数学1.2.1常数函数与幂函数的导数教案设计

1.2.1几个常用函数的导数

课型：新授课

教学目标：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；

2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用

教学难点： 四种常见函数、、、的导数公式

教学过程：

一．创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数的导数

 根据导数定义，因为

所以

表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数的导数

因为

所以

表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数的导数

因为

所以

表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．

4．函数的导数

因为

所以

（2）推广：若，则

三．课堂练习

1．课本P13探究1

2．课本P13探究2

3．求函数的导数

4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有______条．

5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.

6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．

7．求下列函数的导数：

(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝；

(4)y＝log2x2－log2x；

(5)y＝－2sin .

答案提示：

4．2   5．10ln 10   6．－

7．解　(1)y′＝(x)′＝′＝x－1＝.

(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.

(3)y′＝()′＝′＝x－1＝x－＝.

(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝.

(5)∵y＝－2sin＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.

四．回顾总结

五．布置作业

1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为________．

2．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.

3．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．

4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．

5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 015(x)．