（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题09 二元一次方程组（原卷版+解析版）学案

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【高频考点精讲】
1．用代入法解二元一次方程组的一般步骤
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得未知数的值；
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
【热点题型精练】
1．（2021•武汉模拟）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
解：，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
答案：A．
2．（2020•黑龙江中考）若是二元一次方程组的解，则x+2y的算术平方根为（ ）
A．3B．3，﹣3C．D．，﹣
解：把代入方程组得：，
①﹣②得：x+2y＝3，
则3的算术平方根为．
答案：C．
3．（2021•衡水模拟）已知关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝k﹣1．
（1）当k＝1和k＝2时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 ；
（2）当k＝﹣1和k＝﹣2时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 ；
（3）猜想：无论k取何值时，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是 ．
解:（1），
②﹣①得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝1，
∴．
答案：．
（2），
①﹣②得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝1，
∴．
答案：．
（3）由题kx﹣y＝2k﹣3可得：y＝k（x﹣2）+3，
当x＝2时，y＝3，等式成立与k值无关，
∴无论k取何值，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是．
答案：．
4．（2021•遵义中考）已知x，y满足的方程组是，则x+y的值为 5 ．
解：，
②﹣①得，x+y＝5，
答案：5．
5．（2021•郑州模拟）二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
解：，
把②代入①得：4y+y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝4，
则方程组的解集为．
答案：C．
6．（2021•苏州模拟）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 5 ．
解：∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，
则a＝2，
故a+b＝5．
答案：5．
7．（2021•苏州中考）解方程组：．
解：
由①式得y＝3x+4，
代入②式得x﹣2（3x+4）＝﹣3
解得x＝﹣1
将x＝﹣1代入②式得﹣1﹣2y＝﹣3，得y＝1
∴方程组解为
二、由实际问题抽象出二元一次方程组
【高频考点精讲】
1．由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系；
2．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符；
3．找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系；
②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系；
③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系；
④图形问题：分析图形的长宽，从中找等量关系。
【热点题型精练】
8．（2021•济南模拟）2台大收割机和5台小收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大收制机和2台小收割机同时工作5h共收割小麦8hm2，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少hm2？若设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦xhm2和yhm2．根据题意，可得方程组（ ）
A．B．
C．D．
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷，y公顷，
由题意得，，
答案：A．
9．（2021•荆门中考）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：．
答案：A．
10．（2021•广州模拟）如图，一个长方形图案是由8个大小相同的小长方形拼成，宽为60cm，设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
由图可得：．
答案：A．
三、列二元一次方程组解决实际问题
【高频考点精讲】
1．审题：找出已知条件和未知量及它们之间的关系；
2．设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来，直接设元与间接设元；
3．列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组；
4．求解；
5．检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答。
【热点题型精练】
11．（2021•杭州模拟）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若小长方形的面积为S，长为x，宽为y，则（ ）
A．若x＝2，则S＝20B．若y＝2，则S＝20
C．若x＝2y，则S＝10D．若x＝4y，则S＝10
解：∵长方形ABCD的周长为60，
∴AB+AD＝30，
由题意得：x+2y+x+3y＝30，
即2x+5y＝30，
A、若x＝2时，则y＝，
∴S＝xy＝，故选项A不符合题意；
B、若y＝2时，则x＝10，
∴S＝xy＝20，故选项B符合题意；
C、若x＝2y，则4y+5y＝30，
解得：y＝，
∴x＝，
∴S＝xy＝，故选项C不符合题意；
D、若x＝4y，则8y+5y＝30，
解得：y＝，
∴x＝，
∴S＝xy＝，故选项D不符合题意；
答案：B．
12．（2021•重庆模拟）尚依钟妈妈的“陪读面膜淘宝店”于2020年1月正式营业，该店主要销售“补水面膜”、“美白面膜”、“修复面膜”，去年上半年，“美白面膜”和“修复面膜”共销售了300盒，已知“补水面膜”每盒的售价为60元，每盒利润率为50%，且它每盒的成本比“美白面膜”每盒的成本多5元，比“修复面膜”每盒的成本少15元．去年下半年，“补水面膜”的销售量与上半年一样，“美白面膜”销量减少一半，“修复面膜”的销量是上半年的3倍，但三种面膜的总销售量下半年比上半年多100盒．“补水面膜”的成本没变，售价减少了2元，“美白面膜”售价、成本均未改变，“修复面膜”的售价增加8元、成本增加1元．发现上半年“补水面膜”的销售额占上半年三种面膜总销售额的，同时，“美白面膜”全年的总利润是“补水面膜”全年总利润的．那么，在去年上半年的销售中10盒“美白面膜”的销售额比1盒“修复面膜”的销售额多 420 元．
解：上半年：设“美白”、“修复”、“补水”分别销售了a、b、c盒，由题意：“补水”的成本：60÷（1+50%）＝40元，故“美白”成本35元，“修复”成本55元，a+b＝300，总销价额60c÷＝96c；
下半年：a+3b+c＝a+b+c+100，“补水”售价58元，“修复”成本55+1＝56元，设“美白”、“修复”上半年售价为x、y，则“美白”、“修复”下半年售价为x、y+8．
∴，
∴，
∴10x﹣y＝420，
故去年上半年销售中10盒“美白面膜”的销售额比1盒“修复面膜”的销售额多420元．
答案：420．
13．（2021•沈阳模拟）如图所示，宽为50cm的矩形图案由10个全等的长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 400cm2 ．
解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
由图形可知，，
解得：．
所以一个小长方形的面积为400cm2．
答案：400cm2．
14．（2021•哈尔滨模拟）把一根长7m的钢管截成2m和1m两种规格的钢管（两种都有）．如果没有剩余，那么截法有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．3种
解：截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7m时，没有剩余，
设截成2m长的钢管x根，1m长的y根，
由题意得，2x+y＝7，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：或或，
则有3种不同的截法．
答案：D．
15．（2021•泰州模拟）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
下表是工作人员四次领取纸板数的记录：
仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请问记录有误的是（ ）
A．第一次B．第二次C．第三次D．第四次
解：第三次记录错误，理由如下：
设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
∴x+2y+4x+3y＝5x+5y＝5（x+y），
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，
∵562+938＝1500，420+860＝1280，502+1000＝1502，985+2015＝3000，
∴第三次记录有误，
答案：C．
16．（2021•肇庆模拟）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．
解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是n•（n+2）＝n2+2n
答案：n2+2n．
17．（2021•北京模拟）有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的数有 5 个．
解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y
x+y＝5
x＝5﹣y
，，，，．
有5种情况
答案：5
四、三元一次方程组的应用
【高频考点精讲】
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程。
1．把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础；
2．通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性。
【热点题型精练】
18．（2021•泰安模拟）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文x，y，z对应密文2x+3y，3x+4y，3z．例如：明文1，2，3对应密文8，11，9．当接收方收到密文12，17，27时，则解密得到的明文为 3，2，9 ．
解：根据题意列方程组得：，
解得．
答案：3，2，9．
19．（2021•重庆中考）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1：8 ．
解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份总营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5b，
由题意可得：，
解得：，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8，
答案：1：8．
日期
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
562
938
第二次
420
860
第三次
502
1000
第四次
985
2015