第13讲 幂函数-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
展开第13讲 幂函数图像及其性质
1.幂函数的定义： 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
2.幂函数的图象
3.幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
其中当时，幂函数在递增的趋势越来越快，图像下凹；当时，幂函数在递增的趋势越来越慢，图像上凸.
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．
基础强化
- 下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
- 函数在区间上的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
- 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
- 函数的图象是（ ）
A B C D
【答案】A
- 下列命题中正确的是（ ）
A．当时函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过和点
C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】A错误:当时函数的图象是一条直线除去点；B错误：幂函数的图象都经过点，当指数大于0时，都经过点；C错误：若幂函数是奇函数且，则是定义域上的减函数，例如；D正确：幂函数的图象一定经过第一象限，不可能出现在第四象限.
- 函数和图象满足（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称
【答案】D
- 函数，满足（ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
【答案】C
【解析】，作出图像如下图，由图可知是奇函数又是增函数，故选C.
- 函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由可知其定义域为.
- 函数是偶函数，且在是减函数，则整数的取值集合是 .
【答案】
【解析】由在是减函数得，解得，
整数，，
又是偶函数，，
则的取值集合是.
- 函数的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】函数中有，解得，
在上递减，的单调递减区间是.
- 比较下列各组中两个值大小
（1）和； （2）和
【答案】（1）；（2）
- 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
（A） （B） （C） （D） （E） （F）
【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B
【解析】（1），定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；
（2），定义域为，奇函数，在单调递增；
（3），定义域为，偶函数，在单调递增；
（4），定义域为，偶函数，在单调递减；
（5），定义域为，奇函数，在单调递减；
（6），定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.
对比分析可知对应关系为（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B.
跟踪训练
- 下列函数中，值域是的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A中值域为；B中值域为；C中值域为；D中值域为，故选C.
- 函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称
【答案】C
【解析】是奇函数，图象关于原点对称，故选C.
- 幂函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
- 已知幂函数的图象经过点，则的值为( )
A．16 B. C. D．2
【答案】C
【解析】依题意设，则，，，
，选C.
- 下列结论中，正确的是( )
①幂函数的图象不可能在第四象限
②时，幂函数的图象过点和
③幂函数，当时是增函数
④幂函数，当时，在第一象限内，随的增大而减小
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】①正确：当时，恒成立，故幂函数的图象不可能出现在第四象限；
②错误：时，无意义，故幂函数的图象不过；③错误：时，不具备单调性；④正确：当时，幂函数在上为减函数，故选D
- 在函数中，幂函数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．所以只有是幂函数，个数为2，故选B.
- 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由偶函数在上单调递减且可得，即
，选B.
- 已知幂函数的图象经过 ，则 .
【答案】3
【解析】依题意设，则，，.
- 已知函数，为何值时，是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数； (3)二次函数；(4)幂函数．
【答案】（1）1；（2）；（3）或；（4）或.
【解析】（1）若是正比例函数，
则，解得；
（2）若是反比例函数，
则，解得；
（3）若是反比例函数，
则，解得或；
（4）若是幂函数，
则，解得或.
- 函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值．
【答案】3
【解析】是幂函数，则，解得或3，
当时，在是减函数，不符合题意；
当时，在是增函数，符合题意，
综上可知.
