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专题03 空间向量及其运算的坐标表示(核心素养练习)-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
展开专题三 空间向量及其运算的坐标表示
一、核心素养聚焦
考点一 直观想象-求空间中点、向量的坐标
例题8.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
(2)写出向量,,的坐标.
【解析】 (1)由题图知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),
(2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,
由中点坐标公式,得E(2,2,1),F(0,1,0).
所以=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
考点二 数学运算-求空间向量的夹角
例题9.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为________.
【答案】120°
【解析】因为a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),所以a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=.因为(a+b)·c=7,所以a+b与c夹角的余弦值为,即夹角为60°.因为a=(1,2,3)与a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知a与c的夹角为120°.
考点三 逻辑推理-证明垂直关系
例题11、如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.
求证:BN⊥平面C1MN.
【证明】:如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得A1(1,0,2),C1(0,0,2),B(0,1,0),
N(1,0,1),M,
∴=,=(1,0,-1),
=(1,-1,1),
∴·=×1+×(-1)+0×1=0,
·=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0.
∴⊥,⊥,
∴BN⊥C1M,BN⊥C1N,
又∵C1M∩C1N=C1,C1M⊂平面C1MN,C1N⊂平面C1MN,
∴BN⊥平面C1MN.
二、学业质量测评
一、选择题
1.求空间中点关于平面的对称点与的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
点关于平面的对称点的坐标为,
所以,与的长度为,
故选D.
2.设,向量,且,则的值为( )
A. B.1 C.2 D.3
【答案】A
【详解】
∵,
∴,
解得,
又,
所以,
解得,
所以,
故选:A.
3.已知向量,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
,.
故选:A.
4.空间直角坐标系中,已知,,则线段的中点为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据中点坐标公式,中点坐标为.故选.
5.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为( )
A.(1,0,-2) B.(1,0,2)
C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)
【答案】C
【分析】
利用⊥,⊥⇔.即可得出.
【详解】
∵,,.
∵⊥,⊥,∴.
∴,解得.
∴P(-1,0,2) .
故选C .
6.已知向量.若,则x的值为( )
A. B.2 C.3 D.
【答案】A
【详解】
,解得.
故选:A
7.(多选题)如图,在长方体中,,,,以直线,,分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则( )
A.点的坐标为
B.点关于点对称的点为
C.点关于直线对称的点为
D.点关于平面对称的点为
【答案】ACD
【详解】
根据题意知:点的坐标为,选项A正确;
的坐标为,坐标为,
故点关于点对称的点为,选项B错误;
在长方体中,
所以四边形为正方形,与垂直且平分,
即点关于直线对称的点为,选项C正确;
点关于平面对称的点为,选项D正确;
故选:ACD.
8.(多选题)对于任意非零向量,,以下说法错误的有( )
A.若,则
B.若,则
C.
D.若,则为单位向量
【答案】BD
【详解】
对于A选项,因为,则,A选项正确;
对于B选项,若,且,,若,但分式无意义,B选项错误;
对于C选项,由空间向量数量积的坐标运算可知,C选项正确;
对于D选项,若,则,此时,不是单位向量,D选项错误.
故选:BD.
二、填空题
9.已知为单位正交基底,且,则向量的坐标是_________.
【答案】
【详解】
解:由,得
,
则.
故答案为:
10.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为,若
PA⊥AB,PA⊥AC,则点P的坐标为_______.
【答案】
【详解】
由已知得,
由题意得即,
解得,.
11.已知点(为坐标原点),则点的坐标为__________.
【答案】
【详解】
设点的坐标为,
,
,解得
∴点的坐标为.
故答案为:
12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以为基底,则向量的坐标为___,向量的坐标为___,向量的坐标为___.
【答案】
【详解】
因为,所以向量的坐标为.
因为,
所以向量的坐标为.
因为,所以向量的坐标为.
故答案为:;;
三、解答题
13.已知在空间直角坐标系中,.
(1)求;
(2)若点M满足,求点M的坐标;
(3)若,求.
【答案】(1),,;(2);(3)16.
【详解】
(1)因为,所以.
所以,又
所以,又
所以.
(2)由(1)知,
若设M(x,y,z),则
于是,解得,故
(3)由(1)知,.
14.已知点,,.
(1)若D为线段的中点,求线段的长;
(2)若,且,求a的值,并求此时向量与夹角的余弦值.
【答案】(1);(2).
【详解】
(1)由题意,点,且点D为线段的中点,
可得,则,所以,
即线段的长为.
(2)由点,,则,
所以,解得,所以,
则,
即向量与夹角的余弦值为.
15.已知空间中三点,,,设,.
(1)求向量与向量的夹角的余弦值;
(2)若与互相垂直,求实数的值.
【答案】(1);(2)或.
【详解】
(1)∵,,
设与的夹角为,∴;
(2)∵,且,
∴,即:或.
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