2020-2021学年湖北省襄阳市宜城市某校初二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省襄阳市宜城市某校初二（下）4月月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 如果a为任意实数，下列根式一定有意义的是( )
A.aB.−a2C.a2+1D.a2−1

2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )

A.3B.4C.5D.6

3. 下列式子中二次根式的个数有（ ）
(1)13；(2)−3；(3)−x2+1；(4)38；(5)(−13)2；(6)1−x(x>1)；(7)x2+2x+3．
A.2个B.3个C.4个D.5个

4. 在三边分别为下列长度的三角形中，哪些不是直角三角形 ( )
A.5，13，12B.2，3，5C.4，7，5D.1，2，3

5. 一架长10米的梯子，斜立在竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑( )
A.2米B.1米米D.0.5米

6. 已知n是一个正整数，45n是整数，则n的最小值是（ ）
A.3B.5C.15D.45

7. 如果3a+8和12−a是同类二次根式，那么3a的值为( )
A.6B.±3C.32D.3

8. 如图，矩形ABCD中，对角线AC=4，△AOB是等边三角形，则AD的长为( )

A.2B.3C.22D.23

9. 如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB=2，BC=4，则AF的长是( )

A.2B.2.5C.2.8D.3

10. 如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F， S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是( )

A.24B.32C.40D.48
二、填空题

已知2
如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE // BD，EC=4，则AB的长是________．


有理化分母：13−2=________.

已知x，y为实数，y=x2−9+9−x2+1x−3，求5x+6y的值为________．

已知Rt△ABC两边长为5，12，则斜边上的高是________.

在▱ABCD中， BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，若∠EBF=60∘，且AE=3，DF=2，则EC=_______.

三、解答题

计算：
(1)48+13−112；

(2)18+1672−418÷42；

(3)2+3−62−3+6；

(4)32−12−6−22+6 .

已知：y=1−8x+8x−1+12，求代数式xy+yx+2−xy+yx−2的值．

先化简，再求值：a2−2a+1a2−1÷a2−aa+1+2a，其中a=3．

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OC，OA的中点．求证：BE=DF．


如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35∘的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？


如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13m,AD=12m,BD=5m,AC=15m，求图中△ABC的周长和面积．


如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB=25，且AC:BD=2:3．

1求AC的长；

2求△AOD的面积．

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．


阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，连结EF，则EF=BE+DF试说明理由．
小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90∘得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

(1)如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45∘．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足________关系时，仍有EF=BE+DF；(只填空不证明)

(2)如图4，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45∘，若BD=1，EC=2，求DE的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省襄阳市宜城市某校初二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知a2+1有意义．
【解答】
解：不论a取何值，一定大于0的只有a2+1，
则a2+1一定有意义．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为a−b，
则小正方形的面积为(a−b)2=a2+b2−2ab.
且大正方形的面积为a2+b2=13，
又有(a+b)2=21，
a2+b2+2ab=21，
故ab=4，
所以小正方形的面积为13−8=5.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
二次根式的定义及识别
【解析】
根据二次根式的概念“形如 a(a≥0)的式子，即为二次根式”，进行分析．
【解答】
解：根据二次根式的概念，知(2)(6)中的被开方数都不会恒大于等于0，故不是二次根式；
(4)中的根指数是3，故不是二次根式；
故二次根式是(1)(3)(5)(7)，共4个．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形．
【解答】
解：A，52+122=132，是直角三角形，故A不符合题意；
B，22+(5)2=32，是直角三角形，故B不符合题意；
C，42+52≠72，不是直角三角形，故C符合题意；
D，12+(2)2=(3)2，是直角三角形，故D不符合题意．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
根据条件作出示意图，根据勾股定理求得OB′的长度，梯子滑动的距离就是OB′与OB的差．
【解答】
解：如图，
在直角△OAB中，根据勾股定理得：
OA=AB2−OB2=102−62=8（米）．
则OA′=OA−2=8−2=6（米）．
在直角△A′OB′中，根据勾股定理得：
OB′=A′B′2−OA′2=102−62=8（米），
则梯子滑动的距离为OB′−OB=8−6=2（米）．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
二次根式的应用
【解析】
根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】
解：由于45n=32×5n，
∴ 45n=35n.
由于45n是整数，
∴ n的最小值为5.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
同类二次根式
【解析】
根据同类二次根式的概念：被开方数相同的最简二次根式，来解答即可.
【解答】
解：∵ 3a+8和12−a是同类二次根式，
∴ 3a+8=12−a，
解得a=1，
∴ 3a=31=3.
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
矩形的性质
等边三角形的性质
【解析】
先求得∠ACB=30∘，再求出AB=2cm，由勾股定理求得AD的长．
【解答】
解：矩形ABCD中， OA=OB=OC=OD， ∠ABC=90∘.
∵ △AOB是等边三角形，
∴ AB=OA=OB=12AC=2.
在Rt△ABC中，
BC=AC2−AB2=42−22=23，
∵ AD=BC，
∴ AD的长为23.
故选D.
9.
【答案】
B
【考点】
翻折变换（折叠问题）
等腰三角形的判定
勾股定理的逆定理
平行线的性质
【解析】
根据矩形的性质得到∠FAC=∠ACB ，根据翻转变换的性质得到∠FCA=∠ACB， 得到∠FAC=∠FCA， 证明FA=FC， 根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：∵ AD//BC，
∴ ∠FAC=∠ACB，
由翻转变换的性质可知， ∠FCA=∠ACB，
∴ ∠FAC=∠FCA，
∴ FA=FC，
在Rt△CDF中， FC2=DF2+CD2，
即FA2=4−AF2+22，
∴ AF=2.5.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
利用平行四边形的性质可证明△AOF≅△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=14▱ABCD的面积，进而可得问题答案．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
∴ ∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE.
又∵ AO=CO，
在△AOE与△COF中∠EAC=∠BCA,∠AEF=∠CFE,AO=CO,
∴ △AOE≅△COF，
∴ △COF的面积为3.
∵ S△BOF=5，
∴ △BOC的面积为8.
∵ △BOC的面积=14▱ABCD的面积，
∴ ▱ABCD的面积=4×8=32.
故选B.
二、填空题
【答案】
3
【考点】
二次根式的性质与化简
【解析】
先根据x的取值范围确定x−2，x−5的符号，再化简此二次根式即可．
【解答】
解：∵ 2∴ x−2>0，x−5<0，
∴ (x−2)2+(x−5)2=x−2+5−x=3．
故答案为：3.
【答案】
2
【考点】
平行四边形的判定
平行四边形的性质
【解析】
可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证四边形ABDE是平行四边形，则AB=ED=DC=12EC=2．
【解答】
解：在▱ABCD中，
AB // CD，AB=CD．
∵ 点E在CD的延长线上，
∴ AB // ED．
又∵ AE // BD，
∴ 四边形ABDE是平行四边形，
∴ AB=ED，
∴ AB=ED=DC=12EC=2．
故答案为：2．
【答案】
3+2
【考点】
分母有理化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2.
故答案为：3+2.
【答案】
−16
【考点】
分式有意义、无意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式及分式有意义的条件，结合所给式子即可得出答案．
【解答】
解：由题意得，x2−9≥0，9−x2≥0，x−3≠0，
解得：x=−3，
∴ y=−16，
∴ 5x+6y=−16.
故答案为：−16．
【答案】
6013或511912
【考点】
勾股定理
三角形的面积
直角三角形的性质
【解析】
根据题意，画出图形，结合题目已知条件求解．
【解答】
解：①当Rt△ABC两直角边长分别为5，12时，
如图，CD为斜边AB上的高.
则AC=5，BC=12，
则AB=13，
∵ S△ABC=12AC⋅BC=12CD⋅AB，
∴ 12×5×12=12×13⋅CD，
∴ CD=6013．
②当Rt△ABC一直角边长5，斜边长为12时，
根据勾股定理，得另一直角边为119.
如图，CD为斜边AB上的高.
则AC=5，AB=12，BC=119，
∵ S△ABC=12AC⋅BC=12CD⋅AB，
∴ 12×5119=12×12⋅CD，
∴ CD=511912．
综上，斜边上的高是6013或511912.
故答案为：6013或511912.
【答案】
91
【考点】
勾股定理
平行四边形的性质
含30度角的直角三角形
【解析】
先求出∠D=120∘,得出∠A=60∘,再根据直角三角形的性质求出AB,求出CF,BC,即可解答.
【解答】
解：∵ BE⊥AD，BF⊥CD，
∴ ∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90∘.
∵ ∠EBF=60∘，
∴ ∠D=120∘.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC.
∴ ∠BCD=∠A=60∘.
∵ 在△ABE中，∠ABE=30∘，
∴ AB=2AE=2×3=6.
∴ CD=AB=6，BE=AB2−AE2=33.
∴ CF=CD−DF=6−2=4.
∵ 在△BFC中，∠CBF=30∘，
∴ BC=2CF=2×4=8.
∴ CE=BE2+BC2=91.
故答案为：91.
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=43+33−36 =2536.
(2)原式=32+16×62−4×24÷42
=32+2−2÷42
=32÷42=34.
(3)原式=[2+3−6][2−3−6]
=22−3−62
=2−3−62+6
=2−9+62
=62−7.
(4)原式=18+1−62−6−2
=19−62−4
=15−62.
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】




【解答】
解：(1)原式=43+33−36 =2536.
(2)原式=32+16×62−4×24÷42
=32+2−2÷42
=32÷42=34.
(3)原式=[2+3−6][2−3−6]
=22−3−62
=2−3−62+6
=2−9+62
=62−7.
(4)原式=18+1−62−6−2
=19−62−4
=15−62.
【答案】
解：∵ 要使y=1−8x+8x−1+12有意义，必须
1−8x≥0，8x−1≥0，
∴ x=18.
∴ 把x=18代入得：y=0+0+12=12，
∴ xy+yx+2−xy+yx−2
=(x+y)2xy−(x−y)2xy
=(x+y)−(y−x)xy
=2xxy
=2×1818×12
=1．
【考点】
分母有理化
完全平方公式
二次根式的混合运算
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义的条件求出xy的值，再把所求的代数式化简，代入求出即可．
【解答】
解：∵ 要使y=1−8x+8x−1+12有意义，必须
1−8x≥0，8x−1≥0，
∴ x=18.
∴ 把x=18代入得：y=0+0+12=12，
∴ xy+yx+2−xy+yx−2
=(x+y)2xy−(x−y)2xy
=(x+y)−(y−x)xy
=2xxy
=2×1818×12
=1．
【答案】
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)⋅a+1a(a−1)+2a
=1a+2a
=3a，
当a=3时，原式=33=3．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先根据因式分解把分式的分子、分母化简，约分，再把a=3代入求值．
【解答】
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)⋅a+1a(a−1)+2a
=1a+2a
=3a，
当a=3时，原式=33=3．
【答案】
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC， OB=OD，
∵ E，F分别是OC，OA的中点，
∴ OE=12OC，OF=12OA，
∴ OE=OF，
在△OBE和△ODF​中，
OB=OD， ∠BOE=∠DOF ，OE=OF，
∴ △OBE≅△ODF SAS，
∴ BE=DF．
【考点】
平行四边形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC， OB=OD，
∵ E，F分别是OC，OA的中点，
∴ OE=12OC，OF=12OA，
∴ OE=OF，
在△OBE和△ODF​中，
OB=OD， ∠BOE=∠DOF ，OE=OF，
∴ △OBE≅△ODF SAS，
∴ BE=DF．
【答案】
解：由题意可知，在△ABC中，
AC=30×2=60，AB=40×2=80，BC=100，
∴ AC2=3600，AB2=6400，BC2=10000，
∴ AC2+AB2=BC2，
∴ ∠CAB=90∘.
又∵ ∠EAD=180∘，∠EAC=35∘，
∴ ∠DAB=90∘−∠CAE=90∘−35∘=55∘，
∴ 乙船航行的方向为南偏东55∘.
【考点】
勾股定理的逆定理
方向角
【解析】
由题意可知：在△ABC中，AC＝60，AB＝80，BC＝100，由此可由“勾股定理逆定理”证得∠BAC=90∘，结合∠EAD=180∘和∠EAC=35∘即可求得∠DAB的度数，从而得到乙船的航行方向.
【解答】
解：由题意可知，在△ABC中，
AC=30×2=60，AB=40×2=80，BC=100，
∴ AC2=3600，AB2=6400，BC2=10000，
∴ AC2+AB2=BC2，
∴ ∠CAB=90∘.
又∵ ∠EAD=180∘，∠EAC=35∘，
∴ ∠DAB=90∘−∠CAE=90∘−35∘=55∘，
∴ 乙船航行的方向为南偏东55∘.
【答案】
解：在△ABD中，
∵ AB=13m，AD=12m，BD=5m，
∴ AB2=AD2+BD2，
∴ AD⊥BC，
在Rt△ADC中，
∵ AD=12m，AC=15m，
∴ DC=AC2−AD2=9(m).
∴ △ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=42m，
△ABC的面积为12AD⋅BC=84m2．
∴ △ABC的周长为42m，△ABC的面积为84m2．
【考点】
勾股定理
三角形的面积
勾股定理的逆定理
【解析】
无
【解答】
解：在△ABD中，
∵ AB=13m，AD=12m，BD=5m，
∴ AB2=AD2+BD2，
∴ AD⊥BC，
在Rt△ADC中，
∵ AD=12m，AC=15m，
∴ DC=AC2−AD2=9(m).
∴ △ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=42m，
△ABC的面积为12AD⋅BC=84m2．
∴ △ABC的周长为42m，△ABC的面积为84m2．
【答案】
解：1∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=12AC，OB=12BD，
∵ AC:BD=2:3，
∴ OA:OB=2:3，
设OA=2x，OB=3x，
∵ AC⊥AB，AB=25，
∴ (2x)2+(25)2=(3x)2，
解得：x=2，
∴ OA=4，
∴ AC=8.
2∵ S△ABD=S△ABC =12AB⋅AC=12×25×8=85，
∴ S△AOD=12S△ABD =12×85=45．
【考点】
平行四边形的性质
勾股定理
三角形的面积
【解析】
1由平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC:BD=2:3，可得OA:OB=2:3，又由AB=25，即可求得OA的长，继而求得答案；
2由等底等高的三角形的面积相等，即可求得答案．
【解答】
解：1∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=12AC，OB=12BD，
∵ AC:BD=2:3，
∴ OA:OB=2:3，
设OA=2x，OB=3x，
∵ AC⊥AB，AB=25，
∴ (2x)2+(25)2=(3x)2，
解得：x=2，
∴ OA=4，
∴ AC=8.
2∵ S△ABD=S△ABC =12AB⋅AC=12×25×8=85，
∴ S△AOD=12S△ABD =12×85=45．
【答案】
解：连接BF．
∵ CA=CB，E为AB中点，
∴ AE=BE，CE⊥AB，∠FEB=∠FEA=90∘，
在Rt△FEB与Rt△FEA中，
BE=AE，∠BEF=∠AEF，FE=FE，
∴ Rt△FEB≅Rt△FEA(SAS).
又∵ AD平分∠BAC，∠CAB=45∘，
∴ ∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5∘，
在△BFD中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45∘，
又∵ BD⊥AD，则∠D=90∘，
∴ △BFD为等腰直角三角形，BD=FD=3，
∴ BF=BD2+FD2=2BD2=32.
【考点】
角平分线的性质
全等三角形的性质与判定
三角形的外角性质
等腰直角三角形
【解析】
先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CE⊥AB，进而可证△AFE≅△BFF，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD为45∘，△BFD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF．
【解答】
解：连接BF．
∵ CA=CB，E为AB中点，
∴ AE=BE，CE⊥AB，∠FEB=∠FEA=90∘，
在Rt△FEB与Rt△FEA中，
BE=AE，∠BEF=∠AEF，FE=FE，
∴ Rt△FEB≅Rt△FEA(SAS).
又∵ AD平分∠BAC，∠CAB=45∘，
∴ ∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5∘，
在△BFD中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45∘，
又∵ BD⊥AD，则∠D=90∘，
∴ △BFD为等腰直角三角形，BD=FD=3，
∴ BF=BD2+FD2=2BD2=32.
【答案】
∠B+∠D=180∘
(2)如图，
∵ AB=AC，
∴ 把△ABD绕A点逆时针旋转90∘至△ACG，可使AB与AC重合．
∠B=∠ACG，
BD=CG，
AD=AG
∵ △ABC中，∠BAC=90∘，
∴ ∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90∘．
即∠ECG=90∘．
∴ EC2+CG2=EG2．
在△AEG与△AED中，
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD
=90∘−∠EAD=45∘=∠EAD．
又∵ AD=AG，AE=AE，
∴ △AEG≅△AED．
∴ DE=EG．
又∵ CG=BD，
∴ BD2+EC2=DE2．
∴ DE=5．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
旋转的性质
勾股定理
【解析】
（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90∘至△ADG，可使AB与AD重合，证得△AFE≅△AFG，由∠B+∠D=180∘时，得出EF=BE+DF，
（2）把△ABD绕A点逆时针旋转90∘至△ACG，可使AB与AC重合．通过证明△AEG≅△AED得到：DE=EG．结合
CG=BD，利用勾股定理推知BD2+EC2=DE2．则易求DE=5．
【解答】
解：(1)∠B+∠D=180∘时，EF=BE+DF；
如图，
∵ AB=AD，
∴ 把△ABE绕点A逆时针旋转90∘至△ADG，可使AB与AD重合，
∴ ∠BAE=∠DAG，
∵ ∠BAD=90∘，∠EAF=45∘，
∴ ∠BAE+∠DAF=45∘，
∴ ∠EAF=∠FAG，
∵ ∠ADC+∠B=180∘，
∴ ∠FDG=180∘，点F，D，G共线，
在△AFE和△AFG中，
AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，
∴ △AFE≅△AFG(SAS)，
∴ EF=FG，
即：EF=BE+DF．
故答案为：∠B+∠D=180∘.
(2)如图，
∵ AB=AC，
∴ 把△ABD绕A点逆时针旋转90∘至△ACG，可使AB与AC重合．
∠B=∠ACG，
BD=CG，
AD=AG
∵ △ABC中，∠BAC=90∘，
∴ ∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90∘．
即∠ECG=90∘．
∴ EC2+CG2=EG2．
在△AEG与△AED中，
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD
=90∘−∠EAD=45∘=∠EAD．
又∵ AD=AG，AE=AE，
∴ △AEG≅△AED．
∴ DE=EG．
又∵ CG=BD，
∴ BD2+EC2=DE2．
∴ DE=5．