（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题14 一次函数（原卷版+解析版）学案

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【高频考点精讲】
1．一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b。
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确；
②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象。
2．一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移。
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线。
【热点题型精练】
1．（2021•宁夏中考）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
解：∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y2＞y1，且kb＞0，
∴k＞0，b＞0，
∴直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
答案：A．
2．（2021•阿坝州中考）已知一次函数y＝ax﹣1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第 一 象限．
解：∵在一次函数y＝ax﹣1中，若y随x的增大而减小，
∴a＜0，该函数经过点（0，﹣1），
∴该函数经过第二、三、四象限，
∴该函数不经过第一象限，
答案：一．
3．（2021•自贡中考）当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为 ﹣2 ．
解：当x≥k时，函数y＝|x﹣k|＝x﹣k，此时y随x的增大而增大，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝﹣1时取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+3，
解得k＝﹣2，（此时﹣1≤x≤3，x≥k成立），
当x＜k时，函数y＝|x﹣k|＝﹣x+k，此时y随x的增大而减小，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝3时取得最小值，即有﹣3+k＝k+3，
此时无解，
答案：﹣2．
二、一次函数图象与系数的关系
【高频考点精讲】
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限。
【热点题型精练】
4．（2021•柳州中考）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．k＞0B．b＝2
C．y随x的增大而增大D．x＝3时，y＝0
解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
∴k＜0，A错误；
∴函数值y随x的增大而减小，C错误；
∵图象与y轴的交点为（0，2）
∴b＝2，B正确；
∵图象与x轴的交点为（4，0）
∴x＝4时，y＝0，D错误．
答案：B．
5．（2021•眉山中考）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是 a＜﹣ ．
解：∵一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，
∴2a+3＜0，解得a＜﹣．
答案：a＜﹣．
6．（2021•成都中考）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第 一 象限．
解：∵在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
答案：一．
三、一次函数图象上点的坐标特征
【高频考点精讲】
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b。
【热点题型精练】
7．（2021•嘉兴中考）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．≤B．≥C．≥D．≤
解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，
∴﹣3a﹣4＝b，
又2a﹣5b≤0，
∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，
解得a≤﹣＜0，
当a＝﹣时，得b＝﹣，
∴b≥﹣，
∵2a﹣5b≤0，
∴2a≤5b，
∴≤．
答案：D．
8．（2021•贺州中考）如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 （﹣2，4﹣2） ．
解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4，
∴AO＝BO＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2，
∵PD＝BD＝2，
∴P（﹣2，4﹣2），
故答案为（﹣2，4﹣2）．
9．（2021•梧州中考）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝ 4044 ．
解：由题意得：S1＝2×3﹣2×1＝4＝2×（1+1），
S2＝4×3﹣2×3＝6＝2×（2+1），
S3＝5×4﹣4×3＝8＝2×（3+1），
S4＝6×5﹣5×4＝10＝2×（4+1），
⋯
∴Sn＝2（n+1），
∴S2021＝2×（2021+1）＝4044．
答案：4044．
四、一次函数图象与几何变换
【高频考点精讲】
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
【热点题型精练】
10．（2021•陕西中考）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣5D．5
解：将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，得到直线y＝﹣2x+3，
把点（﹣1，m）代入，得m＝﹣2×（﹣1）+3＝5．
答案：D．
11．（2021•扬州中考）如图，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．+B．3C．2+D．+
解：∵一次函数y＝x+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣，
则A（﹣，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB＝＝2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC＝＝x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD＝＝x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x＝x，
解得：x＝+1，
∴AC＝x＝（+1）＝，
答案：A．
12．（2021•北京中考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
解：（1）函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到y＝x﹣1，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y＝x﹣1．
（2）把x＝﹣2代入y＝x﹣1，求得y＝﹣2，
∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数y＝x﹣1的交点为（﹣2，﹣2），
把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，
∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x﹣1的值，
∴≤m≤1．
五、一次函数与一元一次不等式
【高频考点精讲】
1．一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
【热点题型精练】
13．（2021•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2B．x＜3C．x＞2D．x＞3
解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
答案：C．
14．（2021•娄底中考）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（ ）
A．﹣4＜x＜2B．x＜﹣4C．x＞2D．x＜﹣4或x＞2
解：∵当x＞﹣4时，y＝x+b＞0，
当x＜2时，y＝kx+4＞0，
∴解集为﹣4＜x＜2，
答案：A．
15．（2021•自贡中考）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．
列表如下：
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 ②③ ．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 x＜﹣2或0＜x＜2 ．
解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣＝2，
把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣＝﹣，
∴a＝2，b＝﹣，
函数y＝﹣的图象如图所示：
（2）观察函数y＝﹣的图象，
①当﹣2≤x≤2时，函数图象原点对称；错误；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；正确；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，正确．
故答案为②③；
（3）由图象可知，函数y＝﹣与直线y＝﹣x的交点为（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2）
∴不等式＞x的解集为x＜﹣2或0＜x＜2．
六、一次函数的应用
【高频考点精讲】
1．分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；
2．函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数；
3．概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用；
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
【热点题型精练】
16．（2021•武汉中考）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（ ）
A．hB．hC．hD．h
解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h，
因此单程所花时间为2 h，故其速度为．
所以对于慢车，y与t的函数表达式为①．
对于快车，y与t的函数表达式为y＝，
联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，
联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，
答案：B．
17．（2021•济南中考）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 15 min．
解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，
解得k＝0.4，b＝2，
∴h＝0.4t+2，
将h＝8代入得，t＝15．
答案：15．
18．（2021•绵阳中考）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设工艺厂购买A类原木x根，则购买B类原木（150﹣x）根，
根据题意，得，
可解得50≤x≤55，
∵x为整数，
∴x＝50，51，52，53，54，55；
答：工艺厂购买A类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55；
（2）设获得利润为y元，
由题意，得y＝50[4x+2（150﹣x）]+80[2x+6（150﹣x）]，
即y＝﹣220x+87000，
∵﹣220＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝50时，y取最大值，最大值为：﹣220×50+87000＝76000（元），
答：该工艺厂购买A、B两类原木分别为50和100根时，所获得利润最大，最大利润是76000元．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
﹣2
﹣
﹣
…
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…