2020-2021学年湖北省恩施市利川市某校初三（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省恩施市利川市某校初三（下）4月月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. −2的绝对值是( )
A.2B.−2C.12D.−12

2. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )
×10−5×10−6C.2.5×10−5D.2.5×10−6

3. 如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76∘，则∠BOM等于( )

A.38∘B.104∘C.142∘D.144∘

4. 分解因式a3−a的结果为( )
A.a(a2−1)B.a(a−1)2C.a(a+1)(a−1)D.(a2+a)(a−1)

5. 下列运算正确的是（ ）
A.x2+x3=x5B.(x−2)2=x2−4
C.2x2⋅x3=2x5D.(x3)4=x7

6. 已知圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积是43π cm2，则扇形的弧长和圆心角的度数分别为( )
A.43πcm,120∘B.23πcm,120∘C.43πcm,60∘D.23πcm,60∘

7. 不等式组2−x≥1,2x−1>−7的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

8. 有三张正面分别写有数字−1，1，2的卡片，它们的背面完全相同，现将这三张卡片的背面向上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机所取一张，以其正面的数字作为b，则点(a, b)在第二象限的概率是( )
A.16B.13C.12D.23

9. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,0，B−2,3，C−3,1．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90∘，得到△AB′C′，则点B′的坐标为( )
A.2,1B.2,3C.4,1D.0,2

10. 如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0, 1)，过点P(0, −7)的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

11. 如图，矩形ABCD的面积为20，对角线交于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；⋯；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为( )

A.54B.58C.516D.532

12. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc>0；②2a−b<0；③4a−2b+c<0；④(a+c)2
A.1B.2C.3D.4
二、填空题

81的平方根是________．

代数式2x−13−x有意义的x的取值范围是________．

如图所示，直线l1与l2相交于点A，若两个函数的函数值都大于0，则x的取值范围是________.


有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请你观察它们的结构规律，用你发现的规律写出第10个等式为________.
三、解答题

先化简，再求值： x2+2x+1x+2÷x2−1x−1−xx+2，其中x=3−2.

在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，且AE=AF．求证：

(1)△ABE≅△ADF；

(2)平行四边形ABCD是菱形．

我市公安部门加大对“酒后驾车”的处罚力度后，某记者在某区随机选取了几个停车场对开车的司机进行了相关的调查，本次调查结果有四种情况：A、醉酒后开车；B、喝酒后不开车或请专业司机代驾；C、少量饮酒，但体内酒精含量未达到酒驾标准；D、从不喝酒．将这次调查情况整理并绘制了如下尚不完整的统计图1和图2，请根据相关信息，解决下列问题．

1该记者本次一共调查了________名司机；

2图1中情况D所在扇形的圆心角为________；

3补全图2；

4若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为________人．

如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=ax(a≠0，x>0)分别交于D(1, 4)，C(4, 1).

(1)分别求直线l和双曲线的解析式；

(2)若将直线l向下平移m(m>0)个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？

如图，小明在大楼30米高（即PH=30米，且PH⊥HC）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15∘，山脚B处得俯角为60∘，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3．（点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上）

(1)求山坡坡角（即∠ABC）的度数；

(2)求A，B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据： 2≈1.414，3≈1.732) ．

利川某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；

(2)已知A商品的进价是每件500元，B商品的进价是每件300元．商场决定一次购进A，B两种商品共34件，且B商品的数量不得高于A商品数量的5倍，同时两种商品的进货总额不得高于11800元，请问商场应怎样进货获得的利润最大，最大利润是多少？

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E，F是⊙O上两点，连接AE，CF，DF，满足EA=CA．

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，tan∠CFD=43，求AD的长．

如图，已知抛物线y=x2−1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

(1)求A，B，C三点的坐标；

(2)过点A作AP // CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省恩施市利川市某校初三（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
绝对值
【解析】
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】
解：−2的绝对值是2，
即|−2|=2．
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
科学记数法--表示较小的数
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.0000025=2.5×10−6.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
对顶角
角平分线的定义
【解析】
根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180∘列式计算即可得解．
【解答】
解：∵ ∠BOD=76∘，
∴ ∠AOC=∠BOD=76∘，
∵ 射线OM平分∠AOC，
∴ ∠AOM=12∠AOC=12×76∘=38∘，
∴ ∠BOM=180∘−∠AOM=180∘−38∘=142∘．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】
解：a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1).
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
完全平方公式
合并同类项
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
【解析】
根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，幂的乘方等知识，一一判断.
【解答】
解：A、本选项不是同类项，不能合并，本选项错误；
B、x−22=x2−4x+4，本选项错误；
C、2x2⋅x3=2x5，本选项正确；
D、x34=x12，本选项错误．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
圆锥的展开图及侧面积
弧长的计算
扇形面积的计算
【解析】
根据圆锥的侧面积公式S＝πrl得出圆锥的底面半径，根据圆的周长公式求出扇形的弧长，再结合扇形的面积公式：S=nπR2360即可求出圆心角的度数，从而求得．
【解答】
解：∵ 圆锥侧面展开图的扇形半径为2cm，面积为43π cm2，
∴ 圆锥的底面半径为：43π÷π÷2 = 23cm，
扇形的弧长为：2π × 23 = 43πcm，
侧面展开图的圆心角是：43π×360÷(π×22)=120∘.
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
解一元一次不等式组
在数轴上表示不等式的解集
【解析】
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可.
【解答】
解：不等式组2−x≥1,①2x−1>−7,②
由①可得：x≤1；
由②可得：x>−3，
∴ 不等式组的解集为−3不等式组的解集在数轴上表示为：
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
列表法与树状图法
点的坐标
【解析】
画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】
解：根据题意画出树状图，如图所示，
一共有6种情况，在第二象限的点有(−1, 1)，(−1, 2)共2个，
所以P=26=13.
故选B.
9.
【答案】
A
【考点】
坐标与图形变化-旋转
【解析】
根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B′，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．
【解答】
解：如图所示：
结合图形可得点B′的坐标为2,1．
故选A．
10.
【答案】
C
【考点】
垂径定理
坐标与图形性质
勾股定理
【解析】
求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数值．
【解答】
解：∵ 点A的坐标为(0, 1)，圆的半径为5，
∴ 点B的坐标为(0, −4).
又∵ 点P的坐标为(0, −7)，
∴ BP=3.
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，连接BC，如图，
在Rt△BCP中，CP=BC2−BP2=4，
故CD=2CP=8.
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10，
所以，8≤CD≤10.
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的性质
规律型：图形的变化类
【解析】
根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的14，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【解答】
解：矩形ABCD的面积为S=20，
∵ O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴ 平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的12，
∴ 平行四边形AOC1B的面积=12S，
∵ 平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴ 平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的12，
∴ 平行四边形AO1C2B的面积=12×12S=S22，
…
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积=S25=2025=58．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据函数的图象，可以得到a<0 b<0,c>0，对称轴在x=−1右边，x=−2时和x=−1时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形得到题目中各结论所求的式子的结果，然后对照判断各个选项即可解答本题．
【解答】
解：∵ 抛物线开口向下，
∴a<0.
∵ 抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x=−b2a<0，∴b<0.
∵ 抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴ c>0，
∴abc>0，故①正确；
∵ −1<−b2a<0，
∴ 2a−b<0，故②正确；
当x=−2时，y<0，
∴4a−2b+c<0，故③正确；
当x=−1时，y>0，∴ a−b+c>0，
当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，
∴ a−b+ca+b+c<0，即a+c−ba+c+b<0，
∴ a+c2−b2<0，故④正确．
综上所述，正确的个数有4个．
故选D．
二、填空题
【答案】
±9
【考点】
平方根
【解析】
利用平方根、立方根定义计算即可得到结果．
【解答】
解：81的平方根是±9.
故答案为：±9.
【答案】
x≥12且x≠3
【考点】
二次根式有意义的条件
分式有意义、无意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，2x−1≥0，3−x≠0，
解得x≥12，x≠3.
故答案为：x≥12且x≠3.
【答案】
x>45
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
一次函数与一元一次不等式
【解析】
求出直线l2的解析式为y=52x−2，再解不等式即可.
【解答】
解：由图可知，直线l1对应的函数值大于0，可得x>−1；
设直线l2的解析式为y=kx+b，
由图象可知，该直线经过(0,−2)，(2,3)，
故b=−2，2k+b=3，
∴ k=52，
∴ 直线l2的解析式为y=52x−2，
令y=52x−2>0，
可得x>45，
∴ 若两个函数的函数值都大于0，则x的取值范围是x>45.
故答案为：x>45.
【答案】
102+112+1102=1112
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
由等式12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…得出两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可．
【解答】
解：∵ 12+22+22=32，
22+32+62=72，
32+42+122=132，
42+52+202=212，
⋯，
∴ 第10个等式为：102+112+(10×11)2=(10×11+1)2，
即102+112+1102=1112.
故答案为：102+112+1102=1112.
三、解答题
【答案】
解：原式=x+12x+2×x−1x+1x−1−xx+2
=x+1x+2−xx+2
=1x+2，
当x=3−2时，原式=13−2+2=13=33.
【考点】
分式的化简求值
【解析】
先分解因式，再根据分式混合运算的法则运算，化为最简后再把x的值代入.
【解答】
解：原式=x+12x+2×x−1x+1x−1−xx+2
=x+1x+2−xx+2
=1x+2，
当x=3−2时，原式=13−2+2=13=33.
【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B=∠D.
∵ AE⊥BC，AF⊥DC，
∴ ∠AEB=∠AFD=90∘.
在△ABE和△ADF中，
∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AE=AF,
∴ △ABE≅△ADF(AAS).
(2)由(1)可知：△ABE≅△ADF，
∴AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
【考点】
平行四边形的性质
全等三角形的判定
菱形的判定
全等三角形的性质
【解析】
（1）由平行四边形的性质和全等三角形的判定方法即可证明△ABE≅△ADF；
（2）由（1）可知：△ABE≅△ADF，所以AB=AD，进而证明平行四边形ABCD是菱形．
【解答】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B=∠D.
∵ AE⊥BC，AF⊥DC，
∴ ∠AEB=∠AFD=90∘.
在△ABE和△ADF中，
∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AE=AF,
∴ △ABE≅△ADF(AAS).
(2)由(1)可知：△ABE≅△ADF，
∴AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
【答案】
200
162
(3)如图即为所求：
29700
【考点】
条形统计图
扇形统计图
【解析】
(1)从扇形图可看出A种情况占1%，从条形图知道有2人，可求出总人数；
(2)求出D所占的百分比然后乘以360∘就可得到圆心角度数；
(3)分别求出情况B、C的人数即可补全图二；
(4)3万人数乘以不违反“酒驾”禁令的人数所占的百分比即可求出答案．
【解答】
解：(1)该记者本次一共调查的司机数是：2÷1%=200（名）.
故答案为：200．
(2)图一中情况D所在扇形的圆心角为360∘×90200=162∘.
故答案为：162．
(3)如图即为所求：
(4)若该区有3万名司机，则其中不违反“酒驾”禁令的人数约为：30000×(1−2200)=29700人．
故答案为：29700．
【答案】
解：(1)设直线l的解析式是y=kx+b，
∵ 直线l和反比例函数y=ax交于D(1, 4)，C(4, 1)，
∴ a=4，4k+b=1，k+b=4，
解得：k=−1，b=5，
∴ 直线l的解析式为y=−x+5，双曲线的解析式是y=4x.
(2)设直线l平移后的解析式为y=−x+5−m，
则y=−x+5−m，y=4x，
整理得：−x2+(5−m)x−4=0.
∵ 直线与双曲线有且只有一个交点，
∴ Δ=(5−m)2−4×(−1)×(−4)=0，
解得m=1或9.
∵ x>0，
∴ m=1，
即当m=1时，直线与双曲线有且只有一个交点.
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
待定系数法求一次函数解析式
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
(1)设直线l的解析式是y=kx+b，把C(4, 1)，D(1, 4)两点的坐标代入函数的解析式，即可求出答案；
(2)设直线l平移后的解析式为y=−x+5−m，组成方程组y=−x+5−m，y=4x，整理得出方程−x2+(5−m)x−4=0，得出Δ=(5−m)2−4×(−1)×(−4)=0，求出即可．
【解答】
解：(1)设直线l的解析式是y=kx+b，
∵ 直线l和反比例函数y=ax交于D(1, 4)，C(4, 1)，
∴ a=4，4k+b=1，k+b=4，
解得：k=−1，b=5，
∴ 直线l的解析式为y=−x+5，双曲线的解析式是y=4x.
(2)设直线l平移后的解析式为y=−x+5−m，
则y=−x+5−m，y=4x，
整理得：−x2+(5−m)x−4=0.
∵ 直线与双曲线有且只有一个交点，
∴ Δ=(5−m)2−4×(−1)×(−4)=0，
解得m=1或9.
∵ x>0，
∴ m=1，
即当m=1时，直线与双曲线有且只有一个交点.
【答案】
解：(1)∵ tan∠ABC=13=33，
∴ ∠ABC=30∘，
∴ 山坡坡角为30∘ .
(2)如图：
∵ ∠APD是俯角，CH是水平地面，
∴ PD//CH，
∴ ∠BPD=∠1=60∘，
∵ PH⊥CH，
∴ ∠2=90∘，
∵ PH=30，∠BPH=180∘−90∘−60∘=30∘，
∴ BH=103m，BP=203m，
∵ ∠1=60∘，∠ABC=30∘，
∴ ∠3=180∘−60∘−30∘=90∘，
∵ ∠BPA=60∘−15∘=45∘，
∴ △ABP是等腰直角三角形，
∴ BP=AB=203m，
∵ 3≈1.732，
∴ AB≈20×1.732=34.64≈34.6m，
∴ AB两点间的距离为34.6m .
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】


【解答】
解：(1)∵ tan∠ABC=13=33，
∴ ∠ABC=30∘，
∴ 山坡坡角为30∘ .
(2)如图：
∵ ∠APD是俯角，CH是水平地面，
∴ PD//CH，
∴ ∠BPD=∠1=60∘，
∵ PH⊥CH，
∴ ∠2=90∘，
∵ PH=30，∠BPH=180∘−90∘−60∘=30∘，
∴ BH=103m，BP=203m，
∵ ∠1=60∘，∠ABC=30∘，
∴ ∠3=180∘−60∘−30∘=90∘，
∵ ∠BPA=60∘−15∘=45∘，
∴ △ABP是等腰直角三角形，
∴ BP=AB=203m，
∵ 3≈1.732，
∴ AB≈20×1.732=34.64≈34.6m，
∴ AB两点间的距离为34.6m .
【答案】
解：(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元.
根据题意，得
x+4y=600,3x+5y=1100,
解方程组，得
x=200,y=100.
答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元.
(2)设A种商品进m件，则B种商品进34−m件.
根据题意，得
500m+30034−m≤11800,34−m≤5m，
解得173≤m≤8.
∵ m是整数，
∴ m的值是6，7，8.
设W为总利润，则
W=200m+100×34−m=100m+3400.
∵ k=100>0，
∴ 当m=8时，W有最大值，最大值为100×8+3400=4200.
答：当商场进A种商品8件，B种商品26时，获利最大，最大利润为4200元.
【考点】
二元一次方程组的应用——销售问题
一元一次不等式组的应用
一次函数的应用
【解析】
(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元,，然后列方程组解答即可.
(2)设A种商品进m件，首先列不等式组求出m的可能取值，然后表示出利润，最后根据一次函数的性质即可取出最大利润.
【解答】
解：(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元.
根据题意，得
x+4y=600,3x+5y=1100,
解方程组，得
x=200,y=100.
答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元.
(2)设A种商品进m件，则B种商品进34−m件.
根据题意，得
500m+30034−m≤11800,34−m≤5m，
解得173≤m≤8.
∵ m是整数，
∴ m的值是6，7，8.
设W为总利润，则
W=200m+100×34−m=100m+3400.
∵ k=100>0，
∴ 当m=8时，W有最大值，最大值为100×8+3400=4200.
答：当商场进A种商品8件，B种商品26时，获利最大，最大利润为4200元.
【答案】
解：(1)连接OA，OE，
在△AOC与△AOE中，
AC=AE,OC=OE,OA=OA,
∴ △AOC≅△AOE(SSS)，
∴ ∠OEA=∠ACB=90∘，
∴ OE⊥AE，
∴ AE是⊙O的切线.
(2)连接CD，
∵ ∠CBA=∠CFD，
∴ tan∠CBA=tan∠CFD=43，
∵ 在Rt△ACB中，
tan∠CBA=CACB=CA6=43，
∴ AC=8，
∴ 由勾股定理可知：AB=10，
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠CDB=∠ADC=90∘，
∵ ∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB，
∴ △ADC∽△ACB，
∴ ADAC=ACAB，
∴ AD=6.4.
【考点】
切线的判定与性质
锐角三角函数的定义
圆与圆的综合与创新
【解析】
（1）连接OA，OE，易证△AOC≅△AOE(SSS)，从而可知∠OEA＝∠ACB＝90∘，所以AE是⊙O的切线．
（2）连接CD，因为∠CBA＝∠CFD，所以tan∠CBA＝tan∠CFD=43，从而可求出AC＝8，利用勾股定理即可求出AB＝10，再证明△ADC∽△ACB，从而可求出AD的长度．
【解答】
解：(1)连接OA，OE，
在△AOC与△AOE中，
AC=AE,OC=OE,OA=OA,
∴ △AOC≅△AOE(SSS)，
∴ ∠OEA=∠ACB=90∘，
∴ OE⊥AE，
∴ AE是⊙O的切线.
(2)连接CD，
∵ ∠CBA=∠CFD，
∴ tan∠CBA=tan∠CFD=43，
∵ 在Rt△ACB中，
tan∠CBA=CACB=CA6=43，
∴ AC=8，
∴ 由勾股定理可知：AB=10，
∵ BC为⊙O的直径，
∴ ∠CDB=∠ADC=90∘，
∵ ∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB，
∴ △ADC∽△ACB，
∴ ADAC=ACAB，
∴ AD=6.4.
【答案】
解：(1)令y=0，
得x2−1=0，
解得x=±1.
令x=0，得y=−1.
∴ A(−1, 0)，B(1, 0)，C(0, −1).
(2)∵ OA=OB=OC=1，
∴ ∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45∘．
∵ AP // CB，
∴ ∠PAB=∠CBO=45∘．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形.
令OE=a，则PE=a+1，
∴ P(a, a+1)．
∵ 点P在抛物线y=x2−1上，
∴ a+1=a2−1．
解得a1=2，a2=−1（不合题意，舍去）．
∴ PE=3．
∴ 四边形ACBP的面积S=12AB⋅OC+12AB⋅PE
=12×2×1+12×2×3=4.
(3)假设存在.
∵ ∠PAB=∠BAC=45∘，
∴ PA⊥AC.
∵ MG⊥x轴于点G，
∴ ∠MGA=∠PAC=90∘.
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴ AC=2.
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴ AP=32.
设M点的横坐标为m，则M(m, m2−1).
①点M在y轴左侧时，则m<−1．
(I)当△AMG∽△PCA时，有AGPA=MGCA．
∵ AG=−m−1，MG=m2−1．
即−m−132=m2−12，
m1=−1（舍去），m2=23（舍去）．
(II)当△MAG∽△PCA时，有AGCA=MGPA，
即−m−12=m2−132．
解得：m=−1（舍去），m2=−2．
∴ M(−2, 3)．
②点M在y轴右侧时，则m>1.
(I)当△AMG∽△PCA时，有AGPA=MGCA.
∵ AG=m+1，MG=m2−1，
∴ m+132=m2−12，
解得m1=−1（舍去），m2=43．
∴ M(43, 79)．
(II)当△MAG∽△PCA时，有AGCA=MGPA，
即m+12=m2−132，
解得：m1=−1（舍去），m2=4，
∴ M(4, 15)．
∴ 存在点M，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似，
M点的坐标为(−2, 3)，(43, 79)，(4, 15)．
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数综合题
等腰直角三角形
三角形的面积
相似三角形的性质
【解析】
（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；
（2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线AB的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；
（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC和∠MGA是直角，只需证明AGCA=MGCA或AGCA=MGPA即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．
【解答】
解：(1)令y=0，
得x2−1=0，
解得x=±1.
令x=0，得y=−1.
∴ A(−1, 0)，B(1, 0)，C(0, −1).
(2)∵ OA=OB=OC=1，
∴ ∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45∘．
∵ AP // CB，
∴ ∠PAB=∠CBO=45∘．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形.
令OE=a，则PE=a+1，
∴ P(a, a+1)．
∵ 点P在抛物线y=x2−1上，
∴ a+1=a2−1．
解得a1=2，a2=−1（不合题意，舍去）．
∴ PE=3．
∴ 四边形ACBP的面积S=12AB⋅OC+12AB⋅PE
=12×2×1+12×2×3=4.
(3)假设存在.
∵ ∠PAB=∠BAC=45∘，
∴ PA⊥AC.
∵ MG⊥x轴于点G，
∴ ∠MGA=∠PAC=90∘.
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴ AC=2.
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴ AP=32.
设M点的横坐标为m，则M(m, m2−1).
①点M在y轴左侧时，则m<−1．
(I)当△AMG∽△PCA时，有AGPA=MGCA．
∵ AG=−m−1，MG=m2−1．
即−m−132=m2−12，
m1=−1（舍去），m2=23（舍去）．
(II)当△MAG∽△PCA时，有AGCA=MGPA，
即−m−12=m2−132．
解得：m=−1（舍去），m2=−2．
∴ M(−2, 3)．
②点M在y轴右侧时，则m>1.
(I)当△AMG∽△PCA时，有AGPA=MGCA.
∵ AG=m+1，MG=m2−1，
∴ m+132=m2−12，
解得m1=−1（舍去），m2=43．
∴ M(43, 79)．
(II)当△MAG∽△PCA时，有AGCA=MGPA，
即m+12=m2−132，
解得：m1=−1（舍去），m2=4，
∴ M(4, 15)．
∴ 存在点M，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似，
M点的坐标为(−2, 3)，(43, 79)，(4, 15)．