专题18 建立坐标系“形题数解”-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

专题18   建立坐标系“形题数解”

【压轴综述】

1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．

（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．

3．所谓“形题数解”，主要是考虑遇到“形”的问题，可以通过建立坐标系，建立坐标关系式，利用函数观点解题；也可以直接利用几何元素的关系，通过给出假设量，建立函数关系，利用函数观点或利用不等式求解.

本专题通过例题重点说明说明“形题数解”这类问题的方法与技巧.

【压轴典例】

例1.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=DO.

(1)证明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

例2.(2020·江苏高考·T18)在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.

(1)求△AF1F2的周长;

(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求·的最小值;

(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别是S1,S2,若S2=3S1,求M的坐标.

例3.(2020·全国卷Ⅲ理科·T19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.

(1)证明:点C1在平面AEF内;

(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.

例4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

例5. （2019·全国高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2020北京高三模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为(    )

A． B． C． D．

例7. （2019·北京高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是

A．① B．② C．①② D．①②③

例8.（福建省泉州市2020届高三）类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为______.

例9.(2020·天津高考·T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.

(1)求证:C1M⊥B1D;

(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;

(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.

例10.(2020·江苏高考·T22)在三棱锥A-BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,AO=2,E为AC的中点.

(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;

(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F-DE-C的大小为θ,求sin θ的值.

【压轴训练】

1．（2021·北京市育英学校高三）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1＝2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P在侧面BCC1B1运动时，的最小值是（ ）

A．87 B．88 C．89 D．90

2．（2020·浙江杭州市·高三）如图所示，在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的动点，若直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，则点的轨迹是（    ）

A．圆 B．椭圆

C．直线 D．射线

3．（2018·天津高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （   ）

A． B． C． D．

4．（2020·江西高三）已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为（   ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国高三课时练习）已知正方体的棱长为2，，中点分别为，，若过的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·四川遂宁市·高三）已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：

①若点在线段上运动，则始终有；

②若是棱中点，则直线与是相交直线；

③ 若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；

④为中点，过点且与平面平行的正方体的截面面积为

⑤若点在线段上运动，则的最小值为

以上命题为真命题的个数为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·全国高三专题练习）已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8.（2020江苏省连云港市锦屏高级中学）如图所示，在平行四边形中，，，是边的中点，，若，则_______．

9.（2020河北高三）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．

10.（2020湖州市菱湖中学高三）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为    .

11．（2020辽宁鞍山一中高三）已知三棱锥满足，则该三棱锥体积的最大值为________.

12.（2019·北京高考真题）如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

13．（2020天津市武清区杨村第一中学高三）如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直， ，,点在线段上.

(Ⅰ) 若点为的中点，求证：平面；

(Ⅱ) 求证：平面平面；

(Ⅲ) 当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的长.

14．（2020山东高三）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

15.（2020河北邯郸高三）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．