专题28解析几何小题突破A辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2021年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题28解析几何小题突破A辑

1．点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，若函数的图象恒过定点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

函数的图象恒过定点，故.

，即，焦点为，准线为，

，即.

，当共线时等号成立.

故选：.

2．已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则(    )

A． B．4 C．3 D．1

【答案】C

连接,设椭圆的基本量为，

,

故答案为：3.

3．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则的最小值为（    ）．

A． B． C．16 D．4

【答案】A

因为函数，

所以

因为存在非零实数，，

所以存在实数，使成立，

又的几何意义为坐标原点与点的距离的平方，

记，，则．

故，

即为，表示动点的轨迹，

设为直线，则原点与点的距离的最小值为原点到直线的距离，

故，

因为，在上是增函数，

所以，

所以，当时，取等号.

故选：A．

4．设是双曲线的右焦点，双曲线两渐近线分别为，，过点作直线的垂线，分别交，于，两点，若，两点均在轴上方且，，则双曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

如下图所示，

从而可知，∴，

即，∴，故选C.

5．已知点．若曲线上存在，两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：

①；

②；

③．

其中型曲线的个数是

A． B．

C． D．

【答案】B

对于①，A（-1，1）到直线y=-x+3的距离为，若直线上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则|AB|=|AC|=，以A为圆心，以为半径的圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=6，联立
解得，或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是．
对于②，化为，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是．
对于③，根据对称性，若上存在两点B、C使ABC构成正三角形，则两点连线的斜率为1，设BC所在直线方程为x-y+m=0，由题意知A到直线距离为直线被所截弦长的倍，列方程解得m=-，所以曲线③是T型线．

6．已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足， ，则的最小值是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

∴点 的轨迹为以为以点 为圆心，1为半径的圆，

，越小，越小，

结合图形知，当 点为椭圆的右顶点时，

取最小值 最小值是

故选C．

7．已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

过点A做AH垂直于准线，垂足为H，做CG垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，，因此DE=AH=CG=AF，

由，，得

又，则，，可得，又因，所以EF=2，因为EF正好是焦点到准线的距离，即.故选C.

8．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

解：由题意设点作双曲线的一条渐近线即的垂线，

则垂线的斜率为：，且过点，

所以垂线的方程为：，即：，

联立方程：，解得：，则，

设点，则，，且，

所以：，解得：，则点

因为点在双曲线上，所以，

化简整理得：，

解得：或（舍去），

所以：，

故选：D.

9．已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

把点，代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线的方程为，则．设，则，．由，得，解得或（舍去），故选C．

10．已知点，点在抛物线上，过点的直线与直线垂直相交于点，，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

由题，由于过抛物线上一点的直线与直线垂直相交于点，可得，又，故，

所以的坐标为，由余弦定理可得

.

故选：D.

11．已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（    ）

A．14 B．16 C．18 D．20

【答案】B

抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.

12．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，

设点，

由得，

即……①，

又因为,

所以,

所以，

所以……②，

由①②可解得，

在中，，

，

所以，

所以,

解得或（舍去），

故选：C

13．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

由题意得，准线，，，过作，垂足为，则由抛物线定义可知，于是 ，在上为减函数，当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而，,故选C.

14．已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为.若已知，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】D

在椭圆中，

点，则，，

直线的方程为，设与直线平行的椭圆的切线方程为，

由方程组得，

由，得，则，

两平行线间的距离，

则面积的最大值为，得，

∴，

∴

，

当且仅当时取等号.

15．已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

过点A作轴的垂线垂足于C，交NB的延长线于点D．

设，则.

①

，即

②

③

联立①②③解得，，

故选D

16．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，若，则双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

不妨设直线的斜率大于0．如图:

连接．，，设的内切圆与三边分别切于点，，，则

，

所以，即，同理可得，所以，

设直线的倾斜角为，在中，，

在中，，

又，所以，

即，解得，

所以，即直线的斜率为，

由题意，直线与双曲线右支交于两点，故，

所以.

故选:D

17．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，且交轴于点，则的取值范围为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

如图所示，点在轴右边，

因为为的垂直平分线，所以，由中位线定理可得.

设点.

由两点间的距离公式，

得,

同理可得，所以，故，

因为，，所以，故，

所以.

因为，易知在上单调递增，所以.

故的取值范围为.

故选:D.

18．如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

如图所示，点在轴右边，

因为为的垂直平分线，所以．

由中位线定理可得．

设点．

由两点间的距离公式，得

，

同理可得，

所以，故，

因为，，所以，

故，所以．

因为，所以．

故的取值范围为．

故选：D．

19．过点作直线（不同时为零）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

,整理为：得直线恒过点Q（1，-2），画出图象

可知或者M与P,Q之一重合，,故点M在以PQ为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F，

则线段MN满足的范围为,

所以：的取值范围是

故选：D

20．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

由题意得，所以A在圆上，与联立解得，

因为，且，

所以

因此，

解得

即，即，选A.

21．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

解：如图，

由圆的方程，得圆的半径为．

过作的垂线，则为的中点，

又，为的中点，设双曲线的右焦点为，连接，

则为三角形的中位线，可得，则，

由，可得．

，则，

由勾股定理可得：，

整理得：．

解得：或（舍．

故选：．

22．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，坐标原点，若的面积为，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

抛物线 的焦点 坐标为 ,过焦点的直线设为 ,设 ,联立 有 ,所以有 ,由 ,所以有 , ,选A.

23．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【解析】

若，则可设，因为是的一个四等分点；

若,则,但此时，再由双曲线的定义，得，得到，这与矛盾；

若,则，由双曲线的定义，得，则此时满足,

所以 是直角三角形，且 ,

所以由勾股定理，得，得,

故选B.

24．在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

为的中点，且，

为直角三角形，，

若，为切线，且，则，

在中，，，，

则，

过点向圆引的两条切线的夹角不小于时，满足题意，

则圆心到的距离不大于，

即，解得.

故选：C.

25．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为均不为.若，则动点 的轨迹为（   ）

A．直线的一部分 B．圆的一部分

C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

【答案】B

【解析】

由线面角的定义及题意可得，即，以线段为轴，其中垂线为轴，如图，建立平面直角坐标系，设，则，所以，即，则动点的轨迹是圆，故应选答案B．

26．已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则（    ）

A．16 B．9 C．4 D．3

【答案】B

设动点，，由双曲线方程可得，，

则，，

所以直线的方程为，直线的方程为，

由此可得，，

所以.

因为动点在双曲线上，所以，

所以，

则.

故选：.

27．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

的面积关系可得：，

，，

，则，

，，

.

故选：A.

28．已知椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，是上除长轴端点外的任意一点，的平分线交的长轴于点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

由椭圆的两个焦点，与短轴的两个端点，都在圆上，得，则，所以椭圆的方程为，故，，

由的平分线交长轴于点，显然，，

又，

所以，，即，

由，，得，

设，则，而，

即，也就是，所以，

所以，，

所以.

故选：B.

29．若对圆上任意一点，的取值与，无关， 则实数a的取值范围是(    )

A． B． C．或 D．

【答案】D

依题意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）

故选D.

30．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

解：如图所示：

，是双曲线的左右焦点，延长交于点，

是的角平分线，

，

又点在双曲线上，

，，

又是的中点，是的中点，

是的中位线，

，

即，

在中，，，，

由三角形两边之和大于第三边得：，

两边平方得：，

即，

两边同除以并化简得：，

解得：，

又，

，

在中，由余弦定理可知，，

在中，，

即，

又，

解得：，

又，

,

即，

，

综上所述：.

故选：B.