五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编15-空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编15-空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

一、单选题

1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·统考高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·山东·统考高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2019·全国·高考真题）设，为两个平面，则的充要条件是

A．内有无数条直线与平行

B．内有两条相交直线与平行

C．，平行于同一条直线

D．，垂直于同一平面

5．（2018·全国·高考真题）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为

A． B． C． D．

二、多选题

6．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体，则（    ）

A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为

7．（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

8．（2020·全国·统考高考真题）设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

9．（2019·北京·高考真题）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

四、解答题

10．（2021·浙江·统考高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

11．（2021·北京·统考高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．

（1）求证：为的中点；

（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

12．（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

13．（2020·北京·统考高考真题）如图，在正方体中， E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

14．（2020·全国·统考高考真题）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：

（1）当时，；

（2）点在平面内．

15．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.

（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的四边形的面积.

参考答案：

1．A

【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小．

【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接，

则，，，

，，，

所以，

故选：A．

2．D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

3．D

【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项.

【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误；

B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；

C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；

D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.

故选：D

4．B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．

5．C

【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.

【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，

设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，

则.故选C.

【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

6．ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，

因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；

连接，因为平面，平面，则，

因为，，所以平面，

又平面，所以，故B正确；

连接，设，连接，

因为平面，平面，则，

因为，，所以平面，

所以为直线与平面所成的角，

设正方体棱长为，则，，，

所以，直线与平面所成的角为，故C错误；

因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.

故选：ABD

7．BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为，

对于A，如图（1）所示，连接，则，

故（或其补角）为异面直线所成的角，

在直角三角形，，，故，

故不成立，故A错误.

对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，

由正方体可得平面，而平面，

故，而，故平面，

又平面，，而，

所以平面，而平面，故，故B正确.

对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，

故，故C正确.

对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，

则，

因为，故，故，

所以或其补角为异面直线所成的角，

因为正方体的棱长为2，故，，

，，故不是直角，

故不垂直，故D错误.

故选：BC.

8．①③④

【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.

【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.

9．如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.

【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.

【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；

（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；

（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.

【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

10．（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；

（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．

【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，

所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．

（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,

则,

又为中点，所以.

由（1）得平面，所以平面的一个法向量

从而直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，

题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．

11．（1）证明见解析；（2）．

【分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.

【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，

由于为正方体，为中点，故，

从而四点共面，即平面CDE即平面，

据此可得：直线交平面于点，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，

即点为中点.

(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2，设，

则：，

从而：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

从而：，

则：，

整理可得：，故（舍去）.

【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

12．（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；

（2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.

【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论

在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.

在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点在平面内.

［方法二］：空间向量共线定理

以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．

设，则．

所以．故．所以，点在平面内．

［方法三］：平面向量基本定理

同方法二建系，并得，

所以．

故．所以点在平面内．

［方法四］：

根据题意，如图3，设．

在平面内，因为，所以．

延长交于G，

平面，

平面．

，

所以平面平面①．

延长交于H，同理平面平面②．

由①②得，平面平面．

连接，根据相似三角形知识可得．

在中，．

同理，在中，．

如图4，在中，．

所以，即G，，H三点共线．

因为平面，所以平面，得证．

［方法五］：

如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在平面内．

（2）［方法一］【最优解】：坐标法

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.

则、、、，

，，，，

设平面的一个法向量为，

由，得取，得，则，

设平面的一个法向量为，

由，得，取，得，，则，

，

设二面角的平面角为，则，.

因此，二面角的正弦值为.

［方法二］：定义法

在中，，即，所以．在中，，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角．  

在中，．

所以，则．

［方法三］：向量法

由题意得，

由于，所以．

如图7，在平面内作，垂足为G，

则与的夹角即为二面角的大小．

由，得．

其中，，解得，．

所以二面角的正弦值．

［方法四］：三面角公式

由题易得，．

所以．

．

．

设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得

，所以．

【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．

（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．

13．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .

【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法

如下图所示：

在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

[方法二]:空间向量坐标法

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则.

又∵向量,,

又平面，平面；

（Ⅱ）[方法一]：几何法

延长到，使得，连接，交于，

又∵，∴四边形为平行四边形，∴，

又∵,∴,所以平面即平面,

连接，作,垂足为,连接,

∵平面,平面,∴，

又∵,∴直线平面,

又∵直线平面,∴平面平面,

∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，

根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.

设正方体的棱长为2，则,,∴,

∴,

∴,

即直线与平面所成角的正弦值为.

[方法二]：向量法

接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，

又∵,∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

[方法三]：几何法+体积法

 如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．

因为，

所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．

设正方体的棱长为2，在中，易得，

可得．

由，得，

整理得．

所以．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

[方法四]：纯体积法

设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，

在中，，

，

所以，易得．

由，得，解得，

设直线与平面所成的角为，所以．

【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；

（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.

14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；

（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.

【详解】

（1）因为长方体,所以平面,

因为长方体,所以四边形为正方形

因为平面,因此平面,

因为平面,所以；

（2）在上取点使得,连,

因为,所以

所以四边形为平行四边形，

因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面，

因此在平面内

【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.

15．(1)见详解；(2)4.

【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2) 欲求四边形的面积，需求出所对应的高，然后乘以即可．

【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.

，A，C，G，D四点共面.

又.

平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.

(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，

由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．

因此．

在中，DE=1，，故．

所以四边形ACGD的面积为4.

【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形的面积考查考生的空间想象能力.