专题01 函数的图象与性质及其应用-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

专题01  函数的图象与性质及其应用

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，函数图象和性质及其应用问题，常常出现在压轴题的位置，考查的类型主要有：

1.分段函数的图象与性质问题，往往通过分类讨论，将函数在不同定义域内的图象进行刻画或讨论，有时借助导数这一工具进行研究；

2.函数的零点问题，根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．函数零点问题常常涉及零点个数问题、零点所在区间问题及零点相关的代数式取值问题，解决的途径常以数形结合的思想，通过化归与转化灵活转化问题；

3.抽象函数问题，由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，解决此类问题时，需要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题；

4. 函数性质的综合应用问题，函数性质包括奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对函数性质的熟练掌握与刻画是解决函数综合题目的必然要求；

5.函数与不等式的综合问题，主要有解不等式、及根据不等式确定参数（范围）问题.函数的图象与不等式，往往涉及数形结合思想、转化与化归思想；

6.函数中的新定义问题.

【压轴典例】

例1．（2021·安徽淮北市·高三）设，若的最小值为，则的值为（    ）

A．0 B．1或4 C．1 D．4

【答案】C

【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立.故时，，由二次函数性质可知对称轴，且，解得或（舍去），

例2．（2021·江苏泰州市·高三期末）已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，其中a为常数，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意，函数满足，所以函数的周期为，又由当时，，因为函数奇函数，所以，所以，

则，，令，可得，可得，所以

.

例3．（2020·济南市历城第二中学高三期中）设函数其中表示中的最小者.下列说法错误的是（    ）

A．函数为偶函数                   B．当时，有

C．当时，        D．当时，

【答案】D

【详解】画出的图象如图所示：

对A，由图象可知：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；对B，当时，，；当时，，；当时，，；

当时，，此时有，故B成立；对C，从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C正确；对D，取，则，，，故D不正确．

例4.(2020·天津高考·T9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　　)

A.(-∞,-)∪(2,+∞)        B.(-∞,-)∪(0,2)

C.(-∞,0)∪(0,2)           D.(-∞,0)∪(2,+∞)

【解题指南】由g(0)=0,结合已知,将问题转化为y=|kx-2|与h(x)=(x≠0)有3个不同的交点,分k=0,k<0,k>0三种情况,数形结合讨论即可得到答案.

【解析】选D.注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4个零点,只需方程|kx-2|=(x≠0)恰有3个实根即可,令h(x)=,即y=|kx-2|与h(x)=(x≠0)的图象有3个不同的交点.因为h(x)==当k=0时,此时y=2,如图1,y=2与h(x)=有1个交点,不满足题意;

当k<0时,如图2,此时y=|kx-2|与h(x)=恒有3个不同的交点,满足题意;

当k>0时,如图3,当y=kx-2与y=x2相切时,联立方程得x2-kx+2=0,

令Δ=0得k2-8=0,解得k=2(负值舍去),所以k>2.

综上,k的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).

例5.【2018年理新课标I卷】已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A. [–1，0）    B. [0，+∞）    C. [–1，+∞）    D. [1，+∞）

【答案】C

【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.

例6.(2020·全国卷Ⅱ文科·T10)设函数f(x)=x3-,则f(x) (　　)

A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增    B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减

C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增    D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减

【答案】A

【解析】因为函数f=x3-的定义域为,其关于原点对称,而f=-f,所以函数f为奇函数.又因为函数y=x3在上单调递增,在上单调递增,而y==x-3在上单调递减,在上单调递减,所以函数f=x3-在上单调递增,在上单调递增.

例7.(2020·全国卷Ⅱ理科·T9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (　　)

A.是偶函数,且在单调递增        B.是奇函数,且在单调递减

C.是偶函数,且在单调递增         D.是奇函数,且在单调递减

【答案】D

【解析】选D.函数f(x)的定义域为,关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=

ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)为奇函数,x∈时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),单调递增;x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln,单调递减.

例8.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（     ）

A．  B．  

C．   D．

【答案】B

【解析】∵，．∵时，；∴时，，；∴时，，，如图：

当时，由解得，，若对任意，都有，则.则m的取值范围是.

例9．（2021·全国高三专题练习）某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】A选项，，则，

所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；又当时，，由可得，解得或；由可得，解得，满足题中图象，故该函数的解析式可能是；A正确；B选项，当时，，，所以，不满足题意；排除B；C选项，由得，即不过原点，不满足题意；排除C；D选项，因为，所以，则，不满足题意，排除D；故选：A.

例10．（2021·江苏常州市·高三期末）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】设，对任意的，，则，

则函数的定义域为，

，所以，函数为奇函数，

令，可得，可得，所以，，可得，由可得，解得.所以，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，排除BD选项，

当时，，，所以，，排除C选项。

例11. （2021·江苏泰州市·高三期末）在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

【答案】②③

【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.

例12.【2019年高考浙江】已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.

【答案】

【解析】存在，使得，即有，

化为，可得，即，

由，可得.则实数的最大值是.

【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.

例13．（2020·上海市建平中学高三期中）已知函数，则关于的不等式的解集为___________________．

【答案】

【详解】当时，，，，所以，由，，，此时不等式恒成立；当时，，，则，由，，则此时不等式恒成立；

当时，，符合题意；

当时，，解得，∴．

综上可得，不等式的解集为．

【压轴训练】

1．（2021·陕西榆林市·高三一模）已知定义在R上的偶函数满足，且在上递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为定义在R上的偶函数，所以，因为，所以，即，所以是以2为周期的周期函数，又在上递减，所以在递增，，，，因为，在上递增，所以，，即，

2.【2018年全国卷II理】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

3．（2021·山东高三专题练习）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（    ）

A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解

C．方程有且仅有一个解 D．方程有且仅有九个解

【答案】AC

【详解】根据函数的图象，函数的图象与轴有3个交点，所以：方程有且仅有三个解；

函数在区间上单调递减，所以：方程有且仅有一个解．对于D：方程，即或，或，因为有三个解，当时或只有一个解，故有5个解，故D错误；对于B ：方程，即，当时只有一个解，故只有1个解，故B错误；

4．（多选）（2020·济南市历城第二中学高三期中）设函数其中表示中的最小者.下列说法正确的有（    ）

A．函数为偶函数                   B．当时，有

C．当时，        D．当时，

【答案】ABC

【详解】画出的图象如图所示：

对A，由图象可知：的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；

对B，当时，，；当时，，；当时，，；

当时，，此时有，故B成立；对C，从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C正确；对D，取，则，，，故D不正确．

5．（2021·全国高三专题练习）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为，

所以，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，又因为，当且仅当时取等号，所以，当时，，当时，，所以，当时，，当时，，故排除A、B，

6.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（    ）

A.1个                     B.2个                  C.3个                  D.4个 

【答案】B

【解析】设P（x，y） 令x＜0，则点P关于原点的对称点为P′（-x，-y），于是

即，令,，画出,的图像

可得有两个交点，所以有两个解也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．所以选B．

7.【安徽省六安市舒城中学】已知定义在R上的函数满足且在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(    )

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】，则函数关于对称，函数在上是增函数

函数在是减函数，即在上是减函数，当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得或，满足不等式对任意恒成立，由此排除两个选项

当时，不等式变为，根据函数的图象特征可得出：，解得，不满足不等式对任意恒成立，由此排除综上所述，选项是正确的，故选.

8．（2020·山西高三期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】根据题意，设，其定义域为R，则，则为奇函数，又由，则在R上为增函数，故，必有，解得，即a的取值范围为.

9．（2021·天津高三期末）已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以，所以为偶函数，

因为有且只有四个不同的零点，所以在上有且仅有2个不同的零点，且，即，当时，，，，所以在上有且仅有2个不同的零点，所以，解得.

10. （2021·安徽淮北市·高三）已知函数，则函数零点的个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【详解】因为的零点个数与图象的交点个数，当时，，所以，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，又因为当时，，且，所以时，；

当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，又当时，，当时，，所以时，，作出的函数图象如下图所示：

由图象可知有个交点，所以有个零点，

11.．（2020·江西吉安市·高三其他模拟）已知函数，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】由题得定义域为，∵，

∴，即为定义域在上的奇函数，且在上单调递增（增函数+增函数=增函数），当时，不等式显然不成立，当时，∵，∴，即为，即，

∴，则，故实数的取值范围是.

12．（2021·福建高三其他模拟）函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，.给出下列三个结论：①；②函数在内有且仅有个零点；③不等式的解集为.其中，正确结论的序号是__________.

【答案】①③

【详解】因为函数是奇函数，所以，又，所以，即，所以，函数的周期为.对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；对于②，，令，可得，得，所以，函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.

13.【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】

【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，

即实数的取值范围是.

14．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是______________.

【答案】

【详解】因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在上的图象如图：

由图可知，，且，即，所以是，因为，故，即，故，根据对勾函数在上单调减，在上单调增，故而在上单调减，则，

15. 【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三】已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．

【答案】

【解析】不等式可化为：若对任意，总存在，使得成立，则：，当时，的最大值为：

当时，的最大值为：最小值为：，所以可化为：，解得：.故：。

16.（2021·上海高三专题练习）双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题：① 是奇函数；② 的图象过点或；③ 的值域是；④ 函数有两个零点；则其中所有真命题的序号为________.

【答案】①②

【详解】双曲线关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称,

即有为奇函数,故①对；由双曲线的顶点为,渐近线方程为,可得的图象的渐近线为和,图象关于直线对称,可得的图象过或.

由对称性可得的图象按逆时针旋转位于—三象限；按顺时针旋转位于二四象限；故②对；

的图象按逆时针旋转位于一三象限由图象可得顶点为点或，不是极值点,则的值域不是；的图象按顺时针旋转位于二四象限,由对称性可得的值域也不是,故③不对；当的图象位于一三象限时,的图象与直线有两个交点,函数有两个零点；当的图象位于二四象限时,的图象与直线没有交点,函数没有零点故④错.故真命题为：①②