2021学年第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时课堂检测

第六章 平面向量及其应用

6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 (基础篇）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在中，由余弦定理可得 ，

所以．故选:A．

2．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图所示：

设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高，

在中，，，，

由正弦定理，得，

，

所以，.故选：C

3．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（    ）

A．50米 B．57米 C．64米 D．70米

【答案】D

【解析】

如图所示：由题意，设李华家为，有害垃圾点为，可回收垃圾点为，

则李华的行走路线，如图所示，

在中，因为，

由余弦定理可得：

米，

即李华回到自家楼下至少还需走70米.   故选：D.

4．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意有：底面，

在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，

，，，

在三角形中，由余弦定理可得：

，

在三角形中，由余弦定理可得：

，

∴，

解得：.故选：B.

5.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD为(　　)

A．24 m　 B．12  m

C．12  m D．36 m

【答案】C

【解析】设塔高CD＝x m，

则AD＝x m，DB＝x m.

又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，

在△ABD中，利用余弦定理，得

842＝x2＋(x)2－2 x2cos 150°，

解得x＝12 (负值舍去)，故选:C.

　　故选：C.

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6．海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距100 n mile，渔船B被困海面，已知B距离基地100 n mile，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是(    )

A.100n mile       B.200n mile     C.150n mile     D.300n mile

【答案】C

【解析】如图，设基地位于O处，由题意知∠BAO＝30°，BO＝100，OA＝100，则在△ABO中，由余弦定理，得

BO2＝BA2＋AO2－2BA·AOcos∠BAO，

即BA2－300BA＋20 000＝0，解得BA＝100或BA＝200，

即渔船B与救护船A的距离是100 n mile或200 n mile.故选：AB.

7.某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，这人走(    )千米到达A城.

A.15             B.9             C.10            D.20

【答案】AD

【解析】如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，

由余弦定理得

cosβ＝＝＝－，

∴sin β＝.

又sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ

＝×＋×＝，

在△ACD中，＝，

∴AD＝＝15(km).故选:AD

8．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离不可能为(　　)                            (　　)

A．a　　 B．a　　

C．a　　 D．a

【答案】ABD

【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理，得＝，

∴AB＝＝＝20 m.

在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，

由正弦定理得＝，则BC＝＝a，

在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，

所以△ACD为等边三角形.因为∠ADB＝∠BDC，

所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝a.故选:ABD

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为____________

【答案】10  km

【解析】由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°

＝102＋202－2×10×20×＝700.

∴AC＝10(km)． 故答案为:10  km

10．如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.

【答案】

【解析】由题意知：，，，

则在中，

利用余弦定理知：，

代入数据，得，

解得：，

则从到所用时间为，则，

即.故答案为：.

11.某运动会举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 米(如图所示)，则旗杆的高度为__________

【答案】30米

【解析】如图所示，依题意可知

∠CEA＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，

所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.

由正弦定理可知＝，

所以AC＝＝20  (米)．

所以在Rt△ABC中，

AB＝AC·sin ∠ACB＝20×＝30(米)．

所以旗杆的高度为30米．  故答案为:30米

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 km，求x的值

【答案】2或.

【解析】如图，若设出发点为A，

AB＝x，则有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 30°，即()2＝x2＋32－2x·3cos 30°，

解得x＝2或.

13．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

【答案】2小时，正弦值为.

【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，

则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.

由余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，解得x＝2.

故AC＝28，BC＝20.

根据正弦定理得＝，

所以sin  α＝＝.

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.

14．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据求cos θ的值.

【答案】－1　

【解析】由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.

在△ABD中，根据正弦定理可得＝，即＝，

所以BD＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝25(－)．

在△BCD中，由正弦定理得

＝，即＝，

解得sin ∠BCD＝－1.

所以cos θ＝cos (∠BCD－90°)＝sin ∠BCD＝－1.