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    专题03 空间向量及其运算的坐标表示(核心素养练习)-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
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    专题03 空间向量及其运算的坐标表示(核心素养练习)-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)

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    这是一份专题03 空间向量及其运算的坐标表示(核心素养练习)-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册),文件包含专题03空间向量及其运算的坐标表示核心素养练习解析版docx、专题03空间向量及其运算的坐标表示核心素养练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共13页, 欢迎下载使用。

    专题三    空间向量及其运算的坐标表示

    一、核心素养聚焦

    考点一  直观想象-求空间中点、向量的坐标

    例题8.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2EF分别为棱BB1DC的中点,如图所示建立空间直角坐标系.

    (1)写出各顶点的坐标;

    (2)写出向量的坐标.

    【解析】 (1)由题图知A(2,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0)D(00,0)A1(2,0,2)B1(2,2,2)C1(0,2,2)D1(0,0,2)

    (2)因为EF分别为棱BB1DC的中点,

    由中点坐标公式,得E(2,2,1)F(0,1,0)

    所以(2,-1,-1)(2,-1,-2)(0,2,-1)

     

    考点   数学运算-求空间向量的夹角

    例题9.已知向量a(1,2,3)b(2,-4,-6)|c|,若(abc7,则ac的夹角为________

    【答案】120°

    【解析】因为a(1,2,3)b(2,-4,-6),所以ab(1,-2,-3),所以|ab|.因为(abc7,所以abc夹角的余弦值为,即夹角为60°.因为a(1,2,3)ab(1,-2,-3)方向相反,所以可知ac的夹角为120°.

    考点  逻辑推理-证明垂直关系

    例题11如图所示,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,CACB1BCA90°,棱AA12MN分别为A1B1A1A的中点.

    求证:BN平面C1MN.

    【证明】:如图所示,建立空间直角坐标系C­xyz.

    依题意得A1(1,0,2)C1(0,0,2)B(0,1,0)

    N(1,0,1)M

    (1,0,-1)

    (1,-1,1)

    ·×1×(1)0×10

    ·1×10×(1)(1)×10.

    BNC1MBNC1N

    C1MC1NC1C1M平面C1MNC1N平面C1MN

    BN平面C1MN.

    二、学业质量测评

    一、选择题

    1求空间中点关于平面的对称点的长度为(  

    A B C D

    【答案】D

    【详解】

    关于平面的对称点的坐标为

    所以,的长度为

    故选D.

    2,向量,且,则的值为(   

    A B1 C2 D3

    【答案】A

    【详解】

    解得

    所以

    解得

    所以

    故选:A

    3已知向量,则   

    A B C D

    【答案】A

    【详解】

    .

    故选:A.

    4空间直角坐标系中,已知,则线段的中点为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    根据中点坐标公式,中点坐标为.故选.

    5已知点A(0,1,0)B(1,0,-1)C(2,1,1),点P(x,0z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为(  )

    A(1,0,-2) B(1,0,2)

    C(1,0,2) D(2,0,-1)

    【答案】C

    【分析】

    利用.即可得出.

    【详解】

    ,∴

    ,解得

    ∴P(1,0,2)

    故选C .

    6已知向量.,则x的值为(   

    A B2 C3 D

    【答案】A

    【详解】

    ,解得.

    故选:A

    7(多选题)如图,在长方体中,,以直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则(   

    A的坐标为

    B关于点对称的点为

    C关于直线对称的点为

    D关于平面对称的点为

    【答案】ACD

    【详解】

    根据题意知:点的坐标为,选项A正确;

    的坐标为坐标为

    故点关于点对称的点为,选项B错误;

    在长方体中

    所以四边形为正方形,垂直且平分,

    即点关于直线对称的点为,选项C正确;

    关于平面对称的点为,选项D正确;

    故选:ACD.

    8(多选题)对于任意非零向量,以下说法错误的有(   

    A,则

    B,则

    C

    D,则为单位向量

    【答案】BD

    【详解】

    对于A选项,因为,则A选项正确;

    对于B选项,若,且,若,但分式无意义,B选项错误;

    对于C选项,由空间向量数量积的坐标运算可知C选项正确;

    对于D选项,若,则,此时,不是单位向量,D选项错误.

    故选:BD.

    二、填空题

    9已知为单位正交基底,且,则向量的坐标是_________.

    【答案】

    【详解】

    解:由,得

    .

    故答案为:

    10已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为,若

    PAAB,PAAC,则点P的坐标为_______.

    【答案】

    【详解】

    由已知得

    由题意得

    解得.

    11已知点为坐标原点),则点的坐标为__________.

    【答案】

    【详解】

    设点的坐标为

    ,

    ,解得

    的坐标为.

    故答案为:

    12如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,EF分别为D1C1B1C1的中点,若以为基底,则向量的坐标为___,向量的坐标为___,向量的坐标为___. 

    【答案】           

    【详解】

    因为,所以向量的坐标为.

    因为

    所以向量的坐标为.

    因为,所以向量的坐标为.

    故答案为:

    三、解答题

    13已知在空间直角坐标系中,.

    1)求

    2)若点M满足,求点M的坐标;

    3)若,求.

    【答案】1;(2;(316.

    【详解】

    1)因为,所以.

    所以,又

    所以,又

    所以.

    2)由(1)知,

    若设M(xyz),则

    于是,解得,故

    3)由(1)知,.

    14已知点

    1)若D为线段的中点,求线段的长;

    2)若,且,求a的值,并求此时向量夹角的余弦值.

    【答案】1;(2

    【详解】

    1)由题意,点且点D为线段的中点,

    可得,则,所以

    即线段的长为

    2)由点,则

    所以,解得,所以

    即向量夹角的余弦值为

    15已知空间中三点,设.

    1)求向量与向量的夹角的余弦值;

    2)若互相垂直,求实数的值.

    【答案】1;(2.

    【详解】

    1

    的夹角为

    2

    ,即:.

     

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