12 奇偶性（解析版）苏教版（2019）高中数学初升高练习
展开第十二讲 奇偶性
【学习目标】
l.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生的观察能力、抽象思维能力，以及从特殊到一般的归纳能力
2.掌握判断函数的奇偶性的方法
3..理解并能运用函数奇偶性的简单性质
【知识要点】
l.函数奇偶性的定义：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数（odd function）.
2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象.
3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再比较与的关系；
4.函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（3）若奇函数在原点有意义，则；
（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；
（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；
（6）函数与函数有相同的奇偶性.
5.奇偶性与单调性：
（1）奇函数在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；
（2）偶函数在两个关于原点对称的区间上有相反的单调性.
【精讲精练】
一．奇偶性的概念
例1 考察函数与
思考1：这两个函数的图象分别是什么？两者有何共同特征？
思考2：对于上述两个函数，与,与,与有什么关系
思考3：一般地，若函数的图象关于轴对称，则与有什么关系？反之成立吗
思考4：我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？
例2 考察函数与
思考1：这两个函数的图象分别是什么？两者有何共同特征？
思考2：对于上述两个函数，与,与,与有什么关系
思考3：一般地，若函数的图象关于原点对称，则与有什么关系？反之成立吗
思考4：我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？[来源:Zxxk.Com]
二．函数奇偶性的判断
例3 判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）
【答案】：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）偶函数
【解析】：（1）定义域为全体实数
∴为偶函数
（2）定义域为全体实数
∴为奇函数
（3）定义域为
∴为奇函数
（4）定义域为
∴为偶函数
例4（1）判断函数与的奇偶性
（2）从中你发现了什么？
【答案】：（1）非奇非偶函数；（2）判断函数奇偶性步骤
【解析】：（1）与无关
定义域不关于原点对称
（2）判断函数奇偶性步骤：①定义域关于原点对称；②运用奇偶性定义
变式 判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
【答案】：（1）非奇非偶函数；（2）即奇又偶函数
【解析】：（1）定义域，解得
∴为非奇非偶函数函数
（2）定义域，解得定义域：
此时
∴为即奇又偶函数
例5 已知，都为R上的奇函数，，判断并证明与的奇偶性。[来源:学科网ZXXK]
【答案】：为奇函数；为偶函数
【解析】：，∴为奇函数
∴为偶函数
[来源:学|科|网]
变式 已知，分别为R上的奇函数和偶函数，判断并证明的奇偶性
【答案】：奇函数
【解析】：，∴为奇函数
例6 已知
（1）为偶函数的条件是什么？
（2）为奇函数的条件是什么？
【答案】：（1）；（2）
【解析】：为奇函数（为奇数）；为偶函数（为偶数）
变式 已知函数为偶函数，其定义域为，则 ，
【答案】：
【解析】：定义域关于原点对称，
为奇函数（为奇数）；为偶函数（为偶数）
三．奇偶函数解析式
例7 已知是R上的奇函数，且当时，，
（1）求证：
（2）求的表达式。
【答案】：
【解析】：（1）由奇函数定义：
令，得
（2）当时，
，∴
∴
变式 已知是R上的偶函数，且当时，，求的表达式。
【答案】：
【解析】：当时，
∴
【课外作业】
1．对于定义域是R的任意奇函数都有（ ）
A. B. C. D.
【答案】：
【解析】：由奇函数定义，[来源:Zxxk.Com]
2．设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
【答案】：
【解析】：
3.已知函数是奇函数，当时，；当时，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】：
【解析】：当时，
，∴
4．若函数，有则 。
【答案】：[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【解析】：
5．设与的定义域是，是偶函数，是奇函数，且，求与的解析式
【答案】：，
【解析】：令
，即
