专题03 空间向量及其运算的坐标表示（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题三    空间向量及其运算的坐标表示

一、核心素养聚焦

考点一  直观想象-求空间中点、向量的坐标

例题8.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．

(1)写出各顶点的坐标；

(2)写出向量，，的坐标．

【解析】　(1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，

(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，

由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．

所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)．

考点二   数学运算-求空间向量的夹角

例题9.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________．

【答案】120°

【解析】因为a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，所以a＋b＝(－1，－2，－3)，所以|a＋b|＝.因为(a＋b)·c＝7，所以a＋b与c夹角的余弦值为，即夹角为60°.因为a＝(1,2,3)与a＋b＝(－1，－2，－3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120°.

考点三  逻辑推理-证明垂直关系

例题11、如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．

求证：BN⊥平面C1MN.

【证明】：如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.

依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，

N(1,0,1)，M，

∴＝，＝(1,0，－1)，

＝(1，－1,1)，

∴·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0，

·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.

∴⊥，⊥，

∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，

又∵C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN，

∴BN⊥平面C1MN.

二、学业质量测评

一、选择题

1．求空间中点关于平面的对称点与的长度为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

点关于平面的对称点的坐标为，

所以，与的长度为，

故选D.

2．设，向量，且，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】A

【详解】

∵，

∴，

解得，

又，

所以，

解得，

所以，

故选：A．

3．已知向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，.

故选：A.

4．空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据中点坐标公式，中点坐标为.故选.

5．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)

A．(1,0，－2) B．(1,0,2)

C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)

【答案】C

【分析】

利用⊥，⊥⇔．即可得出．

【详解】

∵，，．

∵⊥，⊥，∴．

∴，解得．

∴P(－1,0,2) ．

故选C ．

6．已知向量.若，则x的值为（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】A

【详解】

，解得.

故选：A

7．（多选题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（    ）

A．点的坐标为

B．点关于点对称的点为

C．点关于直线对称的点为

D．点关于平面对称的点为

【答案】ACD

【详解】

根据题意知：点的坐标为，选项A正确；

的坐标为，坐标为，

故点关于点对称的点为，选项B错误；

在长方体中，

所以四边形为正方形，与垂直且平分，

即点关于直线对称的点为，选项C正确；

点关于平面对称的点为，选项D正确；

故选：ACD.

8．（多选题）对于任意非零向量，，以下说法错误的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．

D．若，则为单位向量

【答案】BD

【详解】

对于A选项，因为，则，A选项正确；

对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；

对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；

对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.

故选：BD.

二、填空题

9．已知为单位正交基底，且，则向量的坐标是_________.

【答案】

【详解】

解：由，得

，

则.

故答案为：

10．已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，点P的坐标为，若

PA⊥AB,PA⊥AC，则点P的坐标为_______.

【答案】

【详解】

由已知得，

由题意得即，

解得，.

11．已知点（为坐标原点），则点的坐标为__________.

【答案】

【详解】

设点的坐标为，

,

，解得

∴点的坐标为.

故答案为：

12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___. 

【答案】           

【详解】

因为，所以向量的坐标为.

因为，

所以向量的坐标为.

因为，所以向量的坐标为.

故答案为：；；

三、解答题

13．已知在空间直角坐标系中，.

（1）求；

（2）若点M满足，求点M的坐标；

（3）若，求.

【答案】（1），，；（2）；（3）16.

【详解】

（1）因为，所以.

所以，又

所以，又

所以.

（2）由（1）知，

若设M(x，y，z)，则

于是，解得，故

（3）由（1）知，.

14．已知点，，．

（1）若D为线段的中点，求线段的长；

（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）由题意，点，且点D为线段的中点，

可得，则，所以，

即线段的长为．

（2）由点，，则，

所以，解得，所以，

则，

即向量与夹角的余弦值为．

15．已知空间中三点，，，设，.

（1）求向量与向量的夹角的余弦值；

（2）若与互相垂直，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或.

【详解】

（1）∵，，

设与的夹角为，∴；

（2）∵，且，

∴，即：或.