专题10 数列与不等式的综合问题-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

专题10  数列与不等式的综合问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.

本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；

②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；

③比较方法：作差或者作商比较．　

【压轴典例】

例1．（2020·全国高三专题练习）已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，设，，则当时，的最小值是（    ）

A．9 B．10

C．11 D．12

【答案】B

【详解】是以1为首项，2为公差的等差数列，，是以1为首项，2为公比的等比数列，，

，

而，所以数列是单调递增数列，

且，，，，所以．所以当时，n的最小值是10．

例2．（2021·浙江绍兴市·高三期末）设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，且最小间隔数是3，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则

，成立，

则，对于 成立，且对于 成立，即，对于 成立，且，对于 成立，所以，且，解得，

例3.（2020·江西师大附中高考模拟）数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】第一行为，其和为，可以变形为：；第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；第三行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；依此类推：第行的和：；

则前行共：个数前行和为：

满足，而第六行的第个数为：，则

满足的最小正整数的值为：

例4．（2020·长沙市·湖南师大附中高三）已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是（    ）

A．数列的通项为            B．数列的通项为

C．当时，   D．

【答案】ABD

【详解】设直线，联立，得，

则由，即，得（负值舍去）

所以可得，，所以AB对；

因为，因为，则，即，所以，故C错；因为，令，.可得在上递减，可知在上恒成立.又. 所以成立. 故D正确.

例5．（2020·深圳实验学校高中部高三）设为等比数列的前项和，满足，且，，成等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A．             B．

C．若数列中存在两项，使得，则的最小值为

D．若恒成立，则的最小值为

【答案】ABD

【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，所以，；

；所以A，B正确；

若，则，，

所以，所以，则或或或，此时或或或；C不正确，，

当为奇数时，，当为偶数时，，又关于单调递增，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，所以，D正确，

例6. （2018·江苏高考真题）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

【答案】27

【解析】设，则

，由得

所以只需研究是否有满足条件的解，

此时，，为等差数列项数，且.

由

得满足条件的最小值为.

例7．（2020·河南洛阳高三模拟）记首项为，公差为的等差数列的前项和为，若，且，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由，得.因为，所以，.所以当时，，当时，.

（1）当时，由得.

因为，所以.

（2）当时，由得.

因为，所以.综上所述，的取值范围是.

例8．（2019·四川重庆南开中学高考模拟）在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为_____．

【答案】9

【解析】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，

所以.所以使得成立的最大正整数为9.

例9.(2020·浙江高考·T20)已知数列{an},{bn},{cn}中,a1=b1=c1=1,

cn=an+1-an,cn+1=·cn(n∈N*).

(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列,且公比q>0,且b1+b2=6b3,求q与an的通项公式;

(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列,且公差d>0,证明:c1+c2+…+cn<1+.

【解析】(Ⅰ)b1=1,b2=q,b3=q2,且b1+b2=6b3,即1+q=6q2,又q>0得q=,所以bn=,bn+2=,

cn+1=cn=4cn,所以=4,所以{cn}是首项c1=1,公比为4的等比数列,cn=4n-1,

由an+1-an=cn=4n-1得an-a1=40+41+…+4n-2得an=.

(Ⅱ)bn=1+(n-1)d,则bn+1 bn+2cn+1=bnbn+1cn=…=b1b2c1=1+d,

故cn===.于是c1+…+cn=<1+,得证.例例10.(2019·浙江高考·T20)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式.

(2)记cn=,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.

【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2.

从而an=2n-2,n∈N*.由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).

解得bn=(-SnSn+2).所以bn=n2+n,n∈N*.

(2)cn===,n∈N*.我们用数学归纳法证明.

①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;

②假设n=k时不等式成立,即c1+c2+…+ck<2.那么,当n=k+1时,

c1+c2+…+ck+ck+1<2+<2+<2+=2+2(-)=2.

即当n=k+1时不等式也成立.

根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2对任意n∈N*成立.

【压轴训练】

1．（2021·上海松江区·高三一模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是．

2．（2020·上海高三专题练习）若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】当时，，

于是有：，

所以，显然也适合，因此数列的通项公式为：.当为奇数时，，此时数列的奇数项数列是单调递增函数；当为偶数时，，此时数列的偶数项数列是单调递增函数，要想使不等式成立的有且只有三项，只需有：

.

3. （2020·安徽合肥高三）设是等差数列，下列结论一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；

对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；又{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2，即C正确；

若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．

4．（2020·浙江杭州高三）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比数列，则

A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】由成等比数列．可得， 得（，
 即，∵公差不等于零，

5．（2020·山东高考模拟）已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为__________．

【答案】2

【解析】正项等比数列满足，，整理，得，又，解得，，存在两项，使得，，

整理，得，，

则的最小值为2．当且仅当取等号，又，．，所以只有当，时，取得最小值是2．

6．（）2020·浙江宁波市·高三期中）已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；（2）求证，．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【详解】（1）由题意可知，当时，，解得，当时，由，可得，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以．

（2）由，可得，

则，所以.

7．（2020·安徽高考模拟）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若 ，，则使不等式成立的的最小值是________.

【答案】11

【解析】由可得，则（）（）=0，又数列的各项均为正数，∴，即，可得数列{an}是首项为公比为q＝2的等比数列，∴,则n>10，又，∴n的最小值是11，

8．（2020·甘肃天水一中高考模拟）已知数列满足，，，那么成立的的最大值为______

【答案】5

【解析】因为，所有成等差数列，且首项，公差

所以，解，得，所以成立的的最大值为5

9．（2020·河北高考模拟（理））已知数列的前项和为，且，若，则取最小值时__________.

【答案】10

【解析】由，，

两式作差可得：，即，

由，，两式作差可得：，

则，，故，进一步可得：，

又，则，且，则取最小值时.

10．（2020·全国高三专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

【答案】（1），；（2）存在；．

【详解】（1）设数列的公差为，依条件有，即，解得（舍）或，，由得，当时，，解得，当时，，，数列是首项为，公比为的等比数列，故；

（2）由（1）知：，①，

②，

① —②得

又，，当时，，

当时，，，故所求的正整数存在，其最小值为2．

11．（2020·浙江金华市·高三）已知为公差不为的等差数列，是等比数列的前项和，若是和的等比中项，，.

（1）求及；

（2）证明：.

【答案】（1）（1），；（2）证明见解析.

【详解】（1）是公差不为的等差数列，设公差为，又是和的等比中项，

，即，，即，

解得：(舍)或，，

又为等比数列，且，，

，；

（2），，

，，

，，设 的前项和为，

则…①

 …②

①②得：… ，

，

，

.

12．（2020·天津高考模拟）已知单调等比数列，首项为，其前项和是，且，，成等差数列，数列满足条件

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，记数列的前项和是.

①求；②求正整数，使得对任意，均有.

【答案】(1)，；(2)①.；②..

【解析】 (1)设.由已知得，即，

进而有.所以，即，则.由已知数列是单调等比数列，且，所以取.数列的通项公式为.

，，则.

即数列的通项公式为.

(2)①.由(1)可得：，

分组求和可得：.

②由于，

由于比变化快，所以令得.

即递增，而递减.所以，最大.即当时，.

13．（2020·广东高考模拟）已知数列满足.

（1）求和的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1) (2)

【解析】

 (1)由题意得，

所以得

由,

所以（），

相减得，

得也满足上式.

所以的通项公式为.

(2)数列的通项公式为

是以为首项,公差为的等差数列,

若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值,

所以解得所以实数的取值范围是

14. 设数列满足,其中为实数.

（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是,

(Ⅱ)设,证明：;

(Ⅲ)设,证明：

【答案】见解析.

【解析】（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.

充分性：设，对任意用数学归纳法证明.

当时，.

假设当时，，则，且，.

由数学归纳法知，对任意成立.

(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；

当时，∵，∴.

∵，由（Ⅰ）知，∴且，

∴，

∴.

(Ⅲ)设,当时，，结论成立；当时，由(Ⅱ)知，∴.

∴

.

15. 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）设直线：，联立得，则，

∴（舍去），，即，

∴

（2）证明：∵

∴，由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，

∴，即在恒成立，又，

则有，即.