专题08分段函数及其应用B辑-2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

2022年高考数学压轴必刷题（第二辑）

专题08分段函数及其应用B辑

1．已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

解：由题意得：设，易得，

可得，与x轴的交点为，

①    当，由不等式对任意上恒成立，可得临界值时，相切，此时，，

可得，可得切线斜率为2，，，可得切点坐标（3，3），

可得切线方程：，切线与x轴的交点为,可得此时，，

综合函数图像可得；

②    同理，当，由相切，

（1）当，，可得，可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标（1，3），可得切线方程，可得，综合函数图像可得，

（2）当，，相切，可得，

此时可得可得切线斜率为-2，，，可得切点坐标,

可得切线方程：，

可得切线与x轴的交点为，可得此时，，

综合函数图像可得，

综上所述可得，

故选C.

2．已知函数与函数有相同的对称中心，若有最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为的对称中心为（0，1），则由平移知识可得，.如图作出函数与直线的图象，

它们的交点是，由，可以判断是函数的极大值点，由图象知当时，有最大值是或；当时，由，因此无最大值，∴所求的取值范围是.

3．定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

因为当时，不等式恒成立，所以，

当时，

当时，，当时， ，因此当时，，选B.

4．已知函数若关于的方程都有4个不同的根，则的取值范围是(   )

A． B． C． D．

【答案】C

都有4个不同的根，等价于的图象有四个交点，

因为，

所以，若，则，则；

若，则，则；

若，则，则；

若，则，则；

若，则，则；

，

作出的图象如图，求得，

则，

由图可知，时，的图象有四个交点，

此时，关于的方程有4个不同的根，

所以，的取值范围是，故选C .

5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数有零点即有解，即，

由题意可知，当时，，当时，，

所以当时，，此时的取值范围为；

当时，，此时的取值范围为，时，；

当时，，此时的取值范围为，时，；

当时，，此时的取值范围为，

所以当时，有两解，即当时函数有两个零点，

因为函数是定义在上的偶函数，

所以当时，也有两解，

所以函数共有四个零点，故选B。

6．已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

由函数的解析式可知函数在区间上单调递增，

当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，

且函数在处满足：，解得：，故，

方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，

绘制函数的图像如图中虚线所示，

令可得：，

由可知，，

则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，

原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，

很明显当，即时满足题意，

当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，

由函数的解析式可得：，故：，则，

切点坐标为，从而：，即.

据此可得：的取值范围是.

故选D.

7．已知函数若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

,

当且仅当时，，

方程有且仅有两个不同的整数解等价于，

有两个不同的整数解，

即图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标为整数，

画出的图象，如图，

，

由图象可知，当时，即时，

图象夹在与之间的部分有且仅有两个点的横坐标0，为整数，

所以的取值范围是，故选A.

8．已知函数定义在上的函数满足：，当，，则与的大小关系为（   ）

A． B．

C． D．不能确定

【答案】A

【解析】

由，知函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以函数为偶函数.由，得函数的周期为4.

又 ，

，

而，，且，

所以.故选A.

9．设函数，若，则的取值范围是（　）

A． B． C． D．

【答案】D

解：分析题意，可知：

∵a为对数的底数，

∴a只能取a＞1和0＜a＜1两个范围．

又由题意∀x∈R，f（x）＞2，

而当0＜a＜1时，f（x）在x≥1时单调递减趋向﹣∞．

∴0＜a＜1不满足题意，舍去．

∴只有a＞1的情况合适．

当a＞1时，函数f（x）在x≥1时的表达式loga（x+3）在x≥1上单调递增，

且在x＝1时取最小值f（1）＝loga4＝2loga2．

由题意，∀x∈R，f（x）＞2，

∴必须有2loga2＞2，即：a＜2．

而在x＜1上，

∵a＜2．

∴f（x）＝（a﹣3）x+3a是递减的一次函数．

此时在x趋向于1时，f（x）＝（a﹣3）x+3a趋向于最小值4a﹣3．

∴4a﹣3≥2，解得：

综上所述，可得：．

故选D．

10．已知函数， 若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

有且只有三个不相等的实数根，

等价于与图象有三个交点，

画出与图象如图，

与相切时，

过时，，

根据图象可知，时，两图象有三个交点，

若方程有且只有三个不相等的实数解，

则实数的取值范围是，故选A.

11．已知函数，又函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

设, 则，

画出函数的图象，如图，

由图可知，

当时，的图象有3个交点，又3个根；

当时，的图象有1个交点，有1个根；

所以要使函数有个不同的零点，

则函数有两个零点：一个零点，另一个零点，

因为因为,抛物线开口向上，

抛物线开口向上，

所以，由函数的图象可得,

即,解得，

实数的取值范围是，故选A.

12．已知函数，又函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

因为

当，所以在 时为单调递减函数

当 ，令解得

   ，所以在 时为单调递增函数

   ，所以在 时为单调递减函数，且

所以当时，在时取得最大值为

有四个零点，则

令，则有两个不等式实数根，一个在 ，一个在

令

因为

所以只需即可满足有两个不等式实数根，一个在 ，一个在

即解不等式得

所以t的取值范围为

所以选A

13．定义在R上的奇函数，当时，则关于x的函数的所有零点之和为（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】A

因为当时，，

即时，，

当时，，

当时，，

画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：

则直线与的图象有5个交点，则方程共有5个实根，

最左边两根之和为，最右边两根之和为，

因为时，，所以，

又，所以，

所以中间的一个根满足，

即，解得，

所以所有根的和为，

故选A.

14．已知函数数列满足：，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为

且是单调递增数列，

所以根据指数函数的单调性可得，

根据一次函数的单调性可得，

由分段函数的单调性结合数列的单调性可得，

，综合三种情况解得. 故选C.

15．若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得

.

故选B.

16．已知函数，设，若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为　　

A．31 B．32 C．33 D．34

【答案】D

因为，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可，

画出的函数图象如图所示，

当时，；当时，，

即轴左侧的图象在下面，轴右侧的图象在上面，

，，

，，

平移，由图可知，

当时， ,符合题意；

 时， ,符合题意；

时， ,符合题意；

时， ,符合题意

整数的值为

及，共个，故选D.

17．若函数（其中是自然对数的底数），且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

由，可得，作出函数的图象，而表示过原点且斜率为的直线，由图可知，当时，与有两个不同

的交点，满足题意；

过原点作的切线，设切点为，因为，

所以切线方程为，将代入，得，

此时切线的斜率为，也即当时，与相切，

由图可知，当时，与有两个不同的交点，满足题意；

综上可知，实数的取值范围是．

答案选D

18．已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由题意及解析式画分段函数图形：有图可以知道该函数图形关于轴对称是偶函数，，且在为单调递增函数，又对任意，若必有，由于为偶函数，等价于与，即，故选D.

19．已知函数（且），若函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

关于轴对称函数为，时，与的图象有且仅有一个交点，函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，符合题意，当时，要使与的图象有且仅有一个交点，则，综上所述，的取值范围是,，故选D.

20．已知函数 ，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由可得：或，

当时，，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

函数在处有极小值，

绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.

本题选择B选项.

21．已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

由题意知

即的图象关于点对称，函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如图所示：由图形可知函数，在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为-，所以方程在区间上的所有实数根之和为 ．
故选C.

22．定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

存在实数使得方程无实数根，等价于值域不为，

当时，时，， 时，，值域为，不合题意，排除；

当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；

当时，时，，时，，值域不为，合题意，排除，故选C.

23．设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合． ，综上，，选A.

24．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

函数，

当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f′（x）=-ex-xex=-ex（x+1），
由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=-ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，

所以函数f（x）在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）= -（-1）e-1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，

一个根在（ ，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，
则只需g（ ）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜．
所以，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，）．

选B.

25．设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意，当时，，则，

所以，所以，

当时，，则，所以，所以，

综上可得实数的取值范围是，故选D．

26．已知函数满足条件：对于，且，存在唯一的且，使得.当成立时，（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

若对于，存在唯一的，使得，所以在和上单调，则，且，由得，即，即，则，故选D.

27．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，   则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

,

由二次函数的对称性可得 

 由 可得，

函数有四个不同的零点，

等价于的图象与的图象有四个不同的交点，

画出的图象与的图象，由图可得，

∴

∴=

令   ， ∴，故选B.

28．定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题得函数在[0,1]上的值域为，

函数在[1,上是减函数，在上是增函数，

所以函数在上的值域为.

所以函数在的值域为∪.

因为定义在上的函数满足，

所以函数在的值域为∪.

所以函数在的值域为∪.

所以函数f(x)在的最小值为-12.

∵函数g（x）=x3+3x2+m，

∴=3x2+6x，

令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，

令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，

∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，

∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，

∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，

∴﹣12≥m﹣16，

故实数满足m≤4，

故答案为A

29．已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

当时，，

∵，∴，

∴．

当时，单调递增，

∴．

综上可得．

若存在实数，使得成立，

则，

即，

整理得，

解得．

∴实数的取值范围为．

故选B．

30．已知函数，关于的方程恰好有三个不同的实数解，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由分段函数画出函数y=f(x)的图像，如下图

f(1)=0.5,所以当时，有三个解．由的韦达定理可知，，所以，，令函数，，

且，在上单调递减，所以

所以在区间上单调递增，，所以，选B.