2023届高考一轮复习加练必刷题第58练　空间点、直线、平面之间的位置关系【解析版】

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考点一 基本事实的应用
1．(2022·南昌模拟)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是( )
A．直线EF，HG有可能平行
B．直线EF，HG一定异面
C．直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上
D．直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上
答案 C
解析 ∵BE＝2AE，DH＝2HA，
∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(AH,DH)＝eq \f(1,2)，
则EH∥BD，且EH＝eq \f(1,3)BD，
又CF＝2FB，CG＝2GD，
∴eq \f(CF,BF)＝eq \f(CG,GD)＝2，
则FG∥BD，且FG＝eq \f(2,3)BD，
∴EH∥FG，且EH≠FG，
∴四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；
若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EH＝GF，与EH≠FG矛盾，故A错误；
由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝eq \f(1,3)BD，FG＝eq \f(2,3)BD，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，
则O∈EF，又EF⊂平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，
而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误．
2．在空间，已知直线l及不在l上的两个不重合的点A，B，过直线l作平面α，使得点A，B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是( )
A．1 B．2 C．3 D．无数
答案 C
解析 (1)如图，当直线AB与l异面时，则只有一种情况；
(2)如图，当直线AB与l平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l转动；
(3)如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种情况．
3．(多选)设α，β表示平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是( )
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α
B．若α，β不重合且A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l⊄α，A∈l，则A∉α
D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α与β重合
答案 AB
解析 若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α，A正确；
若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则直线AB既在平面α内，又在平面β内，所以α∩β＝AB，B正确；
若l⊄α，则直线l可能与平面α相交于点A，所以A∈l时， A∈α，C不正确；
若A，B，C∈α，A，B，C∈β，当A，B，C共线时，α与β可能不重合，D不正确．
考点二 空间位置关系的判断
4．(2022·山东省百师联盟联考)已知平面α，β，直线m，n，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，n⊂α，则m∥n
B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
答案 C
解析 对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；
对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质得m∥l，故C正确；
对于D，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β不一定垂直，故D错误．
5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则( )
A．a∥c
B．a，c是异面直线
C．a，c相交
D．a，c平行或相交或异面
答案 D
解析 若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c可以平行，可以相交，可以异面．
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则( )
A．D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1
B．D1，O，B三点不共线，且OB＝2OD1
C．D1，O，B三点共线，且OB＝OD1
D．D1，O，B三点不共线，且OB＝OD1
答案 A
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，如图，
C1D1∥CD∥AB，连接BD1，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1，
因为M为棱D1C1的中点，则M∈平面ABC1D1，而A∈平面ABC1D1，即AM⊂平面ABC1D1，又O∈AM，则O∈平面ABC1D1，
因为AM与平面BB1D1D的交点为O，则O∈平面BB1D1D，于是得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，
显然D1M∥AB且D1M＝eq \f(1,2)D1C1＝eq \f(1,2)AB，于是得OD1＝eq \f(1,2)BO，即OB＝2OD1，
所以D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1.
考点三 空间几何体的切割(截面)问题
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F，G分别为棱AA1，AB，CC1上的点，其中AE＝1，AF＝2，CG＝eq \f(3,2)，平面α经过点E，F，G，则α截此正方体所得的截面为( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
答案 C
解析 如图所示，
取BB1的中点H，BM＝1，
因为AE＝1，AF＝2，CG＝eq \f(3,2)，
所以EF∥A1H, GM∥D1E，
所以五边形EFMGD1在平面α上，
所以截面是五边形．
8.(2022·长沙质检)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将两底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为( )
A.eq \f(2\r(21),3) B.eq \f(4\r(21),3)
C.eq \f(2\r(7),3) D.eq \f(4\r(7),3)
答案 A
解析 延长AN，与CC1的延长线交于点P，
则P∈平面BB1C1C，
连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，
则四边形AMEN即是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，如图所示，
由已知可得AM＝AN＝eq \r(5)，B1C1＝2eq \r(2).
因为N是A1C1的中点，所以eq \f(PC1,PC)＝eq \f(C1N,AC)＝eq \f(1,2)，即PC1＝CC1，则PC1＝BB1，
又M为BB1的中点，所以B1M＝eq \f(1,2)PC1.
由△PC1E∽△MB1E，得eq \f(B1E,EC1)＝eq \f(1,2)，
可得B1E＝eq \f(1,3)B1C1＝eq \f(2\r(2),3)，C1E＝eq \f(4\r(2),3)，ME＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)))2＋12)＝eq \f(\r(17),3)，
NE＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(2),3)))2＋12－2×\f(4\r(2),3)×1×cs 45°)＝eq \f(\r(17),3)，MN＝eq \r(A1N2＋A1M2)＝eq \r(6).
所以平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积S＝eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2)＋eq \f(1,2)×eq \r(6)×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(17),3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2)＝eq \f(2\r(21),3).
9．(2022·山西大学附属中学质检)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分，则截面与平面BCC1B1的交线段长为________．
答案 eq \f(10,3)
解析 如图，连接AE并延长交DC的延长线于M，连接FM交CC1于G，连接EG并延长交B1C1的延长线于N，连接NF并延长交A1D1于H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截面，
因为E为BC的中点，所以CE＝eq \f(1,2)BC＝2，
因为CE∥AD，所以△MCE∽△MDA，
所以eq \f(CM,DM)＝eq \f(CE,AD)＝eq \f(1,2)，所以CM＝CD＝4，
因为DM∥C1D1，所以△MCG∽△FC1G，
所以eq \f(CG,C1G)＝eq \f(CM,C1F)＝2，所以CG＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)，
所以EG＝eq \r(CE2＋CG2)＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2)＝eq \f(10,3)，
所以截面与平面BCC1B1的交线段长为eq \f(10,3).
10．已知三棱锥P－ABC的所有棱长为2，D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，则此三棱锥的外接球被平面DEF所截的截面面积为________．
答案 eq \f(4π,3)
解析 作PN⊥平面ABC于N点，交平面DEF于M点，取三棱锥P－ABC的外接球球心为O，设外接球半径为r，则OP＝OB＝r，
易知BN＝eq \f(2\r(3),3)，PN＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \f(2\r(6),3)，
则在Rt△ONB中，r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(6),3)－r))2，解得r＝eq \f(\r(6),2)，
又D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，则PM＝eq \f(1,2)PN＝eq \f(\r(6),3)，
则球心到平面DEF的距离OM＝eq \f(\r(6),2)－eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(6),6).
此三棱锥的外接球被平面DEF所截的截面为以eq \r(r2－OM2)＝eq \f(2\r(3),3)为半径的圆，
则截面面积为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2＝eq \f(4π,3).
11．(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )
A．GH＝2EF
B．GH≠2EF
C．直线EF，GH是异面直线
D．直线EF，GH是相交直线
答案 BD
解析 如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，
∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，
∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，
∵EF∥HN，HN∩HG＝H，
HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，
∴EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，
∴eq \r(3)EF＝GH，即GH≠2EF.
12．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别为棱AB，A1D1的中点，则下列说法中正确的有( )
A．D1B⊥CE
B．三棱锥D－CEF的体积为eq \f(8,3)
C．若P是棱C1D1上一点，且D1P＝1，则E，C，P，F四点共面
D．平面CEF截该长方体所得的截面为五边形
答案 BCD
解析 连接DE, D1E，如图所示，
因为E为AB的中点，所以EB＝BC＝2，
所以CE＝eq \r(BE2＋BC2)＝2eq \r(2)，同理DE＝CE＝2eq \r(2)，又DC＝4，
所以DE2＋EC2＝DC2，即DE⊥EC，
又因为DD1⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，
所以DD1⊥CE，又DE∩DD1＝D，
所以CE⊥平面DD1E，即CE⊥D1E，
又D1E∩D1B＝D1，即D1E与D1B不平行，
所以CE不垂直于D1B，故A错误；
由等体积法可得三棱锥D－CEF的体积VD－CEF＝VF－CED＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×2×2＝eq \f(8,3)，故B正确；
作出P，使D1P＝1，取C1D1的中点G，则P为D1G的中点，连接FP，CP，A1G，
因为F，P分别为A1D1，D1G的中点，
所以FP∥A1G，
又△A1D1G≌△CBE，
且A1D1∥BC，D1G∥EB，
所以A1G∥EC，所以FP∥EC，
所以E，C，P，F四点共面，故C正确；
由选项C可得E，C，P，F四点共面，平面CEF即为平面CEFP，
作EH∥CP，交AA1于H ，如图所示，
所以E，H，P，C在同一平面内，即H点在平面ECP内，
所以E，C，P，F，H在同一平面内，
所以平面CEF截该长方体所得的截面为五边形，故D正确．
13．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.在矩形BCC1B1内有一点P，使D1P与平面BCC1B1所成的角的正切值为eq \f(\r(6),2)，则点P的轨迹长度为________．
答案 eq \f(\r(2)π,2)
解析 如图，取B1C1的中点E，BB1的中点F，CC1的中点G，连接D1E，D1B1，D1F，D1G，EF，EG，EP.
因为∠BAD＝60°，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，
所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E＝eq \r(3)，D1E⊥B1C1，
又四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥D1E，
因为BB1∩B1C1＝B1，
所以D1E⊥侧面B1C1CB，
又EP⊂侧面B1C1CB，
所以D1E⊥EP，
所以∠D1PE为D1P与平面BCC1B1所成的角，tan∠D1PE＝eq \f(D1E,EP)＝eq \f(\r(3),EP)＝eq \f(\r(6),2)，解得EP＝eq \r(2)，
故点P的轨迹为扇形FEG的eq \x\t(FG)，易知∠B1EF＝∠C1EG＝eq \f(π,4)，所以∠FEG＝eq \f(π,2)，
所以＝eq \f(π,2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(2)π,2).
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
答案 无数
解析 在EF上任意取一点M，如图，
直线A1D1与M确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N，
当M取不同的位置就确定不同的平面，
从而与CD有不同的交点N，
而直线MN与这3条异面直线都有交点．
故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条．