高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练4.1《平面向量的概念及线性运算》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练4.1《平面向量的概念及线性运算》(教师版)，共6页。试卷主要包含了已知a＝，b＝，c＝，则，若a与b不共线，已知下列各向量等内容，欢迎下载使用。

1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点共线；
④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
以上命题中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，当b＝0时，a与c不一定平行，
故正确命题的个数为0.
答案：D
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反
B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
D．|－λa|≥|λ|·a
解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反．B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
答案：B
3．(威海模拟)设a，b不共线，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：因为eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a－2b，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线．设eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.
答案：B
4．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B，C，D B．A，B，C
C．A，B，D D．A，C，D
解析：因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq \(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三点共线．
答案：C
5．已知a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，则( )
A．c＝a＋2b B．c＝a－2b
C．c＝2b－a D．c＝2a－b
解析：设c＝xa＋yb，
所以(7，－4)＝(3x－2y，－2x＋y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2，))所以c＝a－2b.
答案：B
6．在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB.若eq \(CB,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D.eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
解析：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得eq \f(|AD|,|DB|)＝eq \f(|CA|,|CB|)＝eq \f(2,1)，所以D为AB的三等分点，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))，所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
答案：B
7．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为________．
解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
由A，B，D三点共线，得eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,－4λ＝k，))则k＝－8.
答案：－8
8．若a与b不共线，已知下列各向量：
①a与－2b；②a＋b与a－b；③a＋b与a＋2b；④a－eq \f(1,2)b与eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)b.
其中可以作为基底的是________(填序号)．
解析：对于①，因为a与b不共线，所以a与－2b不共线；对于②，假设a＋b与a－b共线，则有a＋b＝λ(a－b)，所以λ＝1且λ＝－1，矛盾．所以a＋b与a－b不共线；对于③，同理a＋b与a＋2b不共线；对于④，因为a－eq \f(1,2)b＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(1,4)b))，所以a－eq \f(1,2)b与eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)b共线．由基底的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以．
答案：①②③
9．直线l上有不同三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1－cs α)eq \(OB,\s\up6(→))＋sin αeq \(OC,\s\up6(→))(α是锐角)总成立，则α＝________.
解析：因为直线l上有不同三点A，B，C，所以存在实数λ，使得eq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λ(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
即eq \(OA,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λ＝1－cs α，,λ＝sin α，))所以sin α＝cs α，因为α是锐角，所以α＝45°.
答案：45°
10．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在eq \x\t(AB)上，且∠COB＝30°，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.
解析：根据题意，可得OA⊥OC，以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则有C(1,0)，A(0,1)，
B(cs 30°，－sin 30°)，
即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，于是eq \(OC,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,1)，
eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，得：
(1,0)＝λ(0,1)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)μ＝1，,λ－\f(1,2)μ＝0，))
解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(\r(3),3)，,μ＝\f(2\r(3),3)，))所以λ＋μ＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
B组 能力提升练
11．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－2 D．2
解析：因为向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，所以a－2b＝(4，－1)，ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
因为ma＋nb与a－2b共线，
所以4(3m＋2n)－(－1)(2m－n)＝0，所以eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
答案：A
12．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→))，则△ABM与△ABC的面积比为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
解析：如图所示，设AB的中点为D，由5eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AC,\s\up6(→))，得3eq \(AM,\s\up6(→))－3eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AM,\s\up6(→))，所以eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(MD,\s\up6(→))，所以C，M，D三点共线，且eq \(MD,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(CD,\s\up6(→))，所以△ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为eq \f(3,5).
答案：C
13．已知向量a＝(－1,2)，b＝(－x,1－y)且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A．9 B．8
C.eq \f(5,4) D.eq \f(32,3)
解析：因为a∥b，所以－2x＝－1＋y即2x＋y＝1(x＞0，y＞0)，所以eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))·(2x＋y)＝2＋2＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)≥4＋4＝8.
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4x,y)＝\f(y,x)，,2x＋y＝1.))且x＞0，y＞0即x＝eq \f(1,4)且y＝eq \f(1,2)时
“＝”成立．
答案：B
14．已知a＝(3，t)，b＝(－1,2)，若存在非零实数λ，使得a＝λ(a＋b)，则t＝( )
A．6 B．－6
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
解析：因为a＋b＝(2，t＋2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＝3，,t＝λt＋2，))解得t＝－6.
答案：B
15．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AF,\s\up6(→))其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析：选择eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))作为平面向量的一组基底，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
又eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,2)μ))eq \(AD,\s\up6(→))，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))
所以λ＋μ＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
16.(临汾模拟)如图，△ABC中，eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b.若eq \(CP,\s\up6(→))＝ma，eq \(CQ,\s\up6(→))＝nb，CG∩PQ＝H，eq \(CG,\s\up6(→))＝2eq \(CH,\s\up6(→))，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝________.
解析：由eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则eq \(CH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6m)eq \(CP,\s\up6(→))＋eq \f(1,6n)eq \(CQ,\s\up6(→))，由P，H，Q三点共线，得eq \f(1,6m)＋eq \f(1,6n)＝1，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝6.
答案：6