专题26立体几何与空间向量B辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

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2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）
专题26立体几何与空间向量B辑
1．已知球的直径，，，是球球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
设球心为，等边三角形截面小圆的圆心为（也是等边三角形的中心）.
由于是等边三角形，，
所以平面，在面的投影即，也即等边三角形的中心，且平面，则.
因为是直径，所以.
所以，.
由于是等边三角形的中心，所以，
所以等边三角形的高，.
所以三棱锥的体积为.
故选：B

2．已知四面体中，棱，所在直线所成角为，且，，，面和面所成的锐二面角为，面和面所成的锐二面角为，当四面体的体积取得最大值时（ ）.
A． B． C． D．不能确定
【答案】A

，即，
整理得，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以，，
所以，当为等边三角形时，的面积取到最大值.
过作∥，且，连接，，
则四边形为菱形，
因为，所在直线所成角为，所以，
当面面时，四面体的高取得最大值，
，即，解得，
因为，即，所以，即，
又因为面面，所以面，

过作交于点，过作交于点，
连接，，则，，
所以为面和面所成的二面角，
为面和面所成的锐二面角，
即，，
因为，，所以，
又因为，所以，即，
所以，即，所以.
故选：A.
3．如图，正方体，点在上运动（不含端点），点是上一点（不含端点），设与平面所成角为，则cosθ的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
解：如图，由正方体的性质，可得平面，且在平面上的射影为△的外心．
设正方体的棱长为1，则△的边长为，
当 为的中点时，，
，此时．
在上（不含端点）任取一点，在平面内过作，
则与平面所成角，可得．
结合选项可知，的最小值为．
故选：．

4．如图，在长方体中，，，，是棱上的一条线段，且，是的中点，是棱上的动点，则

①四面体的体积为定值
②直线到平面的距离为定值
③点到直线的距离为定值
④直线与平面所成的角为定值
其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
因为,所以平面即为平面，
因此到平面的距离（设为）等于到平面的距离，即为定值；
因为,所以到直线的距离等于直线到直线的距离, 为定值；
因此③正确；
而，所以面积为定值，
因此四面体的体积等于,为定值，即①正确；
因为,所以直线与平面（即平面）平行，
从而直线到平面的距离等于定直线与定平面之间距离，
为定值，即②正确；

当与重合时，过作交延长线于,
则由长方体性质得平面,即得,
因为平面,
从而平面,
因此为直线与平面所成的角，
，
当与重合时，因为平面，
所以到平面的距离相等，
过作，
则为点到到平面的距离
连,则为直线与平面所成的角，
,即④错误；
故选：A
5．如图，矩形中，，E为边的中点，将沿直线翻转成（平面）.若M、O分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）

A．与平面垂直的直线必与直线垂直；
B．异面直线与所成角是定值；
C．一定存在某个位置，使；
D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值；
【答案】C
取中点，连接.为的中点，

.
又为的中点，且，
∴四边形为平行四边形，
.，
∴平面平面平面，
∴与平面垂直的直线必与直线垂直，故A正确.
取的中点为，连接，

则且，
∴四边形是平行四边形，
，
为异面直线与所成的角.
设，则，，
，
故异面直线与所成的角为定值，故B正确.
连接.为等腰直角三角形且为斜边中点，
.若，则平面，

又，
.
又平面，
，与已知矛盾，故C错误.
，
为三棱锥的外接球球心，又为定值，故D正确.
故选：C
6．已知三棱锥的外接球的球心为，平面，，，，则球心O到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B

因为，
故为等腰直角三角形且，而为的中点.
故为的外心，故平面.
因为平面，所以，故共面.
连接交于点，过作，垂足为.
因为，故，
在直角三角形中，，故，同理，
因为，故，而，故平面，
因为平面，故平面平面.
因为平面平面，，平面，
所以平面.
因为为三棱锥的外接球的球心，故，
因为平面，平面，故，
在平面中，因为，，故，
故四边形为矩形，且，.
又因为，
故，故.
在直角三角形中，.
故选：B.
7．如图，点是矩形的边上一点，将沿直线折起至，点在平面上的投影为，平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，若，则下列说法正确的是（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】A
平面，易得当时，，
作于，连接，，则，，
故平面，
平面，平面，，平面，
故平面，故三点共线，故，
又由于，，
故选：A.

8．在正方体中，点是线段上的动点，以下结论：
①平面；
②；
③三棱锥，体积不变；
④为中点时，直线与平面所成角最大.
其中正确的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
如图，

,,，
平面平面，
又平面，平面，①正确；
在正方体中易知平面，又平面平面，
所以平面，而平面，所以，故②正确；
因为,可知平面，所以上点到平面的距离都相等，
所以三棱锥的体积不变，故③正确；
由③知，P运动时，P到平面的距离不变，设为，设直线与平面所成角为，
则，当为中点时，最短，所以最大，因为线面角，
所以此时最大，故④正确.
故选：D
9．梯形中，，，，，现将沿折起，使得二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为,,,故,,且.
设中点与中点,因为,均为直角三角形,故分别为,的外接圆圆心.连接交于,易得.

又翻折后二面角的大小为,此时设球心为,则易得,.且共面.画出四边形平面图,延长交于.
易得二面角即,故.故,所以,.
故球的半径,故球的表面积.

故选：C
10．如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，，点为线段的动点．记与所成角的最小值为，当为线段中点时，二面角的大小为，二面角的大小为，则，，的大小关系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
BE与AP所成角的最小值即为AP与平面PBD所成的角．
平面PCD，，
又，，
，面PAD，
，又，面PAB，
而面PBD，面面PAB，
与平面PBD所成的角即为，
即．
不妨设，则，．
在平面PAD内作，面面ABCD，面ABCD，
在面ABCD内作，连PM，则，
即为二面角的平面角，
在中，﹒
同理，作，，连，则，
即为二面角的平面角，即．
易知：﹒，
，﹒

故选：B
11．如图，矩形中，，N为边的中点，将沿翻折成（平面），M为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题：①与平面垂直的直线必与直线垂直；②线段的长为；③异面直线与所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球表面积是.正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B

解：取的中点K，的中点O，连接，，，，显然平面，①对；
，②错；
即为异面直线与所成的角，，③错；
当平面平面时，三棱锥的体积最大，

取的中点连接、，依题意可得，又平面平面，平面平面，面，所以面，又面，
所以，由，所以，
，，
所以，所以，
又为的中点，所以
即O为三棱锥外接球球心，且，所以，故④对，
故选：B.
12．已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）

①若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为；
②若P在线段上运动，则的最小值为；
③若P在半圆弧CD上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；
④若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
对于①，如图所示，

由，可知即为异面直线AP与CD所成的角．
设正方体的棱长为2，连接BP，则在中，，
，故正确
对于②，将三角形与四边形沿展开到同一个平面上，如图所示．

由图可知，线段的长度即为的最小值．
在中，利用余弦定理可得，故错误.
对于③，如下图所示：

当P为中点时，三棱锥体积最大，
此时，三棱锥的外接球球心是AC中点，
半径为﹐其表面积为．故正确.
对于④﹐平面与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，
只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可，如图所示：

．则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等．
若点E，F，G，H，M，N分别为相应棱的中点，
可得平面EFGHMN平行于平面PQR，且六边形EFGHMN为正六边形．
正方体棱长为1，所以正六边形EFGHMN的边长为，
可得此正六边形的面积为，为截面最大面积．
故正确的命题有3个．
故选：C.
13．将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设点为中点，连接，，
由题意可知，，所以，
作，则P为OC中点作，
则平面BCD，
所以，
如图建立平面直角坐标系：

则，，
设，，，，
所以，，，
则，
因为，
所以，
故选：B.
14．已知，如图正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
取中点,连接交于点,易证得面,要求最小,即求MN最小,可得，又可证明,再把平面POD绕PD旋转,与面PDA共面,又可证得.
，，
，即，
，可得，
.
故选:B.

15．已知在中，为的中点，为所在平面外一点，且，设二面角的大小为，二面角的大小为，则（ ）
A． B．
C． D．的大小与点的位置有关
【答案】B

如图，分别取的中点，连接，
则．
因为，所以，
又，所以，
所以平面平面，
所以，，所以平面．
易知为二面角的平面角，为二面角的平面角，
即，则．因为，所以，所以，所以
故选：B
16．如图，在中，，，，D为线段BC（端点除外）上一动点.现将沿线段AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点D的移动过程中，下列说法错误的是（ ）

A．不存在点，使得
B．点在平面上的投影轨迹是一段圆弧
C．与平面所成角的余弦值的取值范围是
D．线段的最小值是
【答案】D
过点B作AD的垂线,交AD于点E,连接,,过点作BE的垂线,交BE于点H,易知,则平面,所以为二面角的平面角的补角,即,所以,即H为BE的中点,易知平面平面,又,所以平面ABC,所以在平面ABC上的投影为点H,

对于选项A,若,连接CH,则,而这是不可能成立的,故A正确；

对于选项B,因为,所以点E的轨迹为以AB为直径的一段圆弧,又H为BE的中点,所以点H的轨迹也为一段圆弧,故B正确；
对于选项C,连接AH,则与平面ABC所成的角为,设,则,所以由,得,所以,所以,所以,所以,故C正确；
对于选项D,设,则,,


,
其中,故,故D错误,

故选:D
17．在四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D

不妨设，，，，，
所以，所以
所以
设平面的法向量为
则有，即，即
所以可取
所以，
同理可得，
因为，
所以，故，
故选：D
18．已知正方体的棱长为为的中点，下列说法中正确的是（ ）
A．与所成的角大于
B．点到平面的距离为1
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．直线与平面所成的角为
【答案】D
解：如图，正方体的棱长为为的中点，
对于，取的中点为，连接，
则，则与所成的角即为与所成的角，即为，
在中，，，
，
由余弦定理得：，
即，而异面直线夹角为，即，
所以，故A不正确；

连接，
因为为矩形，且，，，
则四棱锥的顶点投影在底面的中心，即底面对角线的中点，
而底面的对角线为：，
则四棱锥的高为：，
即点到平面的距离为，故B不正确；
由图可知，、、、的四点共面，
所以三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，
设四棱锥的外接球半径为，
则，解得，
则三棱锥的外接球表面积，故C不正确；

连接，其中与交于点，
交平面于点，连接，
由于四点共面，平面在平面内，
则直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
因为正方体，则，
而平面，则，且，
所以平面，平面，
则，则为直线与平面所成的角，
在中，，
则，得，
所以在中，，则，
即：直线与平面所成的角为，
所以直线与平面所成的角为，故D正确.
故选：D.

19．如图，在中，，将绕边翻转至，使平面平面，是的中点，设是线段的动点，则当与所成角取得最小值时，线段等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
由题意可将三棱锥放在棱长为2的正方体中如图所示，
延长交正方体的棱于点，连接，则均为其所在正方体棱上的中点，
过点作的垂线，垂足为点，则平，所以，
又因为，，所以平面，
则为在平面内的投影，
则当时，与所成的角取得最小值，
此时由得，则，
在中，易得，所以.
故选：C．

20．侧棱长为的正四棱锥内,有一半球,其大圆面落在正四棱锥底面上,且与正四棱锥的四个侧面相切,当正四棱锥的体积最大时,该半球的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
如图,E为中点,O为底面中心,交于点F,连接．根据线面垂直的性质
可知平面,故半球的半径为.
设,则,,正四棱锥的体积
,记．
令,,则,,
,因此当时,；当时,
,即在上单调递增,在单调递减,故当时,体积最大．
此时该半球的半径为.

故选：B．
21．如图，矩形ABCD中，，，E，F分别为AD，AB中点，M为线段BC上的一个动点，现将，，分别沿EC，EF折起，使A，D重合于点P．设PM与平面BCEF所成角为，二面角的平面角为，二面角的平面角为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
在翻折过程中，A点在底面的投影在过点A且垂直EF的直线上（设垂足为I），同理在翻折过程中，D点在底面的投影在过点D且垂直EC的直线上（设垂足为K），设点P在底面的投影为点H，过点H向BC作垂线HJ（垂足为J），
把，摊平到原来的平面图形，如下右图，就是和延长线的交点，由已知可得，，，则，，同理可得，，则在左图中知易得，由二面角的定义知，所以，
又在右图中，以，为轴建立平面直角坐标系，，则，直线方程为，同理直线的方程为，由得，即，∴，∴，所以二面角的平面角小于二面角的平面角，显然不大于二面角的平面角，∴，综上可知，
故选：D

22．已知平面四边形中，，，是等边三角形，现将沿折起到，使得点在平面上的射影恰为的外心，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为是等边三角形，所以，
因为，所以，，，四点共圆，
所以的外心也是的外心，记为，
取中点，则，，，共线，
连结，取的外心，则点在线段上，且，
过点作平面的垂线交于点，则是三棱锥外接球的球心，
且，
所以，
因为 所以，，
, ，所以即，
所以外接球的表面积为.
故选C．

23．如图，已知的顶点平面，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，则面积的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
因为与平面所成的角分别为，且，
所以点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，
当直线与轴在同一平面内时，取到最大值和最小值，
于是有，所以，即，
而的面积，
因此，
故选B．

24．如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
如图所示，当直线与面所成角等于面ABCD与面所成角时顶点到平面的距离最大，取截图，如下图所示：

作，，，
∵，，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选:B.

25．如图，已知矩形，是边上的点（不包括端点），且，将沿翻折至，记二面角为，二面角为，二面角为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
过点作的垂线，并延长交于点，

则由题意知，在翻折过程中，点在平面上的射影的运动轨迹为.
设到边、、的距离分别为、、，则，，，
由图易知，而、的大小关系不确定，即有，且、的大小关系不确定，所以，
故选：B．
26．如图，平面是上的两个点，在内，，在平面上有一动点使得与所成的角相等，设二面角的平面角为，则（ ）

A．仅有最大值 B．仅有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．无最值
【答案】D

如图，延长交于点，在线段上取点，使得，因为与所成的角相等，则，即知点在内的轨迹是以线段为直径的圆，其半径为4．过点作于点，过点作于点，连接，则为二面角的平面角，设，则或，且，当时，在上单调递增，故，当时，在上单调递减，故，综上可知，，
故选：D．
27．已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，，则，因为，
所以，即
，所以点的轨迹为以点为球心、为半径的球与正方体表面的交线，
即为如图的，，，要使得与底面所成的角最大，
则与底面的交点到点的距离最短，从而点在上，且在上，
则，从而，所以的最大值为，
故选：A．

28．如图，二面角的平面角的大小为，，是上的两个定点，且，，，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
如图，

因为平面，所以是与平面所成的角，则，
所以在中，，，
所以在以为球心，为半径的球上，又，
所以点的轨迹是球与以为母线，为高的圆锥交线的一部分，
即图中扇形的弧，且扇形所在平面垂直于，，
又，
点的轨迹的长度等于.
故选：A
29．已知平面四边形ABCD是菱形，，，将沿对角线BD翻折至的位置，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设，四边形ABCD是菱形，，
为二面角的平面角，.
是等边三角形.
过三棱锥的外接球的球心作面，垂足为，
则是等边的中心.
如图所示

.
设外接球的半径为，则.
作，垂足为.
面，
即面，.又，
面.
作交于点，则四边形是矩形，.
.
.
.
，
又，，
解得.
三棱锥的外接球的表面积.
故选：.
30．在三棱锥中，平面平面，为钝角，，分别在线段，上，使得，记直线，，与平面所成角的大小分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
三棱锥中，平面平面，为钝角，，分别在线段，上，使得，作出几何关系如下图所示：

作平面，连接，
则即为直线与平面所成角,即，
则即为直线与平面所成角,即，
则即为直线与平面所成角,即，
且，，.
因为为钝角，所以，则，所以，即，
由在线段上，平面平面，所以为钝角三角形，为钝角；为钝角三角形，为钝角；
由余弦定理可知，因为，
所以.
而
，
即，
因为为钝角，所以，所以，即，
综上可知，
故选：A.