专题11.4《立体几何初步》（A卷基础篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

专题11.4《立体几何初步》（A卷基础篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·贵溪市实验中学高三月考）圆柱底面周长为，高为4，则它的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

先求出底面半径，再由体积公式即可求出.

【详解】

设圆柱底面半径为，

则，解得，

则该圆柱的体积为.

故选：D.

2．（2020·上海浦东新区·高三一模）下列命题中正确的是（    ）

A．三点确定一个平面

B．垂直于同一直线的两条直线平行

C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线

D．若是三条直线，且与都相交，则直线共面.

【答案】D

【解析】

利用空间点、线、面位置关系直接判断.

【详解】

A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；

B.由墙角模型，显然B错误；

C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故C错误；

D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；

故选：D.

3．（2021·安徽蚌埠市·高二期末（文））一个圆锥中挖去了一个正方体，其直观图如图1，正方体的下底面在圆锥底面内，正方体上底面的四个顶点在圆锥侧面内.该几何体的俯视图如图2，则其主视图可能为 （    ）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】

根据直观图和俯视图，利用三视图判断.

【详解】

由直观图和俯视图可得主视图是C选项，

故选：C

4．（2021·通化县综合高级中学高二期末（文））对于空间中的两条直线和一个平面，下列命题中的真命题是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【解析】

利用空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，再结合线面平行与垂直的判定定理和性质定理，对应选项逐一解析判断即可.

【详解】

若，，则与可能平行，相交或，故A选项错误；

若，，则或与异面，故C选项错误；

若，，则，故D选项错误；

故选：B.

5．（2021·四川资阳市·高二期末（文））已知m，n为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

ABD项均可举出反例，C项可用线面垂直的判定定理说明

【详解】

A. ，则也可在平面内

B. ，则也可在平面内

C. 成立

两平行线，垂直于平面，必垂直于两条相交直线，则由直线平行关系的传递性，必定垂直于内那两条相交直线，故

D. ，则也可是异面直线的关系.

故选：C

6．（2021·陕西咸阳市·高一期末）已知平面平面，，，则下列结论一定正确的是（    ）

A．，是平行直线 B．，是异面直线

C．，是共面直线 D．，是不相交直线

【答案】D

【解析】

利用面面平行的性质定理判断.

【详解】

因为平面平面，，，

所以m，n无公共点，

所以，是不相交直线,

故选：D

7．（2021·陕西省黄陵县中学高一期末）如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（    ）

A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．直线与相交

C．A，B，C，D四点中不存在三点共线 D．直线与平行

【答案】C

【解析】

由已知条件将四个点的位置定下来，可得选项.

【详解】

因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确，

若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故A错误；

若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确；

若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故D不正确，

故选：C.

8．（2020·陕西西安市·高一期末）如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

先判断原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，下底边长，代入梯形的面积公式计算．

【详解】

平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1，下底为的的等腰梯形，

原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为，

原平面图形的面积．

故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·全国高三专题练习）下列关于圆柱的说法中，正确的是（    ）（多选）

A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱

B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面

C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面

D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的面所围成的几何体是圆柱

【答案】ABD

【解析】

根据旋转体的定义，判断正确；由圆柱的结构特征，可判断正确，错误.

【详解】

用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，

如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，故C错误，

显然A，B，D正确.

故选:ABD.

10．（2020·南京航空航天大学附属高级中学高二月考）给出以下结论：正确的为（    ）

A．直线平面，直线，则

B．若，，则、无公共点

C．若，则或与相交

D．若，则

【答案】CD

【解析】

由直线与平面平行的定义判断A；由直线与平面相交的性质判断B；由直线在平面外的定义判断C、D．

【详解】

若直线平面，直线，则或与异面，故A错误；

若，，则、相交、平行或异面，故B错误；

若，则或与相交，故C正确；

若，则，故D正确．

故选：CD．

11．（2020·广东肇庆市·高三月考）设a，b是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BCD

【解析】

根据空间中线面的关系，逐一解析选项，即可得答案.

【详解】

对于A：若，，则可平行，可相交，也可异面，故A错误；

对于B：若，，则，故B正确；

对于C：若，，则，故C正确；

对于D：，，则，故D正确.

故选：BCD

12．（2020·全国高三专题练习）已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是（    ）.

A．若与是异面直线，则至少与、中的一条相交

B．若不垂直于，则与一定不垂直

C．若，则必有

D．若、，则必有

【答案】BD

【解析】

根据线面平行的性质定理、空间中的线面关系，逐一解析选项，即可得答案.

【详解】

A选项，若与是异面直线，则至少与、中的一条相交，故A正确；

B选项，时，若，则，此时不论，是否垂直，均有，故B错误；

C选项，当时，则，由线面平行的性质定理可得，故C正确；

D选项，若，则，时，与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故D错误，

故选：BD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2020·江西赣州市·南康中学高二期中（文））如图，为正方体，异面直线与所成的角为____________

【答案】

【解析】

利用平行关系，异面直线转化为相交直线所成的角.

【详解】

，异面直线与所成的角为与所成的角，即，

是等腰直角三角形，所以.

故答案为：

14．（2020·上海市洋泾中学）表面积为的球的体积为__________.

【答案】

【解析】

先求出半径，再利用公式可求体积.

【详解】

，

故答案为：.

15．（2020·上海嘉定区·高三一模）在△中，，，，将△绕边所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为___________.

【答案】

【解析】

易得旋转后得到的几何体是一个以AB为半径，以AC为高的圆锥，再求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解.

【详解】

如图所示：

因为在△中，，，，

所以所得圆锥的底面半径为，高为，母线为，

所以其侧面积为，

故答案为：

16．（2020·浙江高一期末）如图，在长方体中，，E，F分别是BC，DC的中点，则异面直线与EF所成角为______；与EF所成角的余弦值为______.

【答案】       

【解析】

因为∥，∥,可得异面直线与EF所成角，然后计算得到答案.又∥∥,可得与EF所成角,在三角形中可计算得出.

【详解】

由E，F分别是BC，DC的中点，则∥.

在长方体中有∥.

所以异面直线与EF所成角.

因为，则.

又∥∥,

所以为与EF所成角.

在三角形中，,.

所以 .

故对答案为： ;  .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·全国高三专题练习（文））如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1平面DEC1.

【答案】证明见解析.

【解析】

通过三角形的中位线证得，结合证得，由此证得平面.

【详解】

因为D，E分别为BC，AC的中点，所以是三角形的中位线，

所以.

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，，

所以.

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1平面DEC1.

18．（2020·云南昆明市·昆明二十三中高二期中）如图所示：在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）详见解答；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，再由面面垂直定理可得平面，即可证明结论；

（2）平面，用等体积法求三棱锥的体积.

【详解】

（1）为中点，，

平面平面，平面平面，

平面，平面平面，

平面平面；

（2）且，分别为的中点，

，

平面，，

.

19．（2020·广东广州市·西关外国语学校高二期中）如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先证明，平面即得证；

（2）先证明，，平面即得证．

【详解】

（1）在中，E，F分别是的中点，

所以．

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）在中， ，

所以，所以．

因为平面，平面，

所以．

又因为平面平面．

所以平面．

因为平面，所以

在中，因为，E为的中点，

所以．

又因为平面平面．

所以平面．

20．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．

（1）求证：；

（2）求证：//平面．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.

（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】

（1）因为，平面平面，

平面平面，

平面，则平面．

又因为平面，

所以．

（2）取的中点，连接，．

在中，因为，分别是，的中点，

所以//，且．

在平行四边形中，因为是的中点，

所以//，且，

所以//，且

在平行四边形是平行四边形，

所以//．

又因为平面，平面，

所以//平面．

21．（2020·青铜峡市高级中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，侧面PAB底面，，

（1）求证：平面

（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；

【详解】

（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且

∴，又在△中，，即，

∴，又面PAB面，面PAB 面，面PAB，

∴面，而面，有：，，

∴平面；

（2）由（1）知：面，有，

而，且，

∴

22．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．

（1）证明：平面；

（2）若M是AB的中点，证明：平面平面；

（3）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）利用得出平面.（2）通过证明平面，可证得平面平面.（3）利用等体积转化求出即可.

【详解】

（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面

（2）证明：在正方体中，

,是中点，

.

平面，平面，则.

平面，平面，且，

平面.

平面，

∴平面平面

（3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等.

故 ．