专题强化训练试卷五 空间点、线、面之间的位置关系（基础练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

专题强化训练试卷五 空间点、线、面之间的位置关系(基础篇）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.下列说法正确的是（    ）

A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形

C. 梯形一定是平面图形 D. 共点的三条直线确定一个平面

【答案】C

【解析】对于选项A，由公理3知，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；

对于选项B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B不正确；

对于选项C，再同一个平面内，只有一组对边平行四边形为梯形，故C正确；

对于选项D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故D不正确.  故选:C.

2.在正方体中，与是（    ）

A. 相交直线 B. 平行直线

C. 异面直线 D. 相交且垂直的直线

【答案】C

【解析】由图形可知，与不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.故选：C.

3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】如图，连接B1G,B1F ．

则异面直线A1E与GF所成角为∠B1GF． △B1GF中，得∠B1GF=，  故选：D

4.已知是平面内的两条相交直线，且直线，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，因为是平面内的两条相交直线，，根据线面垂直的判定定理，可得；当时，因为，所以，综上，“”是“”的充要条件.故选：A.

5.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（　　　　）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

【答案】C

【解析】因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以

，因此是二面角的平面角，

∠B′AC＝60°．所以是等边三角形，因此，在中

.故选：C

6.下列命题中正确的有（    ）

A. 空间内三点确定一个平面

B. 棱柱的侧面一定是平行四边形

C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上

D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内

【答案】BC

【解析】对于选项A，要强调该三点不在同一直线上，故A错误；

对于选项B，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；

对于选项C，可用反证法证明，故C正确；

对于选项D，要强调该直线不经过给定两边交点，故D错误.故选：BC.

7.己知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为(    )

A. 若，，，则

B. 若，，则

C. 若，， ，则

D. 若，，，，则

【答案】D

【解析】对于选项A  当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；

对于选项B  当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；

对于选项C  当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；

对于选项D  满足面面垂直的性质定理，所以正确，故选：D

8. 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（    ）

A．8  B．16

C．24  D．28

【答案】C

【解析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为，

，，所以

，，，因为平面，

且，则平面，因为，所以共有4个阳马；同理，平面，共4个；平面，共4个；

平面，共4个；平面，共4个；

平面，共4个；故有24个阳马．故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知A，B，C表示不同的点，L表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是(　　)

A. A∈L，A∈α，B∈L，B∈α⇒L⊂α

B. A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C. L⊄α，A∈L⇒A∉α

D. A∈α，A∈L，L⊄α⇒L∩α＝A

【答案】C

【解析】A为公理一，判断线在面内的依据，故A正确；

B为公理二，判断两个平面相交的依据，故B正确；

C中l⊄α分两种情况：l与α相交或l∥α，l与α相交时，若交点为A，故C错误；

D A∈α，A∈L，说明直线与平面有公共点，又L⊄α，所以L∩α＝A，故D正确. 

故选：C

10.在空间四边形中,分别是上的点,当平面时,下面结论正确的是(    )

A. 一定是各边的中点

B. 一定是中点

C. ,且

D. 四边形是平行四边形或梯形

【答案】CD

【解析】由平面,所以由线面平行的性质定理,得,,则,且,且,四边形是平行四边形或梯形.故选：.

11.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，，则 D. 若，，，则

【答案】BC

【解析】，时，可以相交、平行、或异面，A错；

时，内必，而，则，从而，B正确；

，，则，又，∴，C正确；

，，，可以相交、平行、或异面，D错．故选：BC．

12.已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，，则

【答案】ABD

【解析】由，，得，又由，得，A正确；

由，，得，又由，得，B正确；

若，，，可能平行也可能是异面直线，C错误；

由面面垂直的性质定理知D正确．故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.下列说法中正确的有______个.

①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；

②一个平行四边形确定一个平面；

③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；

④已知两个不同平面和，若，，且，则点在直线上.

【答案】2

【解析】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；

由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；

如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；

，，且，则A在上，满足平面的基本性质，所以④正确，

即正确的个数有2个，故答案为：2.

14.若直线l与平面不垂直，那么在平面内与直线l垂直的直线________(填“只有一条”、“有无数条”、“是平面内的所有直线”)

【答案】有无数条

【解析】直线l与平面不垂直,一定存在，使得成立，因此在平面内，与平行的所有直线都与直线l 垂直，因此有无数条直线在在平面内与直线l垂直.

故答案为：有无数条

15.如图，在长方体中，，，M、N分别为棱，的中点，则平面与平面的位置关系为_______________,直线与平面ADM的位置关系为_______

【答案】垂直   不平行

【解析】由题意平面，平面，故平面平面，对平面，显然BN与平面ADM不平行，故答案为：垂直   不平行．

 16.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为__________．

【答案】

【解析】因为平面，底面是正方形，所以

由线面垂直的判定定理可得平面，则平面

则是直线与平面所成角

，

直线与平面的夹角的范围为

，故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：

①直线在平面内；

②直线不在平面内；

③直线与平面交于点；

④直线不经过点.

（2）如图，在长方体中，为棱的中点，为棱的三等分点，画出由三点所确定的平面与平面的交线.(保留作图痕迹)

【答案】（1）①；②；③；④，示意图答案见解析（2）答案见解析

【解析】（1）；；；；示意图如下：

（2）如图，直线IL即为所求.

18.如图，在正方体中，E、F、G、H分别是棱、、、的中点.

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

【答案】（1）直线与相交；详见解析（2）

【解析】（1）取的中点

∵E、F、I分别是正方形中、、的中点

∴

∴在平面中，延长与必交于C右侧一点P，且

同理，在平面中，延长与必交于C右侧一点Q，且

∴P与Q重合，进而，直线与相交

（2）∵在正方体中，

∴平行四边形，∴

又∵E、F分别是、的中点

∴，∴

∴与所成的角即为与所成的角

（或：与所成的角即为及其补角中的较小角）①

又∵在正方体中，为等边三角形

∴②

∴由①②得直线与所成的角为

19.如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.

(1)求证:面；

(2)求证:平面平面.

【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．

（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及面来加以证明．

【解析】（1）证明：设，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以

而，所以面

（2）连接PO，因为，所以，又四边形是菱形，所以

而面，面，，所以面

又面，所以面面

20.已知四棱锥中，底面，，底面是边长为的正方形，是的中点．

（1）求点到平面的距离；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题可知，底面，，且底面是边长为的正方形，由于，

而，，

在中，有，则，

所以，

设点到平面的距离为，由于，则，

则，解得：，即点到平面的距离为.

（2）设的中点为，连接、，

∵是中点，∴，

∴是异面直线与所成角或其补角，

由于底面，底面，

则，在中，，

而，，

在中，由余弦定理得：，

又由于异面直线夹角范围为，

由此可得异面直线与所成角为的补角，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

21.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.

因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.

在Rt△PDA中，由已知，得，

故.

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.

又因为BC//AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，

所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，

由已知，得CF=BC–BF=2.

又AD⊥DC，故BC⊥DC，

在Rt△DCF中，可得,

在Rt△DPF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

22.如图，直三棱柱中，，，点是中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】（1）证明：，是中点，，

又在直三棱柱中，平面，平面，

，

又，平面，平面，

平面．                           

（2）证明：连接，交于点，连接，

、分别是、的中点，

是的中位线，，

平面，平面，

平面

（3）解：连，交于点，分别取、中点、，连接、、，

四边形是正方形且、分别是、的中点，故，

在中，，，

，，

又，分别是，中点且，

，

又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

，

，平面，平面，

平面，

平面，平面，

，，

又，，平面，平面，

平面，

平面，，

又平面平面

就是二面角的平面角，  

设，则在中，，

，

故，

故，

即二面角的余弦值为.