高考数学(理数)一轮精品复习：第5章《数列》讲与练(43页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第5章《数列》讲与练(43页学生版)，共43页。试卷主要包含了数列的通项公式；　2等内容，欢迎下载使用。
第五章 数列
第一节　数列的概念与简单表示
本节主要包括2个知识点：　1.数列的通项公式；　2.数列的性质.
突破点(一)　数列的通项公式　


1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
4．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．

1．判断题
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)
(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
2．填空题
(1)已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为________．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a2＝________.
(3)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________________．




利用数列的前几项求通项
给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系．
[例1]　(1)数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2 B．an＝(－1)nn2
C．an＝(－1)n＋1n2 D．an＝(－1)n(n＋1)2
(2)把1,3,6,10,15，…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第7个三角形数是(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30

[方法技巧]
由数列的前几项求通项公式的思路方法
(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[提醒]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．　
　







利用an与Sn的关系求通项
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．
[例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.











[方法技巧]
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　


利用递推关系求通项
[例3]　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．


[方法技巧]　　　典型的递推数列及处理方法
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
叠加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
叠乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)
化为等比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
(A，B，C为常数)
化为等差数列
a1＝1，an＋1＝


1.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x的值为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
2.数列1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
B．an＝(－1)n－1(n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．an＝(－1)n－1(n∈N*)
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an＝(　　)
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n





突破点(二)　数列的性质　


数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项


(1)已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N*)，则{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
(2)数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．
(3)现定义an＝5n＋n，其中n∈N*，则{an}是_______数列(填“递增”或“递减”)．
(4)对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的____________条件．




数列的单调性
(1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．
(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去．
[例1]　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　)
A. B．
C. D．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6)
C．(－∞，－3) D．

[方法技巧]
1．判断数列单调性的两种方法
(1)作差比较法
an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an0时
①>1⇔数列{an}是单调递增数列；
②0，d1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)
A．38 B．20
C．10 D．9

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a7＋a10＝9，S14－S3＝77，则使Sn取得最小值时n的值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S130，则在数列中绝对值最小的项为(　　)
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项


突破点(三)　等差数列的判定与证明　


等差数列的判定与证明
[典例]已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．
(1)求证数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.






[方法技巧]　　等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
[提醒]　判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．

1．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
　　　　　
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
2．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．












[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　 　　　　　　　　　
1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)
A．－24 B．－3
C．3 D．8
2．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
3．等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．



4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．











[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　等差数列基本量的计算
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
2．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)
A．37 B．36
C．20 D．19
3．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(3n－1) B．
C．n(n＋1) D．
4．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)
A．－1 B．0
C. D．



对点练(二)　等差数列的基本性质及应用
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为(　　)
A．18 B．19
C．20 D．21
2．设数列{an}是公差d0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn;
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.









第三节 等比数列及其前n项和
本节主要包括3个知识点：　
1.等比数列基本量的计算；　2.等比数列的性质；　3.等比数列的判定与证明.

突破点(一)　等比数列基本量的计算　


1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝




1．判断题
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
2．填空题
(1)等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6＝________.
(2)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则公比q＝________，S4＝________.
(3)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________.
(4)在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________.



等比数列基本量的计算
解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

[典例]　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)
A．4 B．
C．2 D．
(2)设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}前n项和Tn.






1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)
A．4n－1 B．4n－1
C．2n－1 D．2n－1
2．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比q的值为(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
3．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝3，S6＝63，则S5＝(　　)
A．－33 B．15
C．31 D．－33或31
4．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.






















突破点(二)　等比数列的性质　


(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
(5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.
(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(7)若数列{an}的项数为2n，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.


(1)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________.
(2)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
(3)在等比数列{an}中，若a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝________.
(4)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝3，a＝4a3a7，则数列{an}的通项公式an＝________.












等比数列的性质
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例]　(1)(设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)
A．2 B．
C. D．1或2
(2)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)
A．210 B．220
C．216 D．215

[易错提醒]
(1)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有m＋n＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．
(2)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．　　


1．已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
2．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝(　　)
A．3 B．6
C．27 D．9
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝(　　)
A．31 B．36 C．42 D．48
4．已知等比数列{an}的公比q>0，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝(　　)
A. B． C. D．2



突破点(三)　等比数列的判定与证明　


等比数列的判定与证明
　　等比数列的四种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例]已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.














[易错提醒]
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　　


1．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是(　　)
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．
(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．










　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21 B．42
C．63 D．84
3．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 ＝ a2 ＋10a1 ，a5＝9，则a1＝(　　)
A. B．－ C. D．－

4．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.









[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　等比数列基本量的计算
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则＝(　　)
A．－3 B．5
C．－31 D．33
2．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
3．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)
A．1 B．±1
C．2 D．±2
4．已知在等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)
A.或5 B．或5
C. D．
6．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是(　　)
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了四十二里路

对点练(二)　等比数列的性质
1．已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝(　　)
A．±64 B．64
C．32 D．16
2．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)
A．32 B．64
C．128 D．256
3．若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是(　　)
A．pm B．p2m
C．qm D．q2m
4．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为(　　)
A. B．
C．2 D．2
5．一个等比数列{an}的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项

对点练(三)　等比数列的判定与证明
1．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．数列{an}中，a1＝p，an＋1＝qan＋d(n∈N*，p，q，d是常数)，则d＝0是数列{an}是等比数列的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[大题综合练——迁移贯通]
1．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)．
(1)证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn0，a≠1)
loga＝loga(n＋1)－logan
[例3]已知数列是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.















[方法技巧]
用裂项法求和的裂项原则及规律
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．　　

1.已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝(　　)
A.－1　　　 B．－1
C.－1 D．＋1
2.已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
3.已知数列{an}，{bn}满足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.









4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.










突破点(二)　数列的综合应用问题　
1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有：(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质；(2)重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组))的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.
2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方式有：(1)以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通项公式或前n项和；(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题.
3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等.(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等.(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.



等差数列与等比数列的综合问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]已知等比数列{an}满足an>0，a1a2a3＝64，Sn为其前n项和，且2S1，S3,4S2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求数列的前n项和Tn.






[方法技巧]
等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略
(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
[提醒]　在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．　　

数列与函数的综合问题
[例2]　已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*.
(1)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,00，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．










[课时达标检测]
[小题常考题点——准解快解]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝5－n，其前n项和为Sn，将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn.若存在m∈N*，使对任意n∈N*，Sn≤Tm＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(2，＋∞)
2．已知数列{an}满足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，如果函数f(n)＝＋＋…＋(n∈N*，n≥2)，那么函数f(n)的最小值为(　　)
A. B．
C. D．
3．据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)
A．11 B．13
C．15 D．17



4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　)
A. B．
C. D．
5．数列{an}满足a1＝，an＋1＝，若不等式＋＋…＋1，a1＝1，且2a2，a4,3a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.










2．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.


















3．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋，求数列{cn}的前n项和．












4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋2－an＋，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn