高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练5.3《等比数列及其前n项和》(教师版)

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课时规范练A组　基础对点练1．在公比为的等比数列{an}中，若sin(a1a4)＝，则cos(a2a5)的值是(　　)A．－　　　　　　　 B.C.   D.解析：由等比数列的通项公式可知a2a5＝(a1a4)q2＝2(a1a4)，cos(a2a5)＝1－2sin2(a1a4)＝1－2×2＝.答案：B2．(重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝(　　)A．16  B．32C．64  D．128解析：由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C.答案：C3．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)A．－24  B．－3C．3  D．8解析：设等差数列的公差为d，d≠0，a＝a2·a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，d2＝－2d(d≠0)，所以d＝－2，所以S6＝6×1＋×(－2)＝－24.答案：A4．(临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)A．－   B.C．－   D.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，又因为{an}是等比数列，所以a＋＝，所以a＝－.答案：A5．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)A．21　　　　　　　　　 B．42C．63  D．84解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.答案：B6．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由题意得－1＋3d＝－q3＝8d＝3，q＝－2＝＝1.答案：17．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)．答案：(1－2－3n)8．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式．(2)若S5＝，求λ.解析：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故a1＝，由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，所以＝，因此数列{an}是以a1＝为首项，以为公比的等比数列，an＝n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n，又因为S5＝，所以＝1－5，即5＝，解得λ＝－1.9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜.所以＋＋…＋＜.B组　能力提升练10．(长春调研)等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝27，则公比q的值为(　　)A．1  B．－C．1或－  D．－1或－解析：当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝9，∴S3＝3×9＝27.当q≠1时，S3＝，∴27＝，∴a1＝27－18q，∵a3＝a1q2，∴(27－18q)·q2＝9，∴(q－1)2(2q＋1)＝0，∴q＝－.综上，q＝1或q＝－.选C.答案：C11．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　)A．1  B．－1C.  D．2解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.答案：D12．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)A．Sn＝2an－1  B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3an  D．Sn＝3－2an解析：因为a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，Sn＝＝3＝3－2n－1＝3－2an，故选D.答案：D13．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝__________.解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，∵a1＝1，∴an＝.答案：14．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列．(2)求数列{an}的通项公式．解析：证明：(1)因为an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．因为a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，所以an＋2an－1≠0(n≥2)，所以＝3(n≥2)，所以数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．所以an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n.