（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题10 一元二次方程（原卷版+解析版）学案

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【高频考点精讲】
1．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）；
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。
3．解一元二次方程-换元法
（1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法；
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理；
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，达到降次目的。
【热点题型精练】
1．（2021•南宁模拟）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
2．（2021•黄冈模拟）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣k2﹣2k+3＝0的一个根为0，则k＝ ．
3．（2021•武汉模拟）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝﹣4C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
4．（2021•潮州模拟）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（ ）
A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11
5．（2021•庆阳模拟）方程x（x+5）＝0的根是（ ）
A．x＝5B．x＝﹣5C．x1＝0，x2＝5D．x1＝0，x2＝﹣5
6．（2021•武威模拟）若某等腰三角形的底边长和腰长是方程x2﹣6x+8＝0的两实数根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．不能确定
7．（2021•洛阳模拟）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．20或8B．8C．20D．12
8．（2021•郑州模拟）定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
二、高次方程和无理方程
【高频考点精讲】
1．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程；
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解。
2．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程；
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程；
（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等；
注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根。
【热点题型精练】
9．（2020•随州中考）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（ ）
A．1﹣B．3﹣C．1+D．3+
10．（2021•南阳模拟）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为 ；
（2）直接写出方程x2﹣3|x|+2＝0的根；
（3）解方程：x2﹣x+2﹣8＝0．
三、根的判别式及根与次数关系
【高频考点精讲】
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数；
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2 ；
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等；
④判断两根的符号；
⑤求作新方程；
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件。
【热点题型精练】
11．（2021•黔东南州模拟）设一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2B．
C．x1+x2＝1D．x1•x2＝1
12．（2021•内蒙古模拟）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ）
A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0D．方程两根之积等于0
13．（2021•贵州模拟）对于实数a，b，定义运算“a*b＝”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ ．
14．（2021•北海模拟）若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 ．
15．（2020•湖北中考）关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（ ）
A．﹣1B．﹣4C．﹣4或1D．﹣1或4
16．（2021•遂宁模拟）方程x2﹣3x+4＝0与方程x2﹣2x﹣5＝0的所有实数根的和是 ．
17．（2021•泉州模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2＝ ．
四、由实际问题抽象出一元二次方程
【高频考点精讲】
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相
等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程。
【热点题型精练】
18．（2021•济南模拟）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
19．（2021•宁德模拟）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年（1524年），王文素著，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔各几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问矩形田地的长与宽各是多少步？如果设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
20．（2021•青岛模拟）有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为 ．
五、一元二次方程的应用
【高频考点精讲】
1．列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答；
2．列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a；
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数；
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程；
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解。
【热点题型精练】
21．（2020•河北中考）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
22．（2021•泉州模拟）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？
（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．
23．（2021•菏泽中考）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？