第8章 平面向量（章节压轴题解题思路分析）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）学案

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第8章 平面向量章节压轴题解题思路分析模块一：平面向量的线性运算1．（2020·杭州高级中学钱塘学校高二期中）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置，而，括号内利用向量模的几何意义求最小值．【详解】因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，，，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于，设，则点在直线上，的延长线交于，则，是菱形对角线的交点，则，，，，，设，则是关于直线的对称点，，则，即，又，所以，，当且仅当共线时等号成立，所以 的最小值是，的最小值是，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值．模块二：向量的数量积1．（2021·天津和平区·高三一模）如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.【答案】【分析】根据平面几何及梯形的性质，可求出，求出，利用二次函数求最值.【详解】设则则， ，，即得，即过C作过作则，则则， 则由得，，函数 开口向下，对称轴，当时， 故答案为：【点睛】关键点点睛：利用平面几何性质，求出，利用向量积的定义，求出，利用二次函数求最值是解题关键.2．（2021·浙江高一期末）已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．【答案】【分析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.【详解】，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值.故答案为：【点睛】关于向量模长的问题，一般没有坐标时，利用平方公式展开计算；有坐标时，代入坐标公式求解，涉及模长的最值问题，一般需要转化为点与点之间的距离，或者点到线的距离等问题，利用几何方法求解.3．（2021·天津南开区·高三一模）在中，，，，则______；若，，，则的最大值为______．【答案】        【分析】①利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出；②将和分别用和表示代入，利用基本不等式求解即可.【详解】①如图，作，垂足为，因为，所以，所以，即，又，，所以，即,所以；②因为，，所以,,所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量.模块三：向量的坐标表示1．（2021·全国高三其他模拟）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（    ）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.【详解】如图:令，，则，故.因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.设，连接，因为，所以点在直线上.因为，所以，即，所以.结合图形可知，当时，即取得最大值，且.故选：D【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题. 模块四：向量的应用1．（2021·江苏南通市·启东中学高一月考）已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根据锐角三角形求出B的取值范围，进而求出c的取值范围，从而得到面积的取值范围.【详解】（1）由解得：，故函数的单调递增区间为．（2），，又，，，又，在中，由正弦定理得：，得又为锐角三角形，且，故，解得，即面积S的取值范围是：【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.2．（2021·江苏高一单元测试）已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.（1）求；（2）证明：；（3）当重合时，求的面积.【答案】（1）； （2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据平面向量的模长公式和数量积的运算公式，即可求解；（2）利用余弦定理，求得，然后求出，从而得到，即可得到结论；（3）根据向量的夹角公式，求得和，从而求得和的值，当重合时，，求得，最后根据三角形的面积公式和，即可求解.【详解】（1）在中，因为，且，可得，则，所以.（2）由（1）与已知，可得，由余弦定理可得，又因为，则，则，所以.（3）由已知可得，因为，所以，，因为，所以，当重合时，，解得，解得，此时，所以，可得，所以.【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决；（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解.3．（2020·湖南长沙市·宁乡一中高一月考）已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求的大小；（2）如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形面积最大．【答案】（1）（2）【分析】（1）（法一）根据正弦定理利用“边化角”的方法将原式化为，利用两角和的正弦公式进行化简，结合三角形的性质即可求得的大小；（法二）根据余弦定理利用“角化边”的方法将原式化为，化简得出的值，即可得出的大小.（2）根据题意，设，根据余弦定理表达出，再根据三角形的面积公式，分别表达出与，从而得到四边形面积的函数，利用三角函数的性质即可求出面积的最大值.【详解】（1）（法一）：在中，由正弦定理得      ，故．（法二）在中，由余弦定理得故．（2）由（1）知，且，为等边三角形，设，则在中，由余弦定理得，四边形的面积当即时，所以当时，四边形的面积取得最大值．【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式以及根据三角函数的性质求最值.4．（2020·海南枫叶国际学校高一期中）在平面四边形中，已知，，.（1）若，，，求的长；（2）若，求证：.【答案】（1），；（2）见解析【分析】（1）根据题意，得出，，再利用正弦定理求得，结合已知条件，即可求出的长； （2）利用余弦定理以及三角形的内角和，得出，通过判断三角形中边角关系，即可得出结论.【详解】（1）由已知得，，所以.因为，所以，.所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.又，所以，.（2）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.因为，，所以，即.又，，所以，所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，通过正弦定理和余弦定理、以及三角形边和角的有关性质等，同时考查学生化归和转化思想.