2020-2021学年湖北省十堰市某校初二（下）期中考试数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市某校初二（下）期中考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题)，填空题)，解答题)等内容，欢迎下载使用。


1. 式子x−1的未知数x的取值范围是( )
A.x>1B.x<1C.x≥1D.x≤1

2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BDA=90∘，AC=10，BD=6，则AD= ( )

A.4B.5C.6D.8

3. 下列计算：(1)(2)2=2；(2)(−2)2=2；(3)(−23)2=12；(4)(2+3)(2−3)=−1；其中结果正确的个数为（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个

4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A.3，4，5B.1，2，3C.6，7，8D.2，3，4

5. 下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线互相垂直
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.对角线相等的平行四边形是矩形

6. 如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为( )

A.2B.5−1C.10−1D.5

7. 在▱ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是( )
①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE.

A.①或②B.②或③C.③或④D.①或③或④

8. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为( )

A.2B.22C.22D.24

9. 如图，四边形ABCD是菱形，A(3, 0)，B(0, 4)，则点C的坐标为（ ）

A.(−5, 4)B.(−5, 5)C.(−4, 4)D.(−4, 3)

10. 如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE // BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN=BM；②EM // FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确的结论的个数是( )

A.1B.2C.3D.4
二、填空题)

11. 对角线________的矩形是正方形.

12. 直角三角形两边长是6、8，第三边长是________．

13. 若y=x−2+2−x+1，则xy=________．

14. 已知a<0，那么|a2−2a|可化简为________．

15. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1 // l2 // l3．若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则Rt△ABC的面积为________．


16. 如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30∘，若点M，N分别是线段BD、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为________．

三、解答题)

17. 计算： 12−18+313+8.

18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC.连接AF、BD，
求证：四边形ABDF是平行四边形.

19. 如图，网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题.

(1)判断△ABC的形状并说明理由；

(2)求△ABC的面积.

20. 先化简，再求值：2(a+3)(a−3)−a(a−2)+6，其中a=2−1．

21. 如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度．


22. 如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．

(1)求证：四边形AGPH是矩形；

(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E是AB中点，连接OE，过点E作EF//AC，交BC于点F，且AC=BC．

(1)求证：四边形OEFC是菱形；

(2)若AB=6，S菱形OEFC=9，求BC的长．

24. 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)当DE=DF时，求EF的长．

25. 已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE．

(1)如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；

(2)如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG // BD，BG=BD．
①求∠BDE的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x−1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
【解答】
解：根据题意，得x−1≥0，
解得x≥1．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
平行四边形的性质
勾股定理
【解析】
根据平行四边形的性质，对角线互相平分可知OD=3，OA=5，在直角三角形AOD中利用勾股定理可求得AD的长度．
【解答】
解：∵ 在平行四边形ABCD中，AC=10，BD=6，
∴ OD=3，OA=5，
∵ ∠BDA=90∘，
∴ AD2+OD2=OA2，即AD=OA2−OD2=4.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
二次根式的混合运算
平方差公式
算术平方根
【解析】
根据二次根式的性质对（1）、（2）、（3）进行判断；根据平方差公式对（4）进行判断．
【解答】
解：(1)(2)2=2，故正确；
(2)(−2)2=2，故正确；
(3)(−23)2=12，故正确；
(4)(2+3)(2−3)=2−3=−1，故正确；
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
勾股定理的逆定理
【解析】
知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【解答】
解：A，(3)2+(4)2≠(5)2，不能构成直角三角形，不符合题意；
B，12+(2)2=(3)2，能构成直角三角形，符合题意；
C，62+72≠82，不能构成直角三角形，不符合题意；
D，22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意.
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
矩形的判定与性质
菱形的判定与性质
平行四边形的性质与判定
【解析】
由菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：A，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
B．矩形的对角线互相平分且相等，故B错误；
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故C错误；
D．对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
在数轴上表示实数
勾股定理
【解析】
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示−1，可得M点表示的数．
【解答】
解：AC=AB2+BC2=32+12=10，
则AM=10.
∵ A点表示−1，
∴ M点表示的数为10−1.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
平行四边形的性质与判定
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB=CD，∠B=∠D，AD // BC，AD=BC，
如果∠BAE=∠FCD，
则△ABE≅△CDF(ASA)，
∴ BE=DF，
∴ AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
又∵ AF // CE，
∴ 四边形AFCE是平行四边形，故③正确，
如果∠BEA=∠FCE，
则AE // CF，
又∵ AF // CE，
∴ 四边形AFCE是平行四边形，故④正确，
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
正方形的性质
勾股定理
全等三角形的性质与判定
【解析】
延长AD至H，延长FM与AH交于H点，利用ASA证△AMH≌△EMF，得FM=MH，AH=EF，从而求出DH，DF长，再在RtΔDFH中由勾股定理求出FH，即可求出答案.
【解答】
解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，如图所示，
∵正方形ABCD，正方形CGEF，
∴BC//AD，CG//EF，∠FDH=∠ADC=90∘，
∵B，C，G在同一直线上，
∴AH//EF，
∴∠MAH=∠FEM，∠AHM=∠EFM，
在△AMH和△EMF中，
∠MAH=∠FEM，EM=AM，∠AHM=∠EFM，
∴ △AMH≅△EMF（ASA)，
∴FM=MH，AH=EF，
∴DH=AH−AD=EF−AD=DF=3−2=1，
∴DF=CF−CD=3−2=1，
在Rt△DFH中，FH为斜边，
∴FH=DF2+DH2=12+12=2，
又FM=MH，
∴FM=12FH=22，
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
坐标与图形性质
菱形的性质
【解析】
由勾股定理求出AB＝5，由菱形的性质得出BC＝5，即可得出点C的坐标．
【解答】
解：∵ A(3, 0)，B(0, 4)，
∴ OA=3，OB=4，
∴ AB=OA2+OB2=5，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BC=AD=AB=5，
∴ 点C的坐标为(−5, 4)，
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
矩形的性质
全等三角形的性质与判定
平行四边形的性质与判定
菱形的判定
【解析】
证△DNA≅△BMC(AAS)，得出DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≅△CBF(ASA)，得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM // FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，AB // CD，AD=BC，AD // BC，
∠DAE=∠BCF=90∘，OD=OB=OA=OC，
∴ ∠DAN=∠BCM，
∵ BF⊥AC，DE // BF，
∴ DE⊥AC，
∴ ∠DNA=∠BMC=90∘，
在△DNA和△BMC中，
∠DAN=∠BCM，∠DNA=∠BMC，AD=BC，
∴ △DNA≅△BMC(AAS)，
∴ DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，
∠ADE=∠CBF，AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∴ △ADE≅△CBF(ASA)，
∴ AE=FC，DE=BF，故③正确；
∴ DE−DN=BF−BM，即NE=MF，
∵ DE // BF，
∴ 四边形NEMF是平行四边形，
∴ EM // FN，故②正确；
∵ AB=CD，AE=CF，
∴ BE=DF，
∵ BE // DF，
∴ 四边形DEBF是平行四边形，
∵ AO=AD，
∴ AO=AD=OD，
∴ △AOD是等边三角形，
∴ ∠ADO=∠DAN=60∘，
∴ ∠ABD=90∘−∠ADO=30∘，
∵ DE⊥AC，
∴ ∠ADN=ODN=30∘，
∴ ∠ODN=∠ABD，
∴ DE=BE，
∴ 四边形DEBF是菱形，故④正确，
∴ 正确结论的个数是4.
故选D.
二、填空题
11.
【答案】
互相垂直
【考点】
正方形的判定与性质
【解析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角相等的平行四边形是矩形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形求解即可求得答案．
【解答】
解：对角线互相垂直的矩形是正方形，
故答案为：互相垂直.
12.
【答案】
27或10
【考点】
勾股定理
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】
解：当8是斜边时，第三边长=82−62=27；
当6和8是直角边时，第三边长=82+62=10；
∴ 第三边的长为：27或10，
故答案为：27或10.
13.
【答案】
2
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，x−2≥0且2−x≥0，
解得x≥2且x≤2，
∴ x=2，
代入，得y=1，
∴ xy=21=2．
故答案为：2．
14.
【答案】
−3a
【考点】
二次根式的性质与化简
绝对值
【解析】
根据二次根式的性质和绝对值的定义解答．
【解答】
解：∵ a<0，
∴ |a2−2a|=|−a−2a|=|−3a|=−3a．
故答案为：−3a.
15.
【答案】
37
【考点】
全等三角形的性质
平行线之间的距离
勾股定理
【解析】
先过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，由于EF⊥l2，l1 // l2 // l3，易知EF⊥l1⊥l3，那么∠ABE+∠EAB=90∘，∠AEB=∠BFC=90∘，而∠ABC=90∘，可得∠ABE+∠FBC=90∘，根据同角的余角相等可得∠EAB=∠FBC，根据AAS可证△ABE≅△BCF，于是BE=CF=5，AE=BF=7，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB2=74，进而可求△ABC的面积．
【解答】
解：过点B作EF⊥l2，交l1于点E，交l3于点F，如图所示，
∵ EF⊥l2，l1 // l2 // l3，
∴ EF⊥l1⊥l3，
∴ ∠ABE+∠EAB=90∘，∠AEB=∠BFC=90∘，
又∵ ∠ABC=90∘，
∴ ∠ABE+∠FBC=90∘，
∴ ∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
∠AEB=∠BFC，∠EAB=∠FCBAB=BC，，
∴ △ABE≅△BCF，
∴ BE=CF=5，AE=BF=7，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2，
∴ AB2=74，
∴ S△ABC=12AB⋅BC=12AB2=37．
故答案为：37．
16.
【答案】
15
【考点】
等边三角形的性质与判定
矩形的性质
轴对称——最短路线问题
勾股定理
【解析】
作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】
解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，
过点A′作A′H⊥AB于H，如图所示，
∵ BA=BA′，∠ABD=∠DBA′=30∘，
∴ ∠ABA′=60∘，
∴ △ABA′是等边三角形，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=10，
∵ 在Rt△ABD中，∠ABD=30∘，
∴ BD=2AD=20，AB=202−102=103，
∵ A′H⊥AB，
∴ AH=HB=53，
∴ A′H=A′B2−BH2=15，
∵ AM+MN=A′M+MN≥A′H，
∴ AM+MN≥15，
∴ AM+MN的最小值为15．
故答案为：15.
三、解答题
17.
【答案】
解：原式=23−32+3+22
=33−2.
【考点】
二次根式的加减混合运算
【解析】
暂无
【解答】
解：原式=23−32+3+22
=33−2.
18.
【答案】
证明：∵ BE=FC，
BE+EC=BC，FC+EC=FE，
∴ BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
BC=FE，AB=DF，AC=DE，
∴ △ABC≅△DFE，
∴ ∠ABC=∠DFE，
∴ AB // DF，
∵ AB=DF，
∴ 四边形ABDF是平行四边形.
【考点】
全等三角形的性质
平行四边形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵ BE=FC，
BE+EC=BC，FC+EC=FE，
∴ BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
BC=FE，AB=DF，AC=DE，
∴ △ABC≅△DFE，
∴ ∠ABC=∠DFE，
∴ AB // DF，
∵ AB=DF，
∴ 四边形ABDF是平行四边形.
19.
【答案】
解：(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
∵ 小方格边长为1，
∴ AB2=12+22=5，
AC2=22+42=20，
BC2=32+42=25，
∴ AB2+AC2=BC2 .
∴ △ABC为直角三角形.
(2)S△ABC=4×4−1×2÷2−4×3÷2−2×4÷2=16−1−6−4=5 .
【考点】
勾股定理
勾股定理的逆定理
三角形的面积
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
∵ 小方格边长为1，
∴ AB2=12+22=5，
AC2=22+42=20，
BC2=32+42=25，
∴ AB2+AC2=BC2 .
∴ △ABC为直角三角形.
(2)S△ABC=4×4−1×2÷2−4×3÷2−2×4÷2=16−1−6−4=5 .
20.
【答案】
解：原式=2(a2−3)−a2+2a+6
=2a2−6−a2+2a+6
=a2+2a，
当a=2−1时，
原式=(2−1)2+2(2−1)
=3−22+2−2
=5−32．
【考点】
二次根式的化简求值
平方差公式
【解析】
直接利用乘法公式以及二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】
解：原式=2(a2−3)−a2+2a+6
=2a2−6−a2+2a+6
=a2+2a，
当a=2−1时，
原式=(2−1)2+2(2−1)
=3−22+2−2
=5−32．
21.
【答案】
解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是x+2cm，
∵ 杯子的直径为12cm，
∴ 杯子的半径为6cm，
由题意得x2+62=x+22，
整理得x2+36=x2+4x+4，
解得x=8，
8+2=10cm，
答：筷子长度为10cm．
【考点】
勾股定理的应用
一元一次方程的应用——其他问题
【解析】
设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是x+2cm，可求杯子半径为6cm，根据勾股定理构造方程x2+62=x+22，解方程
即可．
【解答】
解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是x+2cm，
∵ 杯子的直径为12cm，
∴ 杯子的半径为6cm，
由题意得x2+62=x+22，
整理得x2+36=x2+4x+4，
解得x=8，
8+2=10cm，
答：筷子长度为10cm．
22.
【答案】
(1)证明∵ AC=9，AB=12，BC=15，
∴ AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴ AC2+AB2=BC2，
∴ ∠A=90∘．
∵ PG⊥AC，PH⊥AB，
∴ ∠AGP=∠AHP=90∘，
∴ 四边形AGPH是矩形.
(2)解：存在．理由如下：
连接AP，如图.
∵ 四边形AGPH是矩形，
∴ GH=AP．
∵ 当AP⊥BC时AP最短，
∴ 由三角形面积公式可得12×9×12=12×15⋅AP，
∴ AP=365．
【考点】
勾股定理的逆定理
矩形的判定
矩形的性质
垂线段最短
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明∵ AC=9，AB=12，BC=15，
∴ AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴ AC2+AB2=BC2，
∴ ∠A=90∘．
∵ PG⊥AC，PH⊥AB，
∴ ∠AGP=∠AHP=90∘，
∴ 四边形AGPH是矩形.
(2)解：存在．理由如下：
连接AP，如图.
∵ 四边形AGPH是矩形，
∴ GH=AP．
∵ 当AP⊥BC时AP最短，
∴ 由三角形面积公式可得12×9×12=12×15⋅AP，
∴ AP=365．
23.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC=12AC，
∵ E为AB中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ OE//BC，OE=12BC，
又∵ EF//AC，
∴ 四边形OEFC是平行四边形，
∵ AC=BC，OE=12BC，OC=12AC，
∴ OE=OC，
∴四边形OEFC是菱形.
(2)解：连接EC，OF，如图所示，
由(1)知O，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴OF是△ABC的中位线，BE=12AB=12×6=3，
∴OF=12AB=12×6=3.
∵S菱形OEFC=9，
∴12OF⋅EC=9，
∴EC=6.
在△ABC中，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB.
在Rt△EBC中，
BC=BE2+CE2
=32+62
=35.
【考点】
平行四边形的性质
三角形中位线定理
菱形的判定
勾股定理
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】


【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC=12AC，
∵ E为AB中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ OE//BC，OE=12BC，
又∵ EF//AC，
∴ 四边形OEFC是平行四边形，
∵ AC=BC，OE=12BC，OC=12AC，
∴ OE=OC，
∴四边形OEFC是菱形.
(2)解：连结EC，OF，如图所示：
由(1)知O，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴OF是△ABC的中位线，BE=12AB=12×6=3，
∴OF=12AB=12×6=3.
∵S菱形OEFC=9，
∴12OF⋅EC=9，
∴EC=6.
在△ABC中，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB.
在Rt△EBC中，
BC=BE2+CE2
=32+62
=35.
24.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB // CD，
∴ ∠DFO=∠BEO，
又因为∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴ △DOF≅△BOE(AAS)，
∴ DF=BE，
又因为DF // BE，
∴ 四边形BEDF是平行四边形.
(2)解：∵ DE=DF，四边形BEDF是平行四边形，
∴ 四边形BEDF是菱形，
∴ DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，
设AE=x，则DE=BE=8−x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2=DE2
∴ x2+62=(8−x)2，
解之得：x=74，
∴ DE=8−74=254，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2=BD2
∴ BD=62+82=10，
∴ OD=12 BD=5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 −OD2=OE2，
∴ OE=(254)2−52=154，
∴ EF=2OE=152．
【考点】
全等三角形的性质与判定
矩形的性质
菱形的判定与性质
平行四边形的判定
勾股定理
【解析】
（1）根据矩形的性质得到AB // CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；
（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8−x根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB // CD，
∴ ∠DFO=∠BEO，
又因为∠DOF=∠BOE，OD=OB，
∴ △DOF≅△BOE(AAS)，
∴ DF=BE，
又因为DF // BE，
∴ 四边形BEDF是平行四边形.
(2)解：∵ DE=DF，四边形BEDF是平行四边形，
∴ 四边形BEDF是菱形，
∴ DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，
设AE=x，则DE=BE=8−x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2=DE2
∴ x2+62=(8−x)2，
解之得：x=74，
∴ DE=8−74=254，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2=BD2
∴ BD=62+82=10，
∴ OD=12 BD=5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 −OD2=OE2，
∴ OE=(254)2−52=154，
∴ EF=2OE=152．
25.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴ BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90∘，
∴ ∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴ ∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，
BC = DC，∠ BCG = ∠ DCE， CG = CE ，
∴ △BCG≅△DCE(SAS)，
∴ BG=DE.
(2)①连接BE．由(1)可知：BG=DE，
∵ CG // BD，
∴ ∠DCG=∠BDC=45∘，
∴ ∠BCG=∠BCD+∠GCD=90∘+45∘=135∘．
∵ ∠GCE=90∘，
∴ ∠BCE=360∘−∠BCG−∠GCE=360∘−135∘−90∘=135∘，
∴ ∠BCG=∠BCE，
在△BCG和△BCE中，
BC = BC，∠ BCG = ∠ BCE， GC = EC ，
∴ △BCG≅△BCE(SAS)．
∴ BG=BE．
∵ BG=BD=DE，
∴ BD=BE=DE，
∴ △BDE为等边三角形，
∴ ∠BDE=60∘.
②延长EC交BD于点H，
在△BCE和△DCE中，
DE = BEDC = BC CE = CE，
∴ △BCE≅△DCE(SSS)，
∴ ∠BEC=∠DEC，
∴ EH⊥BD，BH = 12BD．
∵ BC=CD=2，在Rt△BCD中由勾股定理，
得：BD = BC2 + CD2 = (2)2 + (2)2 = 2．
∴ BH=1，
∴ CH=1．
在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH = 3，
∴ CE = 3−1．
∴ 正方形CEFG的边长为3−1．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
（1）根据正方形的性质可以得出BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90∘，再证明△BCG≅△DCE就可以得出结论；
（2）①根据平行线的性质可以得出∠DCG=∠BDC=45∘，可以得出∠BCG=∠BCE，可以得出△BCG≅△BCE，得出BG=BE得出△BDE为正三角形就可以得出结论；
②延长EC交BD于点H，通过证明△BCE≅△BCG就可以得出∠BEC=∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH = 12BD，由勾股定理就可以求出EH的值，从而求出结论．
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴ BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90∘，
∴ ∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴ ∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，
BC = DC，∠ BCG = ∠ DCE， CG = CE ，
∴ △BCG≅△DCE(SAS)，
∴ BG=DE.
(2)①连接BE．由(1)可知：BG=DE，
∵ CG // BD，
∴ ∠DCG=∠BDC=45∘，
∴ ∠BCG=∠BCD+∠GCD=90∘+45∘=135∘．
∵ ∠GCE=90∘，
∴ ∠BCE=360∘−∠BCG−∠GCE=360∘−135∘−90∘=135∘，
∴ ∠BCG=∠BCE，
在△BCG和△BCE中，
BC = BC，∠ BCG = ∠ BCE， GC = EC ，
∴ △BCG≅△BCE(SAS)．
∴ BG=BE．
∵ BG=BD=DE，
∴ BD=BE=DE，
∴ △BDE为等边三角形，
∴ ∠BDE=60∘.
②延长EC交BD于点H，
在△BCE和△DCE中，
DE = BEDC = BC CE = CE，
∴ △BCE≅△DCE(SSS)，
∴ ∠BEC=∠DEC，
∴ EH⊥BD，BH = 12BD．
∵ BC=CD=2，在Rt△BCD中由勾股定理，
得：BD = BC2 + CD2 = (2)2 + (2)2 = 2．
∴ BH=1，
∴ CH=1．
在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH = 3，
∴ CE = 3−1．
∴ 正方形CEFG的边长为3−1．