高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练4.3《数系的扩充与复数的引入》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练4.3《数系的扩充与复数的引入》(教师版)，共4页。试卷主要包含了下列各式的运算结果为纯虚数的是，若a为实数，且＝－4i，则a＝等内容，欢迎下载使用。

1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.
答案：B
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.
答案：C
3．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：因为m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，
所以m2＋m－2＝0，m2－1≠0，所以m＝－2.
答案：C
4．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
解析：由已知可得zi＝4，所以z＝eq \f(4,i)＝－4i.
答案：C
5．设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，则z1－z2＝(a1＋b1i)－(a2＋b2i)＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，若z1－z2是虚数，则b1－b2≠0，所以b1，b2不能都为零，即“z1，z2中至少有一个数是虚数”；若“z1，z2中至少有一个数是虚数”，则b1，b2至少有一个不为零，但是有可能b1－b2＝0，比如1＋i,2＋i都是虚数，但是它们的差为实数，所以“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的必要不充分条件．
答案：B
6．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解得a＝0.故选B.
答案：B
7．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
解析：因为z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，所以z的实部是1.
答案：1
8．|1＋eq \r(2)i|＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3)i,1＋i)))2＝__________.
解析：原式＝eq \r(12＋\r(2)2)＋eq \f(1－\r(3)i2,1＋i2)＝eq \r(3)＋eq \f(－2－2\r(3)i,2i)＝eq \r(3)＋eq \f(－2,2i)＋eq \f(－2\r(3)i,2i)＝i.
答案：i
9．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是__________．
解析：由复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ，))消去m得4－4cs2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cs2θ－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16).因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))
B组 能力提升练
10．已知复数eq \f(\x\t(z),1＋i)＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．－1＋3i B．1－3i
C．－1－3i D．1＋3i
解析：由题意得，eq \x\t(z)＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，所以z＝1－3i.
答案：B
11．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则eq \x\t(z)＝( )
A．3－2i B．3＋2i
C．2＋3i D．2－3i
解析：因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以eq \x\t(z)＝2－3i.
答案：D
12．设a∈R，且(a＋i)2i为正实数(i为虚数单位)，则a＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：因为(a＋i)2i＝(a2＋2ai＋i2)i
＝－2a＋(a2－1)i是正实数，
所以－2a＞0，a2－1＝0，解得a＝－1.
答案：D
13.eq \f(1＋2i,1－i2)＝( )
A．－1－eq \f(1,2)i B．－1＋eq \f(1,2)i
C．1＋eq \f(1,2)i D．1－eq \f(1,2)i
解析：eq \f(1＋2i,1－i2)＝eq \f(1＋2i,－2i)＝eq \f(1＋2ii,2)＝eq \f(－2＋i,2)＝－1＋eq \f(1,2)i.
答案：B
14．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值为__________．
解析：复数z＝x＋yi且|z－2|＝eq \r(3)，复数z的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆(x－2)2＋y2＝3.eq \f(y,x)的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率，设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，eq \f(|2k|,\r(1＋k2))≤eq \r(3)，可得k∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3).
答案：eq \r(3)
15．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
解析：(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，
由已知得a＋1＝0，
解得a＝－1.
答案：－1