高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用巩固练习

第六章 平面向量及其应用

6.4第四课时 余弦定理、正弦定理综合应用(基础篇）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则的形状是

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

【答案】C

【解析】因为，所以，设，，，则角为的最大角，由余弦定理可得，即，故是钝角三角形.故选：C。

2．为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得到觇标底点和顶点的仰角分别为，，则、的高度差约为（    ）

(参考数据：，，)

A．米 B．米

C．米 D．米

【答案】C

【解析】

如图所示，在中，由正弦定理可得 ，

由，，

所以，

在中，.故选：C。

3．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【解析】的内角，，的对边分别为，，，

，，，

解得，．故选：．

4．如图中，已知点在边上，，，，，则等于　　

A．4 B．24 C． D．20

【答案】B

【解析】在中，，，，，

所以；

由余弦定理可得，

所以；

在中，由正弦定理得，

所以；

在中，，

所以，解得，

所以．故选：．

5.已知的三个内角所对的边分别为，若，，且，则的面积为（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】D

【解析】，

即或，

若，则，故，与矛盾，

，由余弦定理得，

，故选：D

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】．

【解析】解：由在中，角，，所对的边分别为，，，知：

在中，由余弦定理得：，故正确；

在中，由正弦定理得：，，故正确；

在中，，

由余弦定理得：，

整理，得，故正确；

在中，由余弦定理得，

故错误．故选：ABC

7.下列命题中，正确的是(　　)

A．在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B

B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A＞cos B恒成立

C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形

D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形

【答案】ABD　

【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B＞，则＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选：ABD.

8．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的面积为6

【答案】ABD

【解析】因为，所以，

所以，故A正确；

因为，利用正弦定理可得，

因为，所以，

所以，

即

因为，所以，所以，又，所以，故B正确；

因为，所以，

所以，

因为，所以，故C错误；

，故D正确；故选：ABD

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9．在中，如果，那么________．

【答案】

【解析】∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c＝2：3：4，∴不妨设a＝2t，b＝3t，c＝4t，则cosC，∵C∈(0，π)，∴tanC．故答案为：．

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝____，cos C＝________.

【答案】4　－

【解析】、△ABC中，角A，B，C，所对边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则a＋b＝，

且△ABC的周长为9，则：c＋＝9，

解得c＝4.

若△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C，

整理得ab＝6，由于a＋b＝＝5，

故　解得或

所以cos C＝＝－.故答案为：4　－

11．如图，为了估测某塔的高度，在塔底和(与塔底同一水平面)处进行测量，在点处测得塔顶的仰角分别为45°，30°，且两点相距，由点看的张角为150°，则塔的高度______.

【答案】

【解析】设塔的高度（），则，，

在中，，，

由余弦定理可得，

即，解得.故答案为：

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.在①，，②，.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中：在中，它的内角，，的对边分别为，，，已知，         .求，的值.

【答案】答案见解析.

【解析】选择条件①，，，

，，

选择条件②，，，，，由正弦定理得：，，，.

13．已知a，b，c分别为非等腰内角A，B，C的对边，．

（1）证明：；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）由余弦定理得，

∴，

∴，或，

由得，不符合条件，∴．

（2）由（1）及正弦定理得，

∴，解得或（舍），

∴．

14．已知的内角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，如图，为线段上一点，且，求的长.

【答案】（1）；（2）1.

【解析】（1）根据正弦定理得，

整理得

因为，所以，又，可得

（2）在中，由余弦定理得：

将（1）中所求代入整理得：，解得或(舍)，即

在中，可知，有，

因为，

所以.