第8讲 基本不等式-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
展开第8讲 基本不等式
- 基本不等式：对于任意的正实数，（当且仅当时，等号成立）
叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
- 使用原则：
一正：一般要求同为正；
二定：或为定值；
三相等：当且仅当时，不等式取得等号.
例1.
(1) 已知矩形周长为8，则其面积最大值为多少？
(2) 已知某矩形的面积为6，则其周长最小值为多少？
例2.
(1) 已知，求的最小值；
(2) 若，有最大值还是有最小值？
例3.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
例4.
(1) 已知，则的最大值为 ；
(2) 已知，则的最大值为 .
例5.某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处.
例6.设，则的最小值为 .
例7.
(1) 已知，，则的最小值为 ；
(2) 已知，，则的最小值为 ；
(3) 已知，，则的最小值为 .
例8.
(1) 设，若，则的最小值为 ；
(2) 已知，，则的最小值为 .
例9.
(1) 已知，若，则的最大值为 ；
(2) 已知，若，则的最小值为 .
例10.
(1) 已知，，则的最小值为 ；
(2) 已知，，则的最小值为 .
例11.
(1) 若，则的最小值为 ；
(2) 已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
例12. 证明下列不等式：
(1) ；
(2) 已知为正数且，求证：.
跟踪训练
- 已知，且，在下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
- 已知，则的最小值为 .
- 已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为 .
- 已知，当且仅当时，取得最小值，则实数 .
- 已知，且，则的最小值为 .
- 若实数满足，则的最小值为 .
- 已知，，则的最小值为 .
- 已知，且，则的最小值为 .
- 已知正数满足，那么的最小值为 .
- 已知，则的最大值为 .
- 当时，不等式的最小值为 .
- 已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.5
- 已知，则的最小值为 .
- 某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（空白部分）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中.
（1）试用表示；
（2）若要使最大，则的值分别为多少？
