2020-2021学年湖北省十堰市某校初二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市某校初二（下）4月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下面选项中，可以与2合并的二次根式是( )
A.3B.6C.8D.10

2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长．不能构成直角三角形的是( )
A.3，4，5B.6，8，10C.1，2，3D.3，2，5

3. 如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为( )

A.75cmB.100cmC.125cmD.150cm

4. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )

A.AB=DC，AD=BCB.AB//DC，AD//BC
C.AB//DC，AD=BCD.AB//DC，AB=DC

5. 下列命题错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形

6. 若实数x，y满足2x−1+|y−1|=0，则x+y的值是( )
A.52B.2C.32D.1

7. 将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，则ℎ的取值范围是( )

A.ℎ≤17B.ℎ≥8C.15≤ℎ≤16D.7≤ℎ≤16

8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90∘时，它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形

9. 如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE:AB=4:5，下列结论：①DE=8；②BE=4；③AC=85 ；⑤S菱形ABCD=160；其中正确的个数为( )

A.4个B.3个C.2个D.1个

10. 如图，长方形ABCD中AB=4cm，AD=8cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则EF的长为( )

A.5cmB.25cmC.35cmD.45cm
二、填空题

若2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.

如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，AC边上的中线BD的长为________cm.



如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是________．

如图，将矩形ABCD沿AE对折，使点D落在点F处．若∠CEF=50∘ ，则∠EAF=________.


如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，若∠AFC=90∘，AF=5，CF=12，DF=2，则BC的长度为________.


如图，在边长为2的正方形ABCD中将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．求EC+GC的最小值为________.

三、解答题

计算： −32+1−22−22−1−22−3 .

如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BF=DE．
求证：AE=CF．


化简求值：x−2x−1÷(x+1−3x−1)，其中x=3−2.

把一副三角板按如图所示摆放在一起．已知CD=2，求AC的长．


如图所示，沿海城市B的正南方向240km的A处有一台风中心，沿AC的方向以30km/ℎ的速度移动．已知AC所在的方向与正北成30∘的夹角，距离台风中心150km的范围内是受到台风影响的区域．

(1)B市是否受这次台风的影响？为什么？

(2)若B市受台风影响，那么B市受这次台风的影响有多长时间？

如图，在▱ABCD中，已知AD>AB．

(1)实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．

如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180∘ .

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若AB=15，AD=20，过D作DF⊥AC于E，交BC于F，求DF的长 .

如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

1如图1，当点E在AB边的中点位置时.
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是________；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系，并证明你的猜想；

(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

正方形ABCD的边长为2，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作 PE⊥PB，PE交射线DC于点E，

(1)当点E落在线段CD上时（如图1），求证：PB=PE；

(2)如图2，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；

(3)在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
同类二次根式
【解析】
首先把每一项都化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可推出能与2合并的二次根式．
【解答】
解：A项，3与2被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误；
B项，6与2被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误；
C项，8=22，化简后，8与2是同类二次根式，能合并二次根式，故本选项正确；
D项，10与2被开方数不相同，不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误.
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
根据勾股定理逆定理来解答即可.
【解答】
解：A，∵ 32+42=52，∴ 以这三个数为三角形的三边长能构成直角三角形，故不符合题意；
B，∵ 62+82=102，∴ 以这三个数为三角形的三边长能构成直角三角形，故不符合题意；
C，∵ 52+122=132，∴ 以这三个数为三角形的三边长能构成直角三角形，故不符合题意；
D，∵ 32+22≠(5)2 ，∴ 以这三个数为三角形的三边长不能构成直角三角形，故符合题意．
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
三角形中位线定理
【解析】
证明OD是△ABC的中位线，然后根据三角形中位线定理即可求出AC的长.
【解答】
解：∵ OD⊥BC，AC⊥BC，
∴ OD//AC.
∵ 点O是AB的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ AC=2OD=2×50=100cm.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的判定
【解析】
根据平行四边形的判定定理分析即可解答.
【解答】
解：A，由AB=DC，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，能够判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B，由AB//DC，AD//BC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，能够判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C，由AB//DC，AD=BC，不符合任何一条平行四边形的判定定理，不能够判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D，由AB//DC，AB=DC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，能够判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意.
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
命题与定理
【解析】
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：A，对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，不符合题意；
B，对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C，一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，可能是平行四边形，故原来的说法错误，该选项符合题意；
D，对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的，不符合题意．
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
非负数的性质：算术平方根
非负数的性质：绝对值
列代数式求值
【解析】
首先根据算术平方根和绝对值的非负性求出x和y的值，然后把x和y的值代入x+y计算即可求值.
【解答】
解：∵ 2x−1+y−1=0，
∴ 2x−1=0，y−1=0，
∴ 2x−1=0，y−1=0，
解得x=12，y=1.
∴ x+y=12+1=32.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的综合与创新
勾股定理的应用
【解析】
首先画出图形，然后分两种情况讨论，求出AB的长，进一步可求ℎ的范围.
【解答】
解：如图所示：
①当筷子的底端在点D时，此时露在杯子外面的长度最长ℎ=24−8=16cm；
②当筷子的底端在点A时，此时露在杯子外面的长度最短.
在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，
根据勾股定理，得AB=AD2+BD2=152+82=17cm，
∴ ℎ=24−17=7cm.
∴ ℎ的取值范围是7≤ℎ≤16.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
正方形的判定
矩形的判定
菱形的判定
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据菱形与矩形的判定定理，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】
解：A，∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 当AB=BC时，它是菱形，故本选项正确；
B，∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 当AC⊥BD时，它是菱形，故本选项正确；
C，∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 当∠ABC=90∘时，它是矩形，故本选项正确．
D，∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 当AC=BD时，它是矩形，故本选项错误；
故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
菱形的性质
勾股定理
菱形的面积
【解析】
由菱形的性质可求得菱形的边长，结合DE:AB=4:5可判断①；在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE，则可求得BE，可判断②；在Rt△BDE中由勾股定理可求得BD，可判断③；由菱形的对角线互相平分，可求得BO，在Rt△AOB中可求得AO，可求得AC，可判断④；根据求得的AC和BD可求得菱形的面积，可判断⑤，可得出答案．
本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四边相等、对角线互相垂直且平分是解题的关键．注意菱形面积公式的应用．
【解答】
解：菱形ABCD的周长为40，
AB=14×40=10，
∵ DE:AB=4:5，
∴ DE=8，故①正确；
DE⊥AB，且AD=10，DE=8，
AE=AD2−DE2=102−82=6，
BE=AB−AE=10−6=4，故②正确；
在Rt△BDE中，BE=4，DE=8，
∴ BD=DE2+BE2=82+42=45，
∴ BO=25，
∴ 在Rt△ABO中，AO=AB2−BO2=45，
∴ AC=85，故③正确；
∵ 四边形ABCD是菱形，
S菱形ABCD=12BD⋅AC=12×85×45=80，故④错误.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
【解析】
根据折叠的性质可得AE=EC，设BE=x，表示出AE=8−x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得BE=3,AE=5,再求证AF=AE=5,求出EH,FH,再用勾股定理求解．
【解答】
解：如图所示：过点F作FH⊥AD，垂足为H．
由翻折的性质可知BE=DE，
设BE=x，则AE=8−x，
在Rt△ABE中，依据勾股定理得：
42+8−x2=x2，
解得： x=5，
∴ BE=5cm，AE=3cm，
由翻折的性质可知： ∠BEF=∠DEF，
∵ AD//BC，
∴ ∠BFE=∠DEF，
∴ ∠BFE=∠BEF，
∴ BF=BE=5cm，
∴ CF=3cm，
∴ EH=2cm.
∵ HF=AB=4cm，
∴ EF=EH2+FF2=25cm.
故选B．
二、填空题
【答案】
x≥12
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式的有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解．
【解答】
解：要使二次根式2x−1在实数范围内有意义，
须有2x−1≥0，
解得x≥12．
故答案为：x≥12．
【答案】
6.5
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理的逆定理
【解析】
先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形的性质来求BD.
【解答】
解：∵ AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，
∴ AB2+BC2=169=AC2，
∴ △ABC是直角三角形，
∴ BD=12AC=6.5cm.
故答案为：6.5.
【答案】
9
【考点】
平行四边形的性质
三角形中位线定理
【解析】
根据平行四边形的性质得出DE=12AD=12BC，DO=12BD，AO=CO，求出OE=12CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=12(BC+DC+BD)，代入求出即可．
【解答】
解：∵ E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴ DE=12AD=12BC，DO=12BD，AO=CO，
∴ OE=12CD，
∵ △BCD的周长为18，
∴ BD+DC+BC=18，
∴ △DEO的周长是DE+OE+DO=12(BC+DC+BD)
=12×18=9，
故答案为：9．
【答案】
25∘
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
【解析】
先根据∠CEF=50∘得出∠DEA的度数，再由直角三角形的性质求出∠DAE的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．
【解答】
解：由翻折的性质可得，∠DEA=∠AEF，
∵ ∠CEF=50∘，
∴ ∠DEA=12180∘−50∘=65∘，
在Rt△ADE中，∠DAE=90∘−∠DEA=90∘−65∘=25∘.
∵ △EAF由△EAD翻折而成，
∴ ∠EAF=∠EAD=25∘.
故答案为：25∘.
【答案】
17
【考点】
三角形中位线定理
勾股定理
直角三角形斜边上的中线
【解析】
首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EF=132，继而得至DE；证明DE为ΔABC的中位线，即可解决问题．
【解答】
解：∵ ∠AFC=90∘，AF=5，CF=12，
∴ AC=AF2+CF2=13.
∵ ∠AFC=90∘，
∴ E为Rt△AFC中斜边AC上的中线，
∴ EF=12AC=132，
∴ DE=2+132=172.
∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE为△ABC的中位线，
∴ BC=2DE=17.
故答案为：17．
【答案】
25
【考点】
平移的性质
勾股定理
轴对称——最短路线问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接CE，AE，DE，
∵ AB//GE//DC且AB=GE=DC，
∴ 四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴ AE//BG，CG=DE，
∴ AE⊥CC′.
由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵ CG=DE，
∴ EC+GC=C′E+ED.
当点C′，E，D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′B′D中，
C′B′=2，B′D=4，
C′D=22+42=25，
即EC+GC的最小值为25.
故答案为： 25.
三、解答题
【答案】
解：原式=3+2−1−2−2+6
=6 .
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
二次根式的性质与化简
二次根式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式=3+2−1−2−2+6
=6 .
【答案】
证明：连接AC交BD于点O，连接AF，CE，
∵ ABCD为平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
∵ OF=BF−OB，OE=DE−OD，BF=DE，
∴ OE=OF.
∵ OA=OC，OE=OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AE=CF.
【考点】
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，推出OA=OC，OE=OF，四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】
证明：连接AC交BD于点O，连接AF，CE，
∵ ABCD为平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
∵ OF=BF−OB，OE=DE−OD，BF=DE，
∴ OE=OF.
∵ OA=OC，OE=OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AE=CF.
【答案】
解：原式=x−2x−1÷x2−4x−1
=x−2x−1×x−1(x+2)(x−2)
=1x+2.
当x=3−2时，原式=13=33.
【考点】
分式的化简求值
【解析】
按照分式的混合运算法则化简后代入计算即可；
【解答】
解：原式=x−2x−1÷x2−4x−1
=x−2x−1×x−1(x+2)(x−2)
=1x+2.
当x=3−2时，原式=13=33.
【答案】
解：∵ ∠D=90∘，DC=DB=2，
∴ BC=22+22=22 .
∵ ∠ABC=90∘，∠BCA=30∘，
∴ AC=2AB .
设AB=x，则AC=2x，
则x2+222=2x2 ，
解得：x=236 ，
∴ AB=236，
∴ AC=436．
【考点】
勾股定理
含30度角的直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ∠D=90∘，DC=DB=2，
∴ BC=22+22=22 .
∵ ∠ABC=90∘，∠BCA=30∘，
∴ AC=2AB .
设AB=x，则AC=2x，
则x2+222=2x2 ，
解得：x=236 ，
∴ AB=236，
∴ AC=436．
【答案】
解：(1)过B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90∘，
∵ ∠A=30∘，AB=240，
∴ BD=12AB=120<150．
答：B市受这次台风的影响．
(2)以B为圆心，150km为半径画弧交AC于E，F，连结BE,BF．
∵ ∠BDE=∠BDF=90∘，BE=BF=150，BD=120，
∴ DE=DF=1502−1202=90，
∴ EF=180，180÷30=6．
答：B市受这次台风的影响的时间为6小时．
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)过B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90∘，
∵ ∠A=30∘，AB=240，
∴ BD=12AB=120<150．
答：B市受这次台风的影响．
(2)以B为圆心，150km为半径画弧交AC于E，F，连结BE,BF．
∵ ∠BDE=∠BDF=90∘，BE=BF=150，BD=120，
∴ DE=DF=1502−1202=90，
∴ EF=180，180÷30=6．
答：B市受这次台风的影响的时间为6小时．
【答案】
解：(1)作图如图所示.
(2)四边形ABEF是菱形. 理由如下：
如图所示.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
∴ ∠DAE=∠AEB.
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ BE=AB，
由(1)得，AF=AB，
∴ BE=AF.
又∵ BE // AF，
∴ 四边形ABEF是平行四边形.
∵ AF=AB，
∴ 四边形ABEF是菱形．
【考点】
平行四边形的性质与判定
作图—基本作图
菱形的判定
【解析】
(1)由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；
(2)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由(1)得，AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
【解答】
解：(1)作图如图所示.
(2)四边形ABEF是菱形. 理由如下：
如图所示.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
∴ ∠DAE=∠AEB.
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ BE=AB，
由(1)得，AF=AB，
∴ BE=AF.
又∵ BE // AF，
∴ 四边形ABEF是平行四边形.
∵ AF=AB，
∴ 四边形ABEF是菱形．
【答案】
(1)证明：∵ AO=CO，BO=DO，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC=∠ADC．
∵ ∠ABC+∠ADC=180∘，
∴ ∠ABC=90∘，
∴ 四边形ABCD是矩形．
(2)解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ DC=AB=15，∠ADC=90∘．
∵ AD=20，
∴ AC=152+202=25．
∵ DF⊥AC，
∴ 12DE×AC=12AD×DC，
∴ DE=12，
∴ EC=152−122=9．
设EF=x，则DF=12+x，
∴ 12+x2−152=x2+92，
解得：∴ x=274，
∴ DF=12+274=754．
【考点】
矩形的判定
勾股定理
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ AO=CO，BO=DO，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC=∠ADC．
∵ ∠ABC+∠ADC=180∘，
∴ ∠ABC=90∘，
∴ 四边形ABCD是矩形．
(2)解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ DC=AB=15，∠ADC=90∘．
∵ AD=20，
∴ AC=152+202=25．
∵ DF⊥AC，
∴ 12DE×AC=12AD×DC，
∴ DE=12，
∴ EC=152−122=9．
设EF=x，则DF=12+x，
∴ 12+x2−152=x2+92，
解得：∴ x=274，
∴ DF=12+274=754．
【答案】
解：(1)①DE=EF；
②NE=BF.
理由如下：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD=AB，∠DAB=∠ABC=90∘，
∵ N，E分别为AD，AB中点，
∴ AN=DN = 12AD，AE=EB = 12AB，
∴ DN=BE，AN=AE.
∵ ∠DEF=90∘，
∴ ∠AED+∠FEB=90∘.
又∵ ∠ADE+∠AED=90∘，
∴ ∠FEB=∠ADE.
又∵ AN=AE，
∴ ∠ANE=∠AEN.
又∵ ∠A=90∘，
∴ ∠ANE=45∘，
∴ ∠DNE=180∘−∠ANE=135∘.
又∵ ∠CBM=90∘，BF平分∠CBM，
∴ ∠CBF=45∘，∠EBF=135∘，
在△DNE和△EBF中
∠ ADE = ∠ FEB， DN = EB，∠ DNE = ∠ EBF，
∴ △DNE≅△EBF(ASA)，
∴ DE=EF，NE=BF．
故答案为：DE=EF.
2DE=EF，
理由如下：
在DA边上截取DN=EB，连接NE，
∵ 四边形ABCD是正方形，DN=EB，
∴ AN=AE，
∴ △AEN为等腰直角三角形，
∴ ∠ANE=45∘，
∴ ∠DNE=180∘−45∘=135∘.
∵ BF平分∠CBM，
∴ ∠EBF=90∘+45∘=135∘，
∴ ∠DNE=∠EBF.
∵ ∠NDE+∠DEA=90∘，∠BEF+∠DEA=90∘，
∴ ∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中
∠ ADE =∠FEB，DN=EB，∠ DNE=∠EBF，
∴ △DNE≅△EBF(ASA)，
∴ DE=EF．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
1①根据图形可以得到DE＝EF，NE＝BF，②要证明这两个关系，只要证明△DNE≅△EBF即可．
2DE=EF，连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≅△EBF即可得出答案．
【解答】
解：(1)①DE=EF；
②NE=BF.
理由如下：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD=AB，∠DAB=∠ABC=90∘，
∵ N，E分别为AD，AB中点，
∴ AN=DN = 12AD，AE=EB = 12AB，
∴ DN=BE，AN=AE.
∵ ∠DEF=90∘，
∴ ∠AED+∠FEB=90∘.
又∵ ∠ADE+∠AED=90∘，
∴ ∠FEB=∠ADE.
又∵ AN=AE，
∴ ∠ANE=∠AEN.
又∵ ∠A=90∘，
∴ ∠ANE=45∘，
∴ ∠DNE=180∘−∠ANE=135∘.
又∵ ∠CBM=90∘，BF平分∠CBM，
∴ ∠CBF=45∘，∠EBF=135∘，
在△DNE和△EBF中
∠ ADE = ∠ FEB， DN = EB，∠ DNE = ∠ EBF，
∴ △DNE≅△EBF(ASA)，
∴ DE=EF，NE=BF．
故答案为：DE=EF.
2DE=EF，
理由如下：
在DA边上截取DN=EB，连接NE，
∵ 四边形ABCD是正方形，DN=EB，
∴ AN=AE，
∴ △AEN为等腰直角三角形，
∴ ∠ANE=45∘，
∴ ∠DNE=180∘−45∘=135∘.
∵ BF平分∠CBM，
∴ ∠EBF=90∘+45∘=135∘，
∴ ∠DNE=∠EBF.
∵ ∠NDE+∠DEA=90∘，∠BEF+∠DEA=90∘，
∴ ∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中
∠ ADE =∠FEB，DN=EB，∠ DNE=∠EBF，
∴ △DNE≅△EBF(ASA)，
∴ DE=EF．
【答案】
(1)证明：过P作PF⊥BC于F， PG⊥CD于G，
∴ ∠PFB=∠PGE=90∘．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90∘ ，AC平分∠BCD．
∵ PF⊥BC，PG⊥CD，
∴ PF=PG．
∵ PE⊥PB，
∴ ∠BPE=90∘ ，
∴ ∠PBC+∠PEC=180∘．
∵ ∠PEG+∠PEC=180∘ ，
∴ ∠PBC=∠PEG，
∴ △PBF≅△PEGAAS，
∴ PB=PE．
(2)解：连结BD交AC于O，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
∴ ∠BOP=90∘，
∴ ∠PBO+∠OPB=90∘．
∵ ∠BPE=90∘，
∴ ∠OPB+∠EPF=90∘，
∴ ∠PBO=∠EPF．
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFP=90∘，
∴ ∠EFP=∠BOP．
∵ PB=PE，
∴ △PBO≅△PEFAAS，
∴ PF=OB．
∵ ∠BCD=90∘ ，BC=CD=2，
∴ BD=22+22=22，
∴ PF=OB=2，即PF的值保持不变，为2．
(3)解：①当点E在线段CD上时，
∵ ∠PBC+∠PEC=180∘， ∠PBC<90∘，
∴ ∠PEC>90∘．
∵ ∠PCE=45∘ ，
∴ ∠EPC<45∘，
∴ 当点E在线段CD上时，△PEC不能为等腰三角形．
②当点E在线段DC延长线上时（如图3），
∵ ∠ACD=45∘，PC=CE，
∴ ∠CPE=22.5∘．
又∠BPE=90∘，
∴ ∠APB=67.5∘．
∵ ∠BAP=45∘，
∴ ∠ABP=67.5∘，
∴ ∠APB=∠ABP，
∴ PA=AB=2．
【考点】
全等三角形的性质与判定
正方形的性质
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
无
【解答】
(1)证明：过P作PF⊥BC于F， PG⊥CD于G，
∴ ∠PFB=∠PGE=90∘．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90∘ ，AC平分∠BCD．
∵ PF⊥BC，PG⊥CD，
∴ PF=PG．
∵ PE⊥PB，
∴ ∠BPE=90∘ ，
∴ ∠PBC+∠PEC=180∘．
∵ ∠PEG+∠PEC=180∘ ，
∴ ∠PBC=∠PEG，
∴ △PBF≅△PEGAAS，
∴ PB=PE．
(2)解：连结BD交AC于O，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，
∴ ∠BOP=90∘，
∴ ∠PBO+∠OPB=90∘．
∵ ∠BPE=90∘，
∴ ∠OPB+∠EPF=90∘，
∴ ∠PBO=∠EPF．
∵ EF⊥AC，
∴ ∠EFP=90∘，
∴ ∠EFP=∠BOP．
∵ PB=PE，
∴ △PBO≅△PEFAAS，
∴ PF=OB．
∵ ∠BCD=90∘ ，BC=CD=2，
∴ BD=22+22=22，
∴ PF=OB=2，即PF的值保持不变，为2．
(3)解：①当点E在线段CD上时，
∵ ∠PBC+∠PEC=180∘， ∠PBC<90∘，
∴ ∠PEC>90∘．
∵ ∠PCE=45∘ ，
∴ ∠EPC<45∘，
∴ 当点E在线段CD上时，△PEC不能为等腰三角形．
②当点E在线段DC延长线上时（如图3），
∵ ∠ACD=45∘，PC=CE，
∴ ∠CPE=22.5∘．
又∠BPE=90∘，
∴ ∠APB=67.5∘．
∵ ∠BAP=45∘，
∴ ∠ABP=67.5∘，
∴ ∠APB=∠ABP，
∴ PA=AB=2．