期末测试一（B卷提升篇）- 2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材苏教版）

期末测试一（B卷提升篇）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021·江苏高一单元测试）已知为虚数单位，复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，，则.

故选：B.

2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量，且，则（    ）

A．3 B．-3 C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，∵，∴，解得．

故选：C.

3、（2021·山东高三专题练习）若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

【答案】C

【解析】

对于A，若，，，则与可能平行，或相交或在内，故A错．

对于B，若，，，则也可能成立，故B错误．

对于C，若，，，如图：

过作平面，使得，过作平面，使得，

因为，，所以，同理，故，

而，，故，，，故，故，故C正确．

对于D，若，，，则，故D错误．

故选：C．

4、（2021·全国高一课时练习）设A、B、C为三角形的三个内角，，该三角形一定是　　

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．直角三角形

【答案】A

【解析】

因为，

所以，

所以，即，

因为A，B，C是三角形内角，

所以．

所以三角形是等腰三角形．

故选A．

5、（江西省高安中学高一上学期期末）下列说法不正确的是（     ）

A.若时，则为单位向量 B.若，则

C.若，则 D.若非零向量与不共线，且，则实数

【答案】B

【解析】

对于A. 若时，则，所以为单位向量，正确；

对于B，若，则与未必是相等向量，仅只两个向量的长度相等，故B不正确；

对于C. 若，由零向量的定义知，正确；

对于D. 若非零向量与不共线，且，则，解得，正确.

故选B.

6、（2020·全国高三专题练习）在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩按，，，，，分成六组，其频率分布直方图如图所示，则下列说法中错误的是（    ）.

A．成绩在内的考生人数最多

B．不及格（60分以下）的考生人数约为1000人

C．考生竞赛成绩平均分的估计值为分

D．考生竞赛成绩中位数的估计值为75分

【答案】D

【解析】

A．根据统计图可知：对应的频率除以组距的值最大，即频率最大，所以人数最多，故正确；

B．不及格的频率为：，所以不及格的人数约为人，故正确；

C．根据频率分布直方图可知平均数为：，故正确；

D．前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，

所以中位数在第四组数据中，且中位数为：，故错误；

故选：D.

7、（2020·全国高三月考（理））已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是(    )

A．关于直线对称 B．关于点对称

C．周期为 D．在上是增函数

【答案】B

【解析】

由题意，，

当时，，所以不是函数的对称轴；

当时，，所以是函数的对称中心；

由，可函数的最小正周期为；

当，则，可得函数不是单调函数.

故选：B.

8、（2021·江苏省昆山中学高一月考）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】

因为点是的三等分点，则，

又由点三点共线，则，

，

当且仅当时，等号成立，

即的最小值为 ，则有,

解可得或(舍），故，

故选：B.

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2021·全国高三其他模拟）已知是复数，且为纯虚数，则（    ）

A． B．

C．在复平面内对应的点不在实轴上 D．的最大值为

【答案】ABC

【解析】

由题意设，则．因为为纯虚数，所以，且，因此，在复平面内对应的点不在实轴上，所以A，C正确；，所以B正确；表示圆上的点到点的距离，且最大距离为，所以D不正确．

故选：ABC．

10、（2020·山东省青岛二中高一期末）某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（    ）

A．“不支持”部分所占的比例大约是整体的;

B．“一般”部分所占的人数估计是800人;

C．饼图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是;

D．“支持”部分所占的人数估计是1100人

【答案】ACD

【解析】A选项：“不支持”部分所占，所以比例大约是整体的，正确。B选项：“一般”部分所占比例为，所以占的人数估计是人，不正确；C选项：“非常支持”部分占比例，所以面积是，正确； D选项：“支持”部分所占比例，共有，正确.故选：ACD

11、（2020·枣庄市第三中学高一月考）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（    ）.

A． B． C．面 D．面

【答案】AC

【解析】如图所示，连接､相交于点，连接，.

由正四棱锥，可得底面，，所以.

因为，所以平面，

因为，，分别是，，的中点，

所以，，而，

所以平面平面，所以平面，所以，故A正确；

由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；

平面平面，所以平面，因此C正确；

平面，若平面，则，与相矛盾，

因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.

故选:AC.

12、（2021·浙江高一期末）在中，角所对的边分别为的面积为S，若，则（    ）

A． B．的最大值为1

C．的最大值为 D．

【答案】ABC

【详解】

，即，

由正弦定理可得，

，，

即，

由正弦定理可得，故A正确；

，，,

则当时，取得最大值为1，故B正确；

由余弦定理得，，

，其中，则可得的最大值为，故C正确；

由，联立可得，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020·山东省实验高一期末）已知甲运动员的投篮命中率为0.6,若甲投篮两次（两次投篮命中与否互不影响），则其两次投篮都没命中的概率为_________________.

【答案】0.16

【解析】易得则其两次投篮都没命中的概率为.故答案为：

14、（2021·浙江湖州市·高三期末）若，则______，______.

【答案】       

【解析】

，

故答案为：；.

15、．（2021·江西高三其他模拟（文））在中，O为中线上的中点，若，则等于________．

【答案】

【解析】因为O为中线上的中点，，所以，

且与的夹角为，

所以.

故答案为：.

16、（2020·湖南省雅礼中学高一期末）将底边长为2的等腰直角三角形ABC沿高线AD折起，使∠BDC＝60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为_____．

【答案】

【解析】如图,在中,,,,

设底面外接圆的圆心为M,半径为,则,

所以,因为是球的弦,,

因为A、B、C、D四点都在球O的表面上,所以,

所以球O的半径,

所以球的表面积.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知z为虚数,z+为实数.

(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.

(2)求|z-4|的取值范围.

【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,

由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3

,所以z=2+3i或z=2-3i.

(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,

所以y-=0,

因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,

由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),所以|z-4|=|x+yi-4|=

==∈(1,5).

18、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，且平面平面，证明平面.

【解析】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，

又面，面，所以平面

（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，

所以平面，

又面，所以①

因为且是的中点，所以，②

由①②及面，面，，所以平面 .

19、（2021·吉林高三月考（文））如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，为的中点.

（1）证明：平面平面.

（2）平面分此棱锥为两部分，若，求大的部分体积与小的部分体积之比.

【解析】（1）证明：因为为等边三角形，为的中点，所以.

因为平面平面且相交于，，

所以平面，则.

又，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）设为的中点，连接，，所以，

令，则，，

所以

，

所以大的部分体积与小的部分体积之比为.

20、（2020·北京四中高一期末）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成五组，得到频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；

（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：

根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．

【答案】（Ⅰ）40人（Ⅱ）0.4（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）由题意可知,解得.

所以此次测试总人数为.

故此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人

（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件.

由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,

成绩优秀的频率为,

则估计.

（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，

因为相互独立，相互独立，

所以，，

又因为互斥，

所以.

所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为.

21、（江苏扬州市2020- 2021 学年度第一学期期中检测试题） (本小题满分10分)

在①a=,②S= cosB， ③C=这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.

问题:在BC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，

bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求 c的值.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

【解析】 在中，因为，

所以根据正弦定理得               

所以,因为，所以                      

选择①，由余弦定理得，解得    

选择②，，所以

所以，即，解得                              

选择③，，因为，

所以由得 

22、（2020·辽宁省实验高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有次参加科目二考试的机会（这次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或次都没有通过，则需要重新报名），其中前次参加科目二考试免费，若前次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则，.

设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.

则，

，．

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元”，则，，．

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元的概率为．