专题08 数列中的最值问题-备战2022高考数学冲破压轴题讲与练

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纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；
2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；
3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；
4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．
【压轴典例】
例1.(2020·北京高考·T8)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}( )
A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项
例2．（2021·山西运城市·高三期末）设首项为1的数列的前n项和为，且，若，则正整数m的最小值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
例3．（2021·新疆高三其他模拟）若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数.设，若不等式对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例4．（2021·全国高三其他模拟）数列满足：，，若数列的前项和，则最小为（ ）
A．6B．7C．8D．9
例5.（河南省开封市2020高三）已知等比数列满足：， ，则取最小值时，数列 的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
例6.（安徽省黄山市2020高三）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
例7.（广西柳州市2020高三）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____
例8.（2019·天津高考模拟）已知数列是正项等比数列，,数列满足条件.
(Ⅰ) 求数列、的通项公式；
(Ⅱ) 设,记数列的前项和.
①求； ②求正整数，使得对任意，均有.
例9．（2021·广西南宁市·南宁三中高三）根据预测，疫情期间，某医院第天口罩供应量和消耗量分别为和（单位：个），其中，，第天末的口罩保有量是前天的累计供应量与消耗量的差．
（1）求该医院第天末的口罩保有量；
（2）已知该医院口罩仓库在第天末的口罩容纳量（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？
例10.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【压轴训练】
1．（2021·陕西西安市·西安中学高三）在等差数列中，，且，则在中，n 的最大值为（ ）
A．17B．18C．19D．20
2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1+m,且a1，a4，a5-2成等差数列,bn=数列{bn}的前n项和为Tn．,则满足Tn,>的最小正整数n的值为
A．11B．10C．9D．8
3．（2021·全国高三其他模拟）已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·安徽安庆市·高三）已知等差数列满足，，则数列的最大项为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·北京高三开学考试）等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的（ ）
A．最小项为B．最大项为C．最小项为D．最大项为
6．（2021·江西高三其他模拟）在等差数列中，.记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
7．（2019·北京师大附中高考模拟）已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为（ ）
A．B．C．D．不存在
8.（2020·山东枣庄八中高三）已知数列的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2021·安徽高三开学考试）已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且，使不等式成立，则实数的最大值是___________.
10.（2020·江苏高考模拟）已知正项等比数列的前项和为．若，则取得最小值时，的值为_______．
11.（2020·广东高考模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=10，S8=36，当n∈N*时，的最大值为______．
12.（2019·福建高考模拟）在数列中，，，若，则的前项和取得最大值时的值为__________．
13．（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数．
14．（2021·广东韶关市·高三一模）已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25.
（1）求的值及通项公式；
（2）求数列的前项和.
15．（2021·江西吉安市·高三期末）已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项．
（1）求数列的公比；
（2）若，数列的前和为且，求的最小值．