专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

专题15  圆锥曲线与其它知识的交汇问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律.

一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题；

二是用向量的坐标表示解决共线问题．

(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝求角．

(2)当a，b不共线时，有〈a，b〉为：直角⇔a·b＝0；钝角⇔a·b<0(且a，b不反向)；锐角⇔a·b>0(且a，b不同向)．

(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．

二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等.

【压轴典例】

例1．（2020·上海高三专题练习）设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的值为(    )

A． B． C． D．

例2．（2020·江苏南京市·高三）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆Γ与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经过与Γ反射，又回到了点历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经Γ两次反射后又回到了点历时秒；若则Γ与的离心率之比为（    ）

A． B．1：2 C．2：3 D．3：4

例3.（2020浙江温州中学高三）设点是长方体的棱的中点，，，点在面上，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（    ）

A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.一条线段 D.一段圆弧

例4.（2020·广州市天河中学）(多选)已知椭圆，双曲线若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（    ）

参考数据（）

A．椭圆的离心率

B．双曲线的离心率

C．椭圆上不存在点A使得

D．双曲线上存在不同的四个点Bi(i=1,2,3,4),使得

例5.（2020·四川石室中学高三）设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为（    ）

A. B. C. D.

例6．（2020·全国高三专题练习）已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为，过点P且与直线垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为_______．

例7．（2020·上海浦东新区·高三）已知椭圆，、为的左、右焦点.

（1）求椭圆的焦距；

（2）点为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点A、B，若面积为，求直线的方程；

（3）已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，椭圆 和双曲线上满足的所有点组成曲线．若点是曲线上一动点，求的取值范围．

例8．（2020·上海市七宝中学高三）已知双曲线过点，且右焦点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；

例9．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三）动点P在圆x2＋y2＝2上，过点P作y轴的垂线，垂足为H，点E满足，设点E的轨迹为曲线C1.

（1）求C1的方程；

（2）已知抛物线C2：x2＝4y的焦点F，设过点F的动直线l与曲线C2交于A，B两点，分别以A，B为切点作曲线C2的两条切线l1，l2，设l1，l2相交于点G，直线FG交曲线C1于M，N两点.

①求证：AB⊥MN；②求的最小值.

例10．（2020·浙江省东阳中学高三）如图，为椭圆的下顶点，过点的直线交抛物线于两点，是的中点.

（1） 求证:点的纵坐标是定值；

（2）过点作与直线倾斜角互补的直线交椭圆于两点.问：为何值时，的面积最大？并求面积的最大值.

【压轴训练】

1．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中）如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，，M是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，，则（    ）

A．1 B． C． D．

2．（2020·全国高三专题练习）设、分别是抛物线的顶点和焦点，点在抛物线上，若，则(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（2020·湖南长沙市·长郡中学高三）已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，其准线与双曲线交于点，点在轴上.若最大，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·浙江高三期中）已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，且过双曲线的右焦点与x轴垂直的直线l与双曲线交于点A，B，的面积为，则双曲线的实轴的长为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·湖北高二月考）已知，是双曲线：的左、右焦点，点为双曲线上异于顶点的点，直线分别与以，为直径的圆相切于，两点，若直线与的夹角为，则______.

7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则=__________________.

8．（2020·北京高三专题练习）在直角坐标系中，双曲线（）的离心率，其渐近线与圆 交轴上方于两点，有下列三个结论：

① ；②存在最大值；③ ．

则正确结论的序号为_______.

9．（2020云南师大附中高三）边长为的正方体中，点为上底面的中心，为下底面内一点，且直线与底面所成线面角的正切值为，则点的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.

10．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

11．（2020·山东淄博高三）已知抛物线的焦点为，准线为.若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为____.

12．（2020·全国高三月考）设椭圆的左顶点在抛物线的准线上，是椭圆的右焦点，且椭圆的焦距为2，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线和分别与直线交于点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

13．（2020·江苏南京市·高三）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.

①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；

②若△OPQ的面积为求直线l的方程.

14．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，，是椭圆上的不同两点，且以为直径的圆经过原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由；

（3）求的最小值.

15．（2020·上海市南洋模范中学高三）已知椭圆的右焦点为F(1，0)，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值；

（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆E过且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.