高中数学人教版新课标B选修2-21.3.2利用导数研究函数的极值教学设计及反思

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-21.3.2利用导数研究函数的极值教学设计及反思，共11页。教案主要包含了温故知新，新知探究，复习总结和作业布置等内容，欢迎下载使用。

1. 教学目标
1、理解函数极值的概念；
2、会用导数求函数的极大值与极小值；
3、掌握求可导函数的极值的步骤。
2. 教学重点/难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤
3. 教学用具
多媒体、板书
4. 标签
教学过程
一、温故知新、引入课题
【师】1.判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法
【生】思考交流。
【板演/PPT】
【师】2.函数的单调性与导函数的符号之间的关系
【生】思考交流。
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
【板演/PPT】
【师】3.用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
【生】思考交流。
【板演/PPT】
（1）求函数的定义域
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
【注意】单调区间不以“并集”出现。
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
1、函数的极值
【合作探究】
探究 函数的极值
【师】1.请问同学们还记得高台跳水的例子吗？
【板演/PPT】
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
2.跳水运动员在最高处附近的情况：
（1）当t=a时运动员距水面高度最大，
h(t)在此点的导数是多少呢？
（2）当t（3）当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢？
（4）导数的符号有什么变化规律？
在t=a附近，f(x)先增后减，h ′(x)先正后负，
h ′(x)连续变化，于是有h ′(a)=0．f(a)最大。
那么下面图象的最高点f（a）代表什么意义呢？
这就是本节课研究的重点---函数的极值
【思考】对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？
想一想】如图，函数y=f(x)在啊a，b处的函数值与这两个点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这两个点处的导数值是多少？在这两个点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？
【提示】由函数图象可知，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点x=a的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近左侧，f('x)＜0，在点x=a附近右侧，侧，f('x)＞0.
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f('b)=0；而且在点x=b附近左侧，f('x)＞0，在点x=b附近右侧，f('x)＜0.

如果对附近的所有的点，都有，则称是函数的一个极小值，
记作
极大值与极小值统称为极值（extreme value）．
【想一想】如图为y=f(x)函数的图象，是否为函数的极值点？如果是，请分析原因，如果不是，是说明理由.
【注意】
函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
2、例题讲解
例1．
解析：首先求f'(x)，再求方程f'(x)=0的根，然后检验\在根两边的符号.
因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为；
当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为。
函数的图像如图所示。
3、求极值的方法
探究2 求可导函数f(x)极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x) =0的根；
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f′(x)在方程根左右的符号——
如果左正右负（+ ～ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（- ～ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
【总结提升】
求可导函数f(x)的极值的步骤:
1确定函数的定义区间，求导数f'(x)；
2求方程f'(x)=0的根；
3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点。
三、复习总结和作业布置
1、
y=1 +3x－x3有( )
(A)极小值－1，极大值1
(B)极小值－2，极大值3
(C)极小值－2，极大值2
(D)极小值－1，极大值3
2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( )
(A)极大值点x=－1
(B)极大值点x=0
(C)极小值点x=0
(D)极小值点x=1
3．函数f(x)=x＋ 的极值情况是( )
(A)当x=1时取极小值2，但无极大值
(B)当x=－1时取极大值－2，但无极小值
(C)当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2
(D)当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值2
4．函数y=___________，当x=___________ 时取得极大值为___________；当x=___________ 时取得极小值为___________ .
5．已知函数f(x)＝x3+ax2+bx＋a2在x＝1处有极值为10，求a，b的值．
课堂练习【参考答案】
1.D
2.C
3.D
4.答案0 ；0; 2; 4
5.答案 a=4，b=－11
课堂小结
一、极值的概念
1.可导函数y=f(x)在极值点处的f′(x)=0.
2.极值点左右两边的导数必须异号.
二、求极值的步骤
1.确定定义域
3.求f′(x)=0的根
4.并列成表格
用方程f′(x)=0的根，顺次将函数的定义域
分成若干个开区间，并列成表格由f′(x)在方程
f′(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
课后习题
课堂练习【参考答案】
1.D
2.C
3.D
4.答案0 ；0; 2; 4
5.答案 a=4，b=－11