=2DF=8．
23.
【答案】
解：(1)∵ G是CE的中点，DG⊥CE，
∴ DG是CE的垂直平分线，
∴ DE=DC，
∵ AD是高，CE是中线，
∴ DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴ DE=BE=12AB，
∴ DC=BE；
(2)∵ DE=DC，
∴ ∠DEC=∠BCE，
∴ ∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵ DE=BE，
∴ ∠B=∠EDB，
∴ ∠B=2∠BCE，
∴ ∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66∘，
∴ ∠BCE=22∘．
【考点】
直角三角形斜边上的中线
线段垂直平分线的性质
等腰三角形的性质
三角形的外角性质
【解析】
（1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=12AB，即可得到DC=BE；
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
【解答】
解：(1)∵ G是CE的中点，DG⊥CE，
∴ DG是CE的垂直平分线，
∴ DE=DC，
∵ AD是高，CE是中线，
∴ DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴ DE=BE=12AB，
∴ DC=BE；
(2)∵ DE=DC，
∴ ∠DEC=∠BCE，
∴ ∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵ DE=BE，
∴ ∠B=∠EDB，
∴ ∠B=2∠BCE，
∴ ∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66∘，
∴ ∠BCE=22∘．
24.
【答案】
(1)证明：由折叠的性质，得AE=AB=10，
∵在△ADE中，AD=8，DE=6，
∴AD2+DE2=AE2，
∴∠D=90∘.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是矩形．
(2)解：设BF=x，
由折叠的性质，得EF=BF=x，
在矩形ABCD中，∵ CD=AB=10，∠C=90∘，BC=AD=8，
∴CF=BC−BF=8−x，CE=CD−DE=4，
在Rt△CEF中，∵ CE2+CF2=EF2，
∴42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴BF=5．
【考点】
翻折变换（折叠问题）
平行四边形的性质
矩形的判定
勾股定理
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
(1)证明：由折叠的性质，得AE=AB=10，
∵在△ADE中，AD=8，DE=6，
∴AD2+DE2=AE2，
∴∠D=90∘.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是矩形．
(2)解：设BF=x，
由折叠的性质，得EF=BF=x，
在矩形ABCD中，∵ CD=AB=10，∠C=90∘，BC=AD=8，
∴CF=BC−BF=8−x，CE=CD−DE=4，
在Rt△CEF中，∵ CE2+CF2=EF2，
∴42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴BF=5．
25.
【答案】
(1)证明：由题意得：AE=2t，CD=4t，
∵ DF⊥BC，
∴ ∠CFD=90∘，
∵ ∠C=30∘，
∴ DF=12CD=12×4t=2t，
∴ AE=DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形,如图2，理由是：
由(1)得：AE=DF，
∵ ∠DFC=∠B=90∘，
∴ AE // DF，
∴ 四边形AEFD为平行四边形，
若平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∵ AC=60，CD=4t，
∴ AD=60−4t，
∴ 2t=60−4t，
t=10，
∴ 当t=10时，四边形AEFD能够成为菱形；
(3)分三种情况：
①当∠EDF=90∘时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴ DF=BE=2t，
∵ AB=12AC=30，AE=2t，
∴ 2t=30−2t，
t=152，
②当∠DEF=90∘时，如图4，
∵ 四边形AEFD为平行四边形，
∴ EF // AD，
∴ ∠ADE=∠DEF=90∘，
在Rt△ADE中，∠A=60∘，AE=2t，
∴ AD=t，
∴ AC=AD+CD，
则60=t+4t，
t=12，
③当∠DFE=90∘不成立；
综上所述：当t为152或12时，△DEF为直角三角形．
【考点】
动点问题
四边形综合题
菱形的判定
平行四边形的判定
【解析】
（1）根据时间和速度表示出AE和CD的长，利用30∘所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长为4t，则AE=DF；
（2）根据（1）的结论可以证明四边形AEFD为平行四边形，如果四边形AEFD能够成为菱形，则必有邻边相等，则AE=AD，列方程求出即可；
（3）当△DEF为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90∘时，如图3，②当∠DEF=90∘时，如图4，
③当∠DFE=90∘不成立；分别找一等量关系列方程可以求出t的值．
【解答】
(1)证明：由题意得：AE=2t，CD=4t，
∵ DF⊥BC，
∴ ∠CFD=90∘，
∵ ∠C=30∘，
∴ DF=12CD=12×4t=2t，
∴ AE=DF；
(2)解：四边形AEFD能够成为菱形,如图2，理由是：
由(1)得：AE=DF，
∵ ∠DFC=∠B=90∘，
∴ AE // DF，
∴ 四边形AEFD为平行四边形，
若平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∵ AC=60，CD=4t，
∴ AD=60−4t，
∴ 2t=60−4t，
t=10，
∴ 当t=10时，四边形AEFD能够成为菱形；
(3)解：分三种情况：
①当∠EDF=90∘时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴ DF=BE=2t，
∵ AB=12AC=30，AE=2t，
∴ 2t=30−2t，
t=152，
②当∠DEF=90∘时，如图4，
∵ 四边形AEFD为平行四边形，
∴ EF // AD，
∴ ∠ADE=∠DEF=90∘，
在Rt△ADE中，∠A=60∘，AE=2t，
∴ AD=t，
∴ AC=AD+CD，
则60=t+4t，
t=12，
③当∠DFE=90∘不成立；
综上所述：当t为152或12时，△DEF为直角三角形．