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    (通用版)中考数学总复习专题5《圆的综合》精练卷(2份,教师版+原卷版)

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    (1)求证:AD=CE;
    (2)如果点G在线段DC上(不与点D重合),且AG=AD,求证:四边形AGCE是平行四边形.
    证明:(1)在⊙O中,∵eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(AC,\s\up8(︵)),
    ∴AB=AC,∴∠B=∠ACB.
    ∵AE∥BC,
    ∴∠EAC=∠ACB,
    ∴∠B=∠EAC.在△ABD和△CAE中,
    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB=CA,∠B=∠EAC,BD=AE,)),
    ∴△ABD≌△CAE(),
    ∴AD=CE;
    (2)连结AO并延长,交边BC于点H.
    ∵eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(AC,\s\up8(︵)),OA为半径,
    ∴AH⊥BC,∴BH=CH.
    ∵AD=AG,∴DH=HG,
    ∴BH-DH=CH-GH,即BD=CG.
    ∵BD=AE,∴CG=AE.
    ∵CG∥AE.
    ∴四边形AGCE是平行四边形.
    2.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=4eq \r(3),以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E是BC的中点,连结OD,OB,DE相交于点F.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)求EF∶FD的值.
    解:(1)连结CD.
    ∵∠ACB=90°,AC=4,BC=4eq \r(3),
    ∴AB= eq \r(AC2+BC2)=eq \r(42+(4\r(3))2)=8,
    ∴∠ABC=30°,∠BAC=60°,
    ∴∠ODA=60°.
    又∵AC为直径,
    ∴∠CDA=90°,即△CDB为直角三角形,
    而E点为斜边BC的中点,
    ∴DE=BE=EC,
    ∴∠BDE=∠DBE=30°,
    ∴∠ODE=180°-∠BDE-∠ADO=90°,
    ∴DE是O的切线;
    (2)连结OE.
    ∵△OAD为等边三角形,
    ∴AD=OA=2,
    ∴BD=AB-AD=8-2=6.
    在Rt△OEC中,OE=eq \r(EC2+OC2)=4,
    又∵OE为△CBA的中位线,
    ∴OE∥AB,
    ∴EF∶FD=OE∶BD=4∶6=2∶3.
    3.如图,AB是⊙O的直径,BP是⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F,交BP于点G,E在DC的延长线上,EP=EG.
    (1)求证:直线EP为⊙O的切线;
    (2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BF·BO,试证明:BG=PG;
    (3)在满足(2)的条件下,已知⊙O的半径为3,sinB=eq \f(\r(3),3),求弦CD的长.
    解:(1)连结OP.∵EP=EG,
    ∴∠EPG=∠EGP.
    又∵∠EGP=∠BGF,
    ∴∠EPG=∠BGF.∵OP=OB,
    ∴∠OPB=∠OBP.∵CD⊥AB,
    ∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°,
    ∴∠EPG+∠OPB=90°,即OP⊥EP,
    ∴直线EP为⊙O的切线;
    (2) 连结OG.∵BG2=BF·BO,
    ∴eq \f(BG,BO)=eq \f(BF,BG),∴△BFG∽△BGO,
    ∴∠BGO=∠BFG=90°,∴BG=PG;
    (3) 连结AC,BC.
    ∵sin∠GBO=eq \f(\r(3),3),∴eq \f(OG,OB)=eq \f(\r(3),3).
    ∵OB=r=3,
    ∴OG=eq \r(3),由(2)得∠GBO+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°,
    ∴∠GBO=∠OGF,
    ∴sin∠OGF=eq \f(\r(3),3)=eq \f(OF,OG),
    ∴OF=1,
    ∴BF=BO-OF=3-1=2,
    FA=OF+OA=1+3=4.
    ∵AB为⊙O的直径,
    ∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=90°.
    ∵∠ACF+∠A=90°,
    ∴∠BCF=∠A,
    ∴△BCF∽△CAF,
    ∴eq \f(CF,AF)=eq \f(BF,CF),
    ∴CF2=BF·FA,
    ∴CF=eq \r(BF·FA)=eq \r(2×4)=2eq \r(2),
    ∴CD=2CF=4eq \r(2).
    4.如图,AB为半圆的直径,O为圆心,AB=6,延长BA到F,使FA=AB.若P为线段AF上一个动点(P点与A点不重合),过P点作半圆的切线,切点为C,作CD⊥AB,垂足为D.过B点作BE⊥PC,交PC的延长线于点E,连结AC,DE.
    (1)判断线段AC,DE所在直线是否平行,并证明你的结论;
    (2)设AC为x,AC+BE为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
    解:(1)线段AC,DE所在的直线平行.
    证明:∵CD⊥AB,BE⊥PE,∠CPD=∠BPE,
    ∴Rt△PCD∽Rt△PBE,
    ∴eq \f(PC,PB)=eq \f(PD,PE).
    ∵PC与⊙O相切于C点,PAB为⊙O的割线,
    ∴PC2=PA×PB,∴eq \f(PC,PB)=eq \f(PA,PC),
    ∴eq \f(PA,PC)=eq \f(PD,PE).∵∠CPA=∠EPD,
    ∴△CPA∽△EPD,∴∠PCA=∠PED,
    ∴AC∥DE;
    (2)连结BC.∵AB是半圆的直径,
    ∴∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2.
    ∵AC=x,AB=6,
    ∴BC2=62-x2=36-x2.
    ∵PC与半圆相切于点C,∴∠BAC=∠BCE.
    ∵∠ACB=∠BEC=90°,
    ∴Rt△ABC∽Rt△CBE,
    ∴eq \f(AB,BC)=eq \f(CB,BE),
    ∴BE=eq \f(BC2,AB)=eq \f(36-x2,6).
    ∵y=AC+BE,∴y=x+eq \f(36-x2,6),
    y=-eq \f(1,6)x2+x+6.
    ∵P点与A点不重合,∴AC>0.
    当点P与点F重合时,AC的值最大,此时PC=eq \r(PA·PB)=6eq \r(2).
    又∵∠P=∠P,
    ∠PBC=∠PCA,
    ∴△PCA∽△PBC,
    ∴eq \f(AC,CB)=eq \f(PC,PB),∴BC=eq \f(AC·PB,PC)=eq \r(2)AC.
    又∵AC2+BC2=AB2,
    ∴AC2+(eq \r(2)AC)2=36,
    ∴AC=2eq \r(3),
    ∴y=-eq \f(1,6)x2+x+6(0<x≤2eq \r(3)).
    5.如图,在△AOB中,∠AOB为直角,OA=6,OB=8, 半径为2的动圆圆心Q从点O出发,沿着OA方向以1个单位/s的速度匀速运动,同时动点P从点A出发,沿着AB方向也以1个单位/s的速度匀速运动,设运动时间为t s(0<t≤5),以P为圆心、PA长为半径的⊙P与AB,OA的另一个交点分别为C,D,连结CD,QC.
    (1)当t为何值时,点Q与点D重合?
    (2)当⊙Q经过点A时,求⊙P被OB截得的弦长;
    (3)若⊙P与线段QC只有一个公共点,求t的取值范围.
    解:(1)∵OA=6,OB=8,
    ∴由勾股定理得AB=10.
    由题意知OQ=AP=t,
    ∴AC=2t.∵AC是⊙P的直径,
    ∴∠CDA=90°,∴CD∥OB,
    ∴△ACD∽△ABO,∴eq \f(AC,AB)=eq \f(AD,OA),
    ∴AD=1.2t.
    当Q与D重合时,AD+OQ=OA,
    ∴1.2 t+t=6,解得t=eq \f(30,11).
    图①
    ∴t为eq \f(30,11) s时,点Q与点D重合;
    (2)当⊙Q经过A点时,如图①,
    OQ=OA-QA=4,
    ∴t=eq \f(4,1)=4 s,
    ∴PA=4,∴BP=AB-PA=6.
    过点P作PE⊥OB于点E,⊙P与OB相交于点F,G,连结PF,
    ∴PE∥OA,∴△PEB∽△AOB,
    ∴eq \f(PE,OA)=eq \f(BP,AB),∴PE=3.6,
    ∴由勾股定理得EF=eq \f(2\r(19),5),
    由垂径定理知FG=2EF=eq \f(4\r(19),5);
    图②
    (3)当QC与⊙P相切时,如图②,
    此时∠QCA=90°.
    ∵OQ=AP=t,
    ∴AQ=6-t,AC=2t.
    ∵∠A=∠A, ∠QCA=∠ABO,
    ∴△AQC∽△ABO,∴eq \f(AQ,AB)=eq \f(AC,OA),
    ∴eq \f(6-t,10)=eq \f(2t,6),∴t=eq \f(18,13),
    ∴当0<t≤eq \f(18,13)时,⊙P与QC只有一个交点,当QC⊥OA时, 此时Q与D重合, 由(1)可知t=eq \f(30,11),
    ∴当eq \f(30,11)<t≤5时,⊙P与QC只有一个交点.
    综上所述,当⊙P与线段QC只有一个公共点,t的取值范围为:0<t≤eq \f(18,11)或eq \f(30,11)<t≤5.
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