专题20 构造模型、应用问题数学化-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

这是一份专题20 构造模型、应用问题数学化-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练，文件包含专题20构造模型应用问题数学化解析版doc、专题20构造模型应用问题数学化原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

专题20 构造模型、应用问题数学化
【压轴综述】
最近披露的高考信息已经明确，2020年高考考查的重点为：
考向1：基础性：强调基础扎实
高考关注主干内容，关注今后生活、学习和工作所必须具备、不可或缺的知识、能力和素养，因此要求学生对这一部分内容的掌握扎实牢靠，只有根深方能叶茂.
考向2：综合性：强调融会贯通
高考要求学生能够触类旁通、融会贯通，既包括同一层面、横向的融会贯通，也包括不同层面之间的、纵向的融会贯通.
以必备知识为例，各个知识点之间不是割裂的，而是处于整个知识网络之中.必备知识与关键能力、学科素养、核心价值之间紧密相连，形成具备内在逻辑联系的整体网络.
考向3：应用性：强调学以致用
高考命题关注与国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等紧密相关的内容.避免考试和生活学习脱节，坚持应用导向，鼓励学生运用知识、能力和素养去解决实际问题.
考向4：创新性：强调创新意识和创新思维
高考关注与创新相关度高的能力和素养，比如独立思考能力、发散思维、逆向思维等；
考查学生敏锐发觉旧事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力；
考查学生进行新颖推测和设想并周密论证的能力；
考查学生探索新方法积极主动解决问题的能力，鼓励学生勇于摆脱思想的束缚，大胆创新.
考向5：2021年命题如何体现基础性、综合性、应用性和创新性？
试卷中应包含一定比例的基础性试题，引导学生打牢知识基础；
试题之间、考点之间、学科之间相互关联，交织成网，对学生素质进行全面考查；
使用贴近时代、贴近社会、贴近生活的素材，鼓励学生理论联系实际，关心日常生活、生产活动中蕴含的实际问题，体会课堂所学内容的应用价值；
合理创设情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新规律、得出新结论.
重点提示：高考数学的必备知识包括，预备知识、函数、几 何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动5 个主题.高考数学将其整合，按逻辑体系将分散在必修课程和选择性必修课程中相互衔接的内容组成有机的结构体系.在2020复习备考过程中，大家一定要避免将高考评价体系中的考查要求与具体试题机械绑定.比如，新高考导向重点考查学科核心素养，这一考查目标应该通过试卷的整体设计来实现，而不是机械地落实到某一道试题或某一类试题上.
下面，围绕2020高考数学试题如何体现内容改革方向、2021年命题趋势有哪些、备考注意事项是什么，来为大家具体解读！
理科考生特别要注意，2021年高考会越来越活，就拿2020年高考数学来说，算人的身高，就是把数学考活用，今年高考更加会把高考知识点活用起来，比如用在建设方面，高速或者高铁建设问题，在规划一条高铁时遇见一座山，让考生计算成本，看用打洞还是高架，还是避开等，让成本最低.让考生去算.
对于物理，生物，化学，地理等学科来说，也会像数学一样越来越厉害多变，这样越来考生只会刷题已经不能拿到高分，要懂得知识点的活用，考试中心命题老师提示，考生要把高考的知识点梳理清楚，要知道什么是难点，什么是易错点，什么是失分点等，只要把知识点梳理清楚那么这是也就很容易知道了，知识点也会活用了.知识点梳理好了再刷题，这样错过的知识点不会考错第二次.
本专题精选高考及高三模拟题中的应用问题，梳理出应用问题的主要考向（不等式、解三角形、数列、体积与面积、概率体积、解析几何、函数与导数等），引导师生精准复习备考.
【压轴典例】
例1.(2020·全国卷Ⅱ文科·T4 )理科·T3)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 (　　)
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
【解析】选B.(1 600+500-1 200)÷50=18(名).

例2.(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数,基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (　　)
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
【解析】选B.由题意知3.28=1+6r,解得r=0.38,所以I(t)=e0.38t,因为I(t)=2I(0),所以e0.38t=2,所以0.38t=ln 2≈0.69,解得t≈1.8.
例3.(2020·全国卷Ⅱ理科·T12)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是 (　　)
A.11010… B.11011… C.10001… D.11001…
【解析】选C.由ai+m=ai知,序列ai的周期为m,由已知,m=5,C(k)=aiai+k(k=1,2,3,4),对于选项A,C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+0)=≤,
C(2)=aiai+2=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=(0+1+0+1+0)=,不满足;对于选项B,
C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+1+1)=,不满足;对于选项D,
C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=(1+0+0+0+1)=,不满足.
例4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),pi=1,定义X的信息熵H(X)=-pilog2pi, (　　)
A.若n=1,则H(X)=0 B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大
C.若pi=(i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),
则H(X)≤H(Y)
【解析】选AC.当n=1时,由题意知P(X=1)=p1=1,所以H(X)=-p1log2p1=0,故A项正确;当n=2时,P(X=1)=p1,P(X=2)=p2,p1+p2=1,所以H(X)=-p1log2p1-p2log2p2,当p1=时,p2=,易得H(X)=1,当p1=时,p2=,可得:H(X)=-log2-log2=2-log23<1,这就否定了H(X)随p1的增大而增大,故B项错误;当pi=(i=1,2,…,n)时,H(X)=n×(-log2)=-log2=log2n,所以H(X)随n的增大而增大,故C项正确;因为H(X)=-(p1log2p1+p2mlog2p2m)-(p2log2p2+p2m-1log2p2m-1)-…-(pmlog2pm+pm+1log2pm+1),H(Y)=-(p1+p2m)log2(p1+p2m)-(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)-…-(pm+pm+1)log2(pm+pm+1),因为(p1+p2m)log2(p1+p2m)=p1log2(p1+p2m)+p2mlog2(p1+p2m)>p1log2p1+p2mlog2p2m,
同理:(p2+p2m-1)log2(p2+
p2m-1)>p2log2p2+p2m-1log2p2m-1,…,(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>pmlog2pm+pm+1log2pm+1.
所以(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)+…+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>(p1log2p1+p2mlog2p2m)+(p2log2p2+p2m-1log2p2m-1)+…+(pmlog2pm+pm+1log2pm+1),即-H(Y)>-H(X),所以H(X)>H(Y),故D项错误.
例5.(2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为　　　　cm2. 

【解析】由题意得A到DG的距离与A到FG的距离相等,均为5 cm,所以∠AOH=45°,设O到DE的距离为5t cm,则由tan∠ODC=得点O到DG的距离为3t cm,
则OAcos 45°+5t=7,OAsin 45°+3t=5,因此2t=2,t=1,OA=2,OH=4,所以图中阴影部分的面积为OA2·+×4×2-π=π+4(cm2).

例6.(2020·江苏高考·T17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上),经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF.且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低？

【解析】(1)过A,B分别作MN的垂线,垂足为A',B',则AA'=BB'=-×403+6×40=160(米).
令a2=160,得a=80,所以AO'=80,AB=AO'+BO'=80+40=120(米).
(2)设O'E=x,则CO'=80-x,由,得0 y'=(3x2-60x)=x(x-20),因为k>0,所以令y'=0,得x=0或x=20,所以当00,y单调递增.所以,当x=20时,y取最小值,即当O'E为20米时,造价最低
例7.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为=10.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
例8.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,
(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.
【解析】(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;丙上场后连胜三场的概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1---=.
(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,.因此丙最终获胜的概率为+++=.
例9.(2020·北京高考·T18)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如表:


男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率的估计值记为p0,假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1,试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
【解析】(1)样本中,男生支持方案一的频率为=,女生支持方案一的频率为=,用样本估计总体,用频率估计概率,所以估计该校男生支持方案一的概率为,女生支持方案一的概率为.
(2)记事件Ai(i=1,2)为抽取的第i个男生支持,事件B为抽取的女生支持,则P(Ai)=,P(B)=,所求概率p=P(A1A2+A1B+A2B)=P(A1A2)+P(A1B)+P(A2B)
=××(1-)+×(1-)×+(1-)××=;
(3)p0==.估计全校男生支持方案二的概率为=,女生支持方案二的概率为=.除一年级以外男生有100名,女生有100名,估计其中支持方案二的有×100(名),×100(名),p1==,所以p0>p1.
例10.(2020·江苏高考·T23)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1,q1和p2,q2;
(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).
【解析】(1)p1=×1=,q1=×1=.p2=p1+×q1=,q2=p1+q1=.
(2)当n≥2时,pn=pn-1+×qn-1=pn-1+qn-1,qn=pn-1+qn-1+×(1-pn-1-qn-1)=-qn-1+,所以2pn+qn=(2pn-1+qn-1)+,则2pn+qn-1=(2pn-1+qn-1-1),又2p1+q1-1=,
所以2pn+qn=1+.Xn的概率分布如下:
Xn
0
1
2
P
1-pn-qn
qn
pn
则E(Xn)=qn+2pn=1+.

【压轴训练】
1.（2020·广东高三期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了（　　　　）
A．24里 B．6里 C．18里 D．12里
【答案】C
【解析】设第1天走了里，每天所走的路程为， 依题意成公比为，前6项和为378，解得，.
2.（2020·北京高三期末）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）

A．最少需要16次调动，有2种可行方案 B．最少需要15次调动，有1种可行方案
C．最少需要16次调动，有1种可行方案 D．最少需要15次调动，有2种可行方案
【答案】A
【解析】根据题意A，B两处共需向C，D两处调15个商品，这15个商品应给D处11个商品，C处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：
方案一：A调动11个给D，B调动1个给A，B调动4个给C，共调动16次；
方案二：A调动10个给D，B调动5个给C，C调动1个给D，共调动16次；
3.（2020·湖北高三期末）将甲、乙、丙、丁四人分配到、、三所学校任教，每所学校至少安排人，则甲不去学校的不同分配方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有种情况；则若甲要求不到学校，则不同的分配方案有种；
4．（2020·湖南高三期末）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，所以，故命题p为真命题，则为假命题.
，故命题q为假命题，则为真命题.由复合命题的真假判断，得为真命题.
5.(2020·浙江高考·T16)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　;E(ξ)=　　　　. 
【解析】由题知,随机取出红球的概率为,随机取出绿球的概率为,随机取出黄球的概率为,ξ的取值情况共有0,1,2,P(ξ=0)=+×=,P(ξ=1)=×+××+××=,
P(ξ=2)=××+××+××+××=,所以E(ξ)=1×+2×=1.
6.（2019·全国高考真题）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

【答案】118．8
【解析】由题意得， ，四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．
7.（2020·北京高三期末）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成__________种重卦．（用数字作答）

【答案】15
【解析】由题设，卦的种数为，
8.（2020·湖南高三（理））为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
（i）老年人的人数多于中年人的人数;
（ii）中年人的人数多于青年人的人数;
（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.
①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.
②抽取的总人数的最小值为__________．
【答案】6 12
【解析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为
①,则 ,则的最大值为
②由题意可得,得,， 解得
当时，取最小值.
9.（2020·湖南高三）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列有关说法中：

①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；
②函数是圆的一个太极函数；
③直线所对应的函数一定是圆的太极函数；
④若函数是圆的太极函数，则
所有正确的是__________．
【答案】（2）（3）（4）
【解析】①显然错误，如图

②点均为两曲线的对称中心，且能把圆一分为二，故正确
③直线恒过定点，经过圆的圆心，满足题意，故正确
④函数为奇函数，，
则令，得
即即
对，当时显然无解，即时也无解
即时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分
若时，函数图象与圆有四个交点，
若时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二

综上所述，故正确的是②③④
10.（2020·新疆高三月考）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x亿件：精确到0.1）及其增长速度（y%）的数据

（1）试计算2012年的快递业务量；
（2）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知y与t具有线性相关关系，试建立y关于t的回归直线方程；
（3）根据（2）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量
附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：，
【答案】（1）（亿件）（2）（3）2019年快递业务增长量为（亿件）
【解析】
（1）设2012年的快递业务量为a，则，解得；
（2）
t
1
2
3
4
5
y
61
52
48
51
28
，，
（3）令，预测2018年比上半年增长，
2018年快递业务增长量为（亿件）
令，预测2019年比上半年增长，
2019年快递业务增长量为（亿件）.
11．（2020·江苏高三专题练习）图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH = ．
（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？

【答案】（1）；（2）当为时该别墅总造价最低
【解析】
（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM Ì平面ABCD，得FH⊥HM． 在Rt△FHM中，HM = 5，，所以． 因此△FBC的面积为．从而屋顶面积 ．所以S关于的函数关系式为()．
（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．
所以别墅总造价为

记，，所以，
令，得，又，所以．
列表：





-
0
+




所以当时，有最小值．
答：当为时该别墅总造价最低．
12．（2020·湖南高三）某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，，，，，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
“采用促销”的销售网点
“不采用促销”的销售网点
（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采促销活动有关”；

采用促销
无促销
合计
精英店



非精英店



合计
50
50
100

（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价（单位：元）和日销量（单位：件）（）的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的







45.8
395.5
2413.5
4.6
21.6


①根据上表数据计算，的值；
②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.
附①：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
附②：对应一组数据，
其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
【答案】（1）有的把握认为“精英店与促销活动有关”； （2）①.
②当售价元时，日利润达到最大为元.
【解析】
（1）

采用促销
无促销
合计
精英店
35
20
55
非精英店
15
30
45
合计
50
50
100

因为，
有的把握认为“精英店与促销活动有关”.
（2）①由公式可得：，，
所以回归方程为.
②若售价为，单件利润为，日销售为，
故日利润，，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
故当售价元时，日利润达到最大为元.
13．（2020·湖南高三）某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于,则销售5000件;若气温位于,则销售3500件;若气温低于,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:
气温范围
(单位:)





天数
4
14
36
21
15
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.
(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;
(2)设8月份一天销售这种食品的利润为(单位:元),当8月份这种食品一天生产量(单位:件)为多少时,的数学期望值最大,最大值为多少
【答案】（1）见解析，； （2）当时，的数学期望达到最大值，最大值为.
【解析】(1)今年8月份这种食品一天的销量的可能取值为2000、3500、5000件,
，
于是的分布列为:

2000
3500
5000

0.2
0.4
0.4
的数学期望为.
(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,
只需要考虑,当时,
若气温不低于30度,则;
若气温位于,则;
若气温低于25度,则;
此时,
当时,
若气温不低于25度,则;
若气温低于25度,则;
此时;
时,的数学期望达到最大值,最大值为.
14．（2020·江苏高三专题练习）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的)和两个半圆构成，设，且.

（1）若内圈周长为，则取何值时，矩形的面积最大？
（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为，则取何值时，内圈周长最小？
【答案】（1）100（2）340
【解析】设题中半圆形半径为，矩形的面积为，内圈周长为.
（1）由题意知：，且，即，
于是当且仅当时，等号成立.
答：当时，矩形的面积最大.

（2）由题意知：，于是，
从而.
因为，所以，即，
解得，所以，故.
因为，所以关于的函数在上是单调减函数.故当即时，内圈周长取得最小值，且最小值为.
15.(2020·新高考全国Ⅰ卷)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:
　　 SO2
PM2.5　　　
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面2×2列联表:
　　 SO2
PM2.5　　　
[0,150]
(150,475]
[0,75]


(75,115]


(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=.
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为=0.64.
(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:
　　 SO2
PM2.5　　　
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10
(3)根据(2)的列联表得K2的观测值k=≈7.484.
由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.