专题强化训练试卷四 简单几何体的结构特征、表面积与体积（提升练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

专题强化训练试卷四 简单几何体的结构特征、表面积与体积

 (提升篇）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，分别与轴、轴平行，则在原图中对应三角形的面积为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】D

【解析】三角形的直观图中，，分别与轴、轴平行，

则原图如下所示：

所以，

所以，    故选：D．

2.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】设长方体棱长分别为，则，所以，于是，

设球的半径为，则，所以这个球面的表面积为．

故选：C.

4.已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为，所以圆锥的表面积为，解得.故选：B

5.给出下列命题,其中正确的命题是（    ）

①有两个面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四边形，且相邻两四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的封闭几何体是三棱柱；

②有一个面是五边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的封闭几何体一定是五棱锥；

③有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，由这些面所围成的封闭几何体一定是四棱台.

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③

【答案】B

【解析】①由棱柱的定义知①正确；

②由棱锥的定义知②正确；

③棱台是由平行于底面的棱锥所截得的，有两个面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，四条侧棱不一定交于一点，则③不一定是四棱台，故③错误；

故正确的是①②；故选：B．

6.正三棱锥中，若，，点、分别在侧棱、上运动，则的周长的最小值为（    ）

A． B． C．12 D．

【答案】D

【解析】将三棱锥由展开，如图，

正三棱锥中，，则图中，

当点、、、位于同一条直线上时，的周长最小，

故为的周长的最小值，

又，为等腰三角形，

，，

，

的最小周长为：．

故选：D．

7.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若正方体的棱长为3，则“牟合方盖”的体积为（    ）

A.  B. 18 C. 6 D.

【答案】B

【解析】由题意可得正方体的内切球的半径为

则正方体的内切球的体积

设“牟合方盖”的体积为，由题意得

则，故选：B

8. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，则三棱锥与四棱锥的体积比值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】设四棱锥的体积为，

因为，所以，

又因为底面为平行四边形，所以，

所以，故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中（    ）

A．AB与AC相等                           B．AD的长度大于AC的长度

C．AB的长度大于AD的长度                 D．BC的长度大于AD的长度

【答案】AC

【解析】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系，轴，并且，点是的中点，并且作轴，即，且，连结，所以是等腰三角形，,的长度大于的长度，由图可知，，由图观察，，所以,即.

故选：AC

10.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（    ）

A．长方体的表面积为20

B．长方体的体积为6

C．沿长方体的表面从A到的最短距离为

D．沿长方体的表面从A到的最短距离为

【答案】BC

【解析】长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，

则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，

则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.故选：BC

11.一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

圆锥的底面半径为2，高为4，

设内接圆柱的底面半径为，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，

因此，内接圆柱的高；

圆柱的侧面积为，

令，当时，；

所以当时，，

即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.故选：ABD.

12.如图，在边长为4的正方形中，点、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有（    ）．

A．

B．当时，三棱锥的外接球体积为

C．当时，三棱锥的体积为

D．当时，点到平面的距离为

【答案】ACD

【解析】A选项：正方形

由折叠的性质可知：

又

面

又面，

；故A正确.

B选项：当时，

在中，，则

由A选项可知，

三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，

把三棱锥放置在长方体中，可得长方体的对角线长为，

三棱锥的外接球半径为，体积为，

故B错误

C选项：当时，

在中，，

则

故C正确；

D选项：设点到平面的距离为，则

在中，，

则

即，故D正确；故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________

【答案】

【解析】四棱锥的侧面积是 ，故答案为：

14.用一长、宽的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为______．

【答案】或

【解析】由题可知，圆柱的侧面为长、宽的矩形，

设圆柱的底面半径为，

若圆柱的高为，则，即，

所以圆柱的体积，

若圆柱体的高为 ，则，即，

所以圆柱的体积，    故答案为：或.

15..圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是____.

【答案】

【解析】该圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形圆心角度数为，

∴最短路程为.   故答案为：.

16.已知等边三角形的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的半径为______，点到平面距离的最大值为______.

【答案】       

【解析】如图所示：

设的中点为，，分别为等边三角形和梯形的外接圆圆心.

在中，为的中点，所以，

则为梯形外接圆的直径.

连接，.由题意，当四棱锥的体积最大时，平面平面，

过作平面的垂线，过作平面的垂线，两条垂线交于点，则点即为四棱锥外接球的球心.

四边形为矩形，则.

在等边三角形中，，则，，即.

又，所以四棱锥外接球的半径，

所以点到平面距离的最大值.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

（1）求正三棱锥的表面积；

（2）求正三棱锥的体积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）取的中点D，连接，

在中，可得.

∴.

∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，

∴正三棱锥的侧面积是.

∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.

则正三棱锥的表面积为；

（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.

且.

在中，.

∴正三棱锥的体积为.

18.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则求此圆锥的体积 

【答案】

【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，

则圆柱的侧面积为，

故表面积为，得①，

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，

得②，

联立①②得：，.

故该圆锥的体积为.

19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，分别为的中点，点在线段上.

（1）求证：平面；

（2）当时，求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析 (2)24

【解析】（1）证明：在平行四边形中，因为，，

，

所以．

由，分别为，的中点，得，

所以．

因为侧面底面，且，

所以底面．

又因为底面，

所以．

又因为，平面，平面，

所以平面．

（2）解：在中，过作交于点，

由，得，

又因为，

所以，

因为底面，

所以底面，

所以四棱锥的体积．

20.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.

（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;

（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.

【答案】（1） （2）

【解析】（1）

（2）如图所示，设圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径为，表面积为,

则

易知

，即

21.如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求

（1）截去的三棱锥的表面积；

（2）剩余的几何体的体积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，

所以截去的三棱锥的表面积

（2）正方体的体积为，

三棱锥的体积为，

所以剩余的几何体的体积为.

22.在①平面，②，③点在平面内的射影为的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答.三棱锥中，.若________，求三棱锥的体积. 注：如果选择多种条件组合分别解答，按第一种解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】若选择①和②，

因为，，

所以为等边三角形，

所以，

因为平面，

所以即为点到平面的距离，且，

所以.

若选择①和③，

因为平面，

所以点为点在平面内的射影，

又因为点在平面内的射影为的垂心，

所以点即为的垂心，

所以，

因为，所以三角形是等腰直角三角形，所以，

因为平面，

所以即为点到平面的距离，且，

所以.

若选择②和③，

因为，，

所以为等边三角形，

所以，

设的中心为点，则点即为等边的重心、垂心，且，

因为点在平面内的射影为的垂心，即点

所以平面，

所以即为点到平面的距离，且，

所以.