（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题11 分式方程（原卷版+解析版）学案

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【高频考点精讲】
1．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验。
2．换元法解分式方程
（1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，叫做换元法；
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理；
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
3．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根；
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根；
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根。
【热点题型精练】
1．（2021•恩施州中考）分式方程+1＝的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣2C．x＝D．x＝2
2．（2021•黄石中考）分式方程+＝3的解是 ．
3．（2021•荆州模拟）用换元法解方程，若设，则原方程可化为关于t的方程是（ ）
A．t2﹣2t+1＝0B．t2+2t+1＝0C．t2﹣2t+2＝0D．t2﹣t+2＝0
4．（2021•上海模拟）用换元法解方程＝3时，设＝y，那么原方程化成关于y的整式方程是 ．
5．（2021•广州模拟）若关于x的方程＝有解，则a的值不能为（ ）
A．3B．2C．D．
6．（2021•黑龙江中考）已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣4B．m≥﹣4且m≠﹣3C．m＞﹣4D．m＞﹣4且m≠﹣3
7．（2021•四川中考）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣1D．1
8．（2021•哈尔滨模拟）若关于x的分式方程＝3的解是非负数，则b的取值范围是（ ）
A．b≠4B．b≤6且b≠4C．b＜6且b≠4D．b＜6
9．（2021•兴安盟中考）若关于x的分式方程+＝2无解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．0或3
10．（2020•重庆中考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程+＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．﹣14C．28D．﹣56
11．（2021•宜宾中考）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
12．（2020•潍坊中考）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝ ．
二、由实际问题抽象出分式方程
【高频考点精讲】
在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等。
【热点题型精练】
13．（2021•温州模拟）A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，设甲工程队每周铺设管道x千米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2021•淄博中考）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（ ）
A．﹣＝12B．﹣＝0.2
C．﹣＝12D．﹣＝0.2
15．（2021•西安模拟）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ）
A．＝B．﹣40＝
C．＝﹣40D．＝
16．（2021•衡水模拟）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A．﹣＝1B．﹣＝1
C．﹣＝50D．﹣＝50
三、分式方程的应用
【高频考点精讲】
列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，列分式方程解应用题一定要等量关系;
例如：行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间。
【热点题型精练】
（2020•威海中考）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．
18．（2021•南阳模拟）某商店看准了商机，准备购进一批商品A和B进行销售，已知B的进价比A的进价少10元，若用720元购进B的数量比用720元购进A的数量多50件．
（1）B和A的单价分别为多少？
（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300个B商品和200个A商品，已知B的销售价格为12元一个，A的销售价格为24元一个，销售一段时间后发现B售出了总数的，A售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的A和B以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？（利润＝总售价﹣总进价）
19．（2021•无锡中考）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
20．（2021•宜昌模拟）每年的3月12日是我国的植树节．今年植树节期间清江、东风两个社区计划共植树390棵，清江社区每天种植60棵树，东风社区每天种植30棵树．
（1）如果植树计划恰好完成，要求东风社区植树天数不超过清江社区植树天数的，那么清江社区至少植树多少天？东风社区至多植树多少天？
（2）清江、东风两个社区种植一棵树的所需费用分别为150元和100元．在实际植树过程中，社区决定加大投入种更多的树，总费用共投入67500元；清江社区每天种植棵数减少了，而植树的天数比（1）问中清江社区最少植树天数增加了，增加的百分数是每天种植棵数减少百分数的一半还多30个百分点；东风社区每天种植棵数不变，而植树天数比（1）问中东风社区最多植树天数也增加了，增加的百分数正好是清江社区每天种植棵数减少百分数的5倍．求这两个社区实际植树棵树分别为多少？