2020-2021年湖北省某校初二（下）4月月考数学试卷

这是一份2020-2021年湖北省某校初二（下）4月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列式子一定是二次根式的是( )
A.−x−2B.xC.x2+2D.x2−2

2. 二次根式x+3有意义的条件是( )
A.x>3B.x>−3C.x≥−3D.x≥3

3. 下列计算结果正确的是( )
A.2+3=5B.2+2=22C.32−2=22D.18−82=1

4. 下列各式是最简二次根式的是( )
A.17B.8C.33D.0.5

5. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为( )

A.4B.8C.16D.64

6. 如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应−3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为( )

A.7B.4C.5D.2.5

7. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？( )

A.一定不会B.可能会
C.一定会D.以上答案都不对

8. 如图所示，将长方形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，AB=10，BC=6，则EF的长为( )

A.103B.3C.2D.1
二、填空题

若式子x+2x有意义，则x的取值范围是________．

若28n是整数，则满足条件的最小正整数n为________．

若最简二次根式1+2a与5−2a可以合并，则a=________．

计算27−313的结果是________．

若1
直角三角形两边长分别是3，4，则第三边是_______.

把两块相同的含30∘角的三角尺如图放置，若AD=66cm，则三角尺的最长边长为________．


观察下面几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；请你根据规律写出第⑤组勾股数是________．
三、解答题

计算：
(1)45+45−8+42；

(2)12+27+1448−1513；

(3)18−412+24÷3；

(4)1−22−32+1+23−10．

已知：x=3+1，y=3−1，求x2−2xy+y2x2−y2的值．

如图，实数a，b在数轴上的位置，化简a2−b2−(a−b)2．


已知x，y是实数，3x+4+y2−6y+9=0，求3x−y的值．

一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

如图，将一个长为8，宽为4的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，

(1)求AE的长；

(2)求折痕EF的长．

观察下列等式：①12−1=2+1；②13−2=3+2；③14−3=4+3；⋯.
(1)请用字母表示你所发现的规律：即1n+1−n=________（n为正整数）；

(2)计算：11+2+12+3+13+4+…+12020+2021.

“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45∘，∠CBN=60∘，BC=200m．

(1)求观测点C到公路MN的距离；

(2)请你判断该汽车是否超速？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

我们引入如下概念：到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心. 如图1，PE⊥BC，PD⊥AC，若PE=PD，则P为△ABC的准内心.
(1)填空：根据准内心的概念，图1中的点P在∠ACB的________上；

(2)应用：如图2，△ABC中，AC=BC=13，AB=10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长；

(3)探究：已知△ABC为直角三角形，AC=BC=6，∠C=90∘，准内心P在△ABC的边上，试探究PC的长．
参考答案与试题解析
2020-2021年湖北省某校初二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
二次根式的定义及识别
【解析】
根据二次根式的定义即可求出答案．
【解答】
解：A，当−x−2<0时，此时原式无意义，故A不一定是二次根式；
B，当x<0时，此时原式无意义，故B不一定是二次根式；
C，无论x取何值，x2+2>0，故是二次根式；
D，当x2−2<0时，此时原式无意义，故D不一定是二次根式.
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式有意义的条件求出x+3≥0，求出即可．
【解答】
解：要使x+3有意义，则x+3≥0，
解得x≥−3.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
二次根式的相关运算
同类二次根式
【解析】
根据合并同类二次根式的法则进行选择即可．
【解答】
解：A、2+3不能合并，故A错误；
B、2+2不能合并，故B错误；
C、32−2=22，故C正确；
D、18−82=32−222=22，故D错误.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
最简二次根式
【解析】
根据最简二次根式的定义分析即可解答.
【解答】
解：A，因为17的被开方数不是整数，所以不是最简二次根式，故A错误；
B，因为被开方数8含有能开得尽方的因数4，所以8不是最简二次根式，故B错误；
C，因为33符合最简二次根式的定义，所以33是最简二次根式，故C正确；
D，因为0.5的被开方数不是整数，所以0.5不是最简二次根式，故D错误.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
正方形的性质
勾股定理
【解析】
根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】
解：如图所示，
∵ 正方形PQED的面积等于225，
∴ 即PQ2=225，
∵ 正方形PRGF的面积为289，
∴ PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴ QR2=PR2−PQ2=289−225=64，
则正方形QMNR的面积为64，
即字母A所代表的正方形的面积为64.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
勾股定理
在数轴上表示实数
等腰三角形的性质
【解析】
先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=7，然后利用画法可得到OM=OC=7，于是可确定点M对应的数．
【解答】
解：∵ △ABC为等腰三角形，且OA=OB=3，
∴ OC⊥AB，
在Rt△OBC中，∠BOC=90∘，
∴ OC=BC2−OB2=42−32=7，
又以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴ OM=OC=7，
∴ 点M对应的数为7．
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
由题意知树折断的两部分与地面形成一直角三角形，根据勾股定理求出BC的长即可解答．
【解答】
解：如图所示，
由题意，得AB=10米，AC=6米，
由勾股定理，得BC=AB2−AC2=102−62=8米<9米．
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
勾股定理
【解析】
根据折叠的性质得到EF=BE，AF=AB=10，根据勾股定理得到DF=AF2−AD2=102−62=8，求得CF=2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】
解：∵ 将长方形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，
∴ EF=BE，AF=AB=10，
∵ AB=CD=10，AD=BC=6，∠D=∠C=90∘，
∴ DF=AF2−AD2=102−62=8，
∴ CF=2，
在Rt△CEF中，∠C=90∘，
∴ CF2+CE2=EF2，
∴ 22+(6−EF)2=EF2，
∴ EF=103.
故选A.
二、填空题
【答案】
x≥−2且x≠0
【考点】
分式有意义、无意义的条件
二次根式有意义的条件
【解析】
分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．
【解答】
解：根据题意，得x+2≥0，且x≠0，
解得x≥−2且x≠0．
故答案为：x≥−2且x≠0．
【答案】
7
【考点】
二次根式的定义及识别
【解析】
把28分解因质因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值．
【解答】
解：∵ 28=4×7，4是平方数，
∴ 若28n是整数，则n的最小值为7．
故答案为：7．
【答案】
1
【考点】
同类二次根式
最简二次根式
【解析】
根据最简二次根式的定义，进行计算即可．
【解答】
解：∵ 最简二次根式1+2a与5−2a可以合并，
∴ 1+2a=5−2a，
即4a=4，
解得a=1.
故答案为：1．
【答案】
23
【考点】
二次根式的加减混合运算
【解析】
先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【解答】
解：原式=33−3
=23．
故答案为：23．
【答案】
1
【考点】
二次根式的性质与化简
二次根式的非负性
【解析】
先根据题意判断出x−1及x−2的符号，再根据二次根式的性质进行解答即可．
【解答】
解：∵ 1∴ x−1>0，x−2<0，
∴ 原式=x−1+2−x
=1．
故答案为：1．
【答案】
5或7
【考点】
勾股定理
直角三角形的性质
【解析】
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】
解：当长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为42−32=7；
当长为3，4的边都是直角边时，
第三边的长为42+32=5，
综上，第三边的长为5或7．
故答案为：5或7.
【答案】
12cm
【考点】
含30度角的直角三角形
勾股定理
【解析】
根据题意，知△ABD是等腰直角三角形，即可求得AB的长，再根据30∘的直角三角形的性质进行求解．
【解答】
解：∵ ∠ABD=90∘，AB=BD，AD=66cm，
∴ AB=BD=63cm，
在Rt△ABC中，∠BAC=30∘，
设BC=x，则AC=2x．
根据勾股定理，得AC2−BC2=AB2，
即4x2−x2=108，
解得x=6，
即三角尺的最长边长为12cm．
故答案为：12cm．
【答案】
12，35，37
【考点】
勾股数
【解析】
根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2(n+1)，第二个是：n(n+2)，第三个数是：(n+1)2+1．根据这个规律即可解答．
【解答】
解：观察前4组数据的规律可知，第一个数是2(n+1)，
第二个是n(n+2)，第三个数是(n+1)2+1，
所以第⑤组勾股数是12，35，37．
故答案为：12，35，37．
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=45+35−22+42
=75+22.
(2)原式=23+33+14×43−15×33
=23+33+3−53=3.
(3)原式=32−22+24÷3
=32−22+22
=32.
(4)原式=1−22+2−32−1+1
=3−22−32+3+1
=7−52．
【考点】
二次根式的混合运算
二次根式的性质与化简
零指数幂、负整数指数幂
分母有理化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)原式=45+35−22+42
=75+22.
(2)原式=23+33+14×43−15×33
=23+33+3−53=3.
(3)原式=32−22+24÷3
=32−22+22
=32.
(4)原式=1−22+2−32−1+1
=3−22−32+3+1
=7−52．
【答案】
解：原式=(x−y)2(x−y)(x+y)
=x−yx+y，
当x=3+1，y=3−1时，
原式=223=13=33．
【考点】
分式的化简求值
完全平方公式
平方差公式
【解析】
将原式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，将x与y的值代入，化简后即可得到原式的值．
【解答】
解：原式=(x−y)2(x−y)(x+y)
=x−yx+y，
当x=3+1，y=3−1时，
原式=223=13=33．
【答案】
解：由数轴知，a<0，且b>0，
∴ a−b<0，
∴ a2−b2−(a−b)2
=|a|−|b|+(a−b)，
=−a−b+a−b，
=−2b．
【考点】
二次根式的性质与化简
在数轴上表示实数
【解析】
本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．
【解答】
解：由数轴知，a<0，且b>0，
∴ a−b<0，
∴ a2−b2−(a−b)2
=|a|−|b|+(a−b)，
=−a−b+a−b，
=−2b．
【答案】
解：∵ 3x+4+y2−6y+9=0，
∴ 3x+4=0，(y−3)2=0，
解得x=−43，y=3，
∴ 3x−y=3×(−43)−3=−7．
【考点】
非负数的性质：算术平方根
非负数的性质：偶次方
列代数式求值
【解析】
直接利用二次根式的性质以及偶次方的性质得出x，y的值进而得出答案．
【解答】
解：∵ 3x+4+y2−6y+9=0，
∴ 3x+4=0，(y−3)2=0，
解得x=−43，y=3，
∴ 3x−y=3×(−43)−3=−7．
【答案】
解：(1)由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB=252−72=24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
(2)由题意得：BA′=20米，
BC′=252−202=15（米），
则：CC′=15−7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【考点】
勾股定理的应用
勾股定理
【解析】
（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
【解答】
解：(1)由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB=252−72=24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
(2)由题意得：BA′=20米，
BC′=252−202=15（米），
则：CC′=15−7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【答案】
解：(1)∵ 将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
∴ AE=CE，
∴ BE=BC−CE=BC−AE=8−AE，
在Rt△ABE中，∠B=90∘，
∴ AB2+BE2=AE2，
即42+(8−AE)2=AE2，
∴ AE=5.
(2)如图，过点F作FG⊥BC于G.
由折叠的性质可知，AE=CE，∠AEF=∠CEF，
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD // BC，
∴ ∠AFE=∠CEF，
∴ ∠AEF=∠AFE，
∴ AE=AF．
由(1)可知，AE=CE=5，
∴ BE=BC−EC=3，
在Rt△FEG中，∠EGF=90∘，FG=4，
EG=BG−BE=AF−BE=AE−BE=5−3=2，
∴ EF=22+42=25．
【考点】
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
勾股定理
【解析】
（1）根据折叠的性质得到AE=CE，根据勾股定理即可得到结论
（2）先过点F作FG⊥BC于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE=CE，∠AEF=∠CEF，再利用平行线可得∠AEF=∠AFE，故有AE=AF．求出EG，再次使用勾股定理可求出EF的长．
【解答】
解：(1)∵ 将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
∴ AE=CE，
∴ BE=BC−CE=BC−AE=8−AE，
在Rt△ABE中，∠B=90∘，
∴ AB2+BE2=AE2，
即42+(8−AE)2=AE2，
∴ AE=5.
(2)如图，过点F作FG⊥BC于G.
由折叠的性质可知，AE=CE，∠AEF=∠CEF，
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD // BC，
∴ ∠AFE=∠CEF，
∴ ∠AEF=∠AFE，
∴ AE=AF．
由(1)可知，AE=CE=5，
∴ BE=BC−EC=3，
在Rt△FEG中，∠EGF=90∘，FG=4，
EG=BG−BE=AF−BE=AE−BE=5−3=2，
∴ EF=22+42=25．
【答案】
n+1+n
(2)11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021
=2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020
=2021−1．
【考点】
规律型：数字的变化类
分母有理化
二次根式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)观察规律，得
1n+1−n=n+1+n.
故答案为：n+1+n.
(2)11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021
=2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020
=2021−1．
【答案】
解：(1)过C作CH⊥MN，垂足为H，如图，
∵ ∠CBN=60∘，BC=200m，
∴ ∠BCH=30∘，
∴ BH=12BC=100m，
∴ CH=BC2−BH2=1003m，
即观测点C到公路MN的距离为1003m.
(2)该汽车没有超速.理由如下：
由(1)，得BH=100m，
∵CAN=45∘，
∴ AH=CH=1003m，
∴ AB=AH−BH=1003−100≈73m，
∴ 车速为735=14.6m/s.
∵ 60千米/小时=503m/s，
14.6<503，
∴ 该汽车没有超速．
【考点】
勾股定理
等腰直角三角形
【解析】
（1）根据题意结合锐角三角函数关系得出CH即可，
（2）汽车BH,AB的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．
【解答】
解：(1)过C作CH⊥MN，垂足为H，如图，
∵ ∠CBN=60∘，BC=200m，
∴ ∠BCH=30∘，
∴ BH=12BC=100m，
∴ CH=BC2−BH2=1003m，
即观测点C到公路MN的距离为1003m.
(2)该汽车没有超速.理由如下：
由(1)，得BH=100m，
∵CAN=45∘，
∴ AH=CH=1003m，
∴ AB=AH−BH=1003−100≈73m，
∴ 车速为735=14.6m/s.
∵ 60千米/小时=503m/s，
14.6<503，
∴ 该汽车没有超速．
【答案】
角平分线
(2)∵ 点P是△ABC的准内心，
∴ ∠ACP=∠BCP.
∵ AC=BC=13，
∴ PC⊥AB，AP=PB=12AB=5，
∴ PC=AC2−AP2=132−52=12．
∵ S△ACP =12AC⋅PD=12AP⋅PC，
∴ PD=PA⋅CPAC=6013.
(3)如图，当点P在AB边上时，
∵ AC=BC=6，∠ACB=90∘，
∴ AB=AC2+AB2=62.
∵ 点P是△ABC的准内心，
∴ ∠PCB=∠PCA，PA=PB，
∴ PC=12AB=32；
如图，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，
则AE=PE，
设AE=PE=x，则AP=2x，
∵ 点P是△ABC的准内心，
∴ ∠PBA=∠PBC，
∵ PE⊥AB，PC⊥BC，
∴ PE=PC=x，
∵ AP+PC=6，
∴ 2x+x=6，
解得x=62−6，
∴ PC=62−6；
如图，当点P在BC边上时，
同理可得，PC=62−6．
综上所述，PC的长为32或62−6.
【考点】
角平分线性质定理的逆定理
勾股定理
三角形的面积
角平分线的性质
三角形综合题
【解析】
（1）根据准内心的概念，即可判断．
（2）根据三线合一先证明PC是高是中线，再根据12⋅AC⋅PD=12⋅AP⋅PC，即可解决问题．
（3）分三种情形①点P在AB边上，②点P在AC边上，③点P在BC边上，分别讨论即可．
【解答】
解：(1)∵ PE⊥BC，PD⊥AC，PE=PD，
∴ 点P在∠ACB的角平分线上．
故答案为：角平分线.
(2)∵ 点P是△ABC的准内心，
∴ ∠ACP=∠BCP.
∵ AC=BC=13，
∴ PC⊥AB，AP=PB=12AB=5，
∴ PC=AC2−AP2=132−52=12．
∵ S△ACP =12AC⋅PD=12AP⋅PC，
∴ PD=PA⋅CPAC=6013.
(3)如图，当点P在AB边上时，
∵ AC=BC=6，∠ACB=90∘，
∴ AB=AC2+AB2=62.
∵ 点P是△ABC的准内心，
∴ ∠PCB=∠PCA，PA=PB，
∴ PC=12AB=32；
如图，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，
则AE=PE，
设AE=PE=x，则AP=2x，
∵ 点P是△ABC的准内心，
∴ ∠PBA=∠PBC，
∵ PE⊥AB，PC⊥BC，
∴ PE=PC=x，
∵ AP+PC=6，
∴ 2x+x=6，
解得x=62−6，
∴ PC=62−6；
如图，当点P在BC边上时，
同理可得，PC=62−6．
综上所述，PC的长为32或62−6.