高考数学(理数)一轮精品复习：第8章《解析几何》讲与练(111页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第8章《解析几何》讲与练(111页学生版)，共111页。试卷主要包含了直线的方程；，直线的交点、距离与对称问题等内容，欢迎下载使用。
第八章解析几何
第一节　 直线与方程

本节主要包括3个知识点：
　1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；
　2.直线的方程；
3.直线的交点、距离与对称问题.

突破点(一)　直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系　



1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．
2．直线的斜率公式
(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α.
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．两条直线平行与垂直的判定
两条直
线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2
两条直
线垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2


1．判断题
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
2．填空题
(1)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m＝________.
(2)如图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为________．
(3)已知直线l1：x＝－2，l2：y＝，则直线l1与l2的位置关系是________．
(4)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．





直线的倾斜角与斜率

1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k
k＝tan α>0
k＝0
k＝tan α0时，两直线kx－y＝0,2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为________．
4.已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．
5.△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．


突破点(三)　直线的交点、距离与对称问题　


1．两条直线的交点

2．三种距离
类型
条件
距离公式
两点间的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两平行直线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝


1．判断题
(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　　)
2．填空题
(1)两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为________．
(2)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是________．
(3)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
(4)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．





交点问题

[例1]　(1)当00)
圆心：(a，b)
半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：
半径：r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)20.(　　)
2．填空题
(1)圆x2＋y2－4x＋8y－5＝0的圆心为________，半径为________．
(2)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________________．
(3)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．



求圆的方程

1．求圆的方程的两种方法
直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定
系数法
(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
2.确定圆心位置的三种方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[例1]　(1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．
(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．
(3)若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．

[方法技巧]
1．确定圆的方程必须有三个独立条件
不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．
2．几何法在圆中的应用
在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　






与圆有关的对称问题
1．圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称．
2．圆关于点对称
(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
[例2]圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4

1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
2.圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
3.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4.圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为________________．
5.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．
6.已知点C(－1,0)，以C为圆心的圆与直线x－y－3＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)如果圆C上存在两点关于直线mx＋y＋1＝0对称，求m的值．







突破点(二)　与圆的方程有关的综合问题　(对应学生用书P148)

圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.



与圆有关的轨迹问题

[例1]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．








[方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的四种方法


与圆有关的最值问题
[例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．










[方法技巧]　　与圆有关最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
常见类型
解题思路
μ＝型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题

1.已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
2.设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
3.已知P是直线3x＋4y－10＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________．




4.已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．









[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)　
A．2 B．8
C．4 D．10
2．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．













[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　圆的方程
1．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
2．圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
4．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
5．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为____________________．
6．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
对点练(二)　与圆的方程有关的综合问题
1．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)
A．1＋ B．2
C．1＋ D．2＋2

2．圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)
A．2 B.
C．4 D.
3．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
4．已知A(0,3)，B，P为圆C：x2＋y2＝2x上的任意一点，则△ABP面积的最大值为(　　)
A. B.
C．2 D.
5．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．
6．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
7．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．






2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．












3．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．

















第三节　直线与圆、圆与圆的位置关系

本节主要包括2个知识点：　1.直线与圆的位置关系；　2.圆与圆的位置关系.


突破点(一)　直线与圆的位置关系



(1)直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)两种研究方法


1．判断题
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
2．填空题
(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．
(2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是k∈________.
(3)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
(4)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的切线，则切线长为________．











直线与圆的位置关系问题

判断直线与圆位置关系的方法
几何法
(1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式；
(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；
(3)比较d与半径的大小，然后写出结论
代数法
(1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量；
(2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)；
(3)得出结论
[例1]　(1)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么(　　)
A．m∥l，且l与圆相交
B．m⊥l，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离
D．m⊥l，且l与圆相离

[方法技巧]
直线与圆位置关系问题的求解策略
(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．　　






弦长问题

1．圆弦长问题的两个主要考查角度
(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．
(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．
2．求解弦长问题的两个思路
直线被圆所截0得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用解题思路：
(1)根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；
(2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题．
[例2]　(1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A. B．1
C. D.
(2)已知直线l：mx＋y＋＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相交，弦长为2，则m＝________.

[方法技巧]　　　解决圆弦长问题常用方法及结论
几何法


如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|







切线问题

[例3]　(1)已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为(　　)
A．y＝x＋
B．y＝－x＋
C．y＝x＋或y＝－x＋
D．x＝1或y＝x＋
(2)已知m>0，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．

[方法技巧]
1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出


1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0与2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
2.设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
4.已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：00).
方法
位置关系　　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
2．填空题
(1)已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为________．
(2)如果点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝6，那么点M的轨迹是________．
(3)若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．





椭圆的焦点三角形问题

(1)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
(2)以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
①|PF1|＋|PF2|＝2a.
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.
④焦点三角形的周长为2(a＋c)．
[例1]　(1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6
C．4 D．12
(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B.
C. D.



求椭圆的标准方程

求椭圆标准方程的两种思路方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
[例2]　(1)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
[方法技巧]　　待定系数法求椭圆方程的思路


1.矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
2.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1

3.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，则椭圆的方程为______________．

4.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为____________．

5.已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．








突破点(二)　椭圆的几何性质　)



标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形



性 质

范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2



1．判断题
(1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)
(2)椭圆＋y2＝1的离心率为.(　　)
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)
2．填空题
(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为________，离心率为________．
(2)椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为________．
(3)中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为________．



求椭圆的离心率

椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．
[例1]　(1)椭圆＋＝1的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
[方法技巧]
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
[提醒]　在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．　　

依据椭圆性质求值或范围(最值)

[例2]　(1)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
(2)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足00)上的一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.

2.若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.



3.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.

4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为|PQ|＝，则椭圆的短轴长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4

5.已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．

[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
2．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.

[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　椭圆的定义和标准方程
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对

2．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16

3．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
4.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为________．
6．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．





对点练(二)　椭圆的几何性质
1.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，·的最大值、最小值分别为(　　)
A．9,7 B．8,7
C．9,8 D．17,8
3．焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．已知椭圆＋＝1(00)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________．
7．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作圆．若点P是圆O上的动点，则|PF1|2＋|PF2|2的值是________．

8.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．



[大题综合练——迁移贯通]
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2， ·＝，求椭圆的方程．




















2．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C在第一象限上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.











3．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
















第五节 双 曲 线
本节主要包括2个知识点：　1.双曲线的定义和标准方程；　2.双曲线的几何性质.

突破点(一)　双曲线的定义和标准方程


1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2．标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．

1．判断题
(1)平面内到两点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
2．填空题
(1)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
(3)已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．
(4)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为____________．










双曲线定义的应用

(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；
(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．
[例1]　(1)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)
A．48 B．24
C．12 D．6
(2)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
[方法技巧]
双曲线定义的主要应用方面
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　　


双曲线的标准方程

待定系数法求双曲线方程的五种类型
类型一
与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b20)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b20)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是____________．

[方法技巧]
求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长



1．判断题
(1)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(2)等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．(　　)
(3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　)
2．填空题
(1)双曲线－＝1的焦距为________．
(2)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________．
(3)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为________．




双曲线的渐近线

[例1]　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为(　　)
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．4x±3y＝0 D．3x±4y＝0
(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

[方法技巧]
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0)．　　


双曲线的离心率

[例2]　(1)设点P是以F1，F2为左、右焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上一点，且满足·＝0，tan∠PF2F1＝，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
[方法技巧]
1．求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
2．双曲线的形状与e的关系
k＝＝＝＝，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
[提醒]　求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．　　


求参数或变量的取值范围

[例3]　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·0，b>0)的离心率为，则其渐近线的斜率为(　　)
A．±2 B．±
C．± D．±
2.过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，△OAB的面积为，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3.已知直线l1，l2是双曲线C：－y2＝1的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1距离的取值范围是，则点P到渐近线l2距离的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
5.设F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为(　　)
A．2 B.
C．2 D．3
6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率大于，则m的取值范围为____________．


[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
4．已知F是双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A. B．3 C.m D．3m
5．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．

7．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．







[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　双曲线的定义和标准方程
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使＝e，则·的值为(　　)
A．3 B．2
C．－3 D．－2
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)
A. B．11
C．12 D．16
6．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为____________________．
7．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．



对点练(二)　双曲线的几何性质
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2．若圆(x－3)2＋y2＝1上只有一点到双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．±
C．±1 D．±
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为(1,0)，若双曲线上存在点P，使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
6．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，] B．(1,2]
C．[，＋∞) D．[2，＋∞)
7．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若＝，则双曲线的渐近线方程为________________．
8．已知椭圆＋＝1的右焦点F到双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离小于，则双曲线E的离心率的取值范围是________．
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．










2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．










3．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．







第六节 抛 物 线
本节主要包括2个知识点：　
1.抛物线的定义及其应用；　2.抛物线的标准方程及性质.
突破点(一)　抛物线的定义及其应用



抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

1．判断题
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)AB为抛物线y2＝4x的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，y1y2＝－1，弦长|AB|＝x1＋x2＋2.(　　)
2．填空题
(1)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为________．
(2)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．







利用抛物线的定义求解距离问题

[例1]　(1)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)
A．(0,0) B.
C．(1，) D．(2,2)
(2)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
(3)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．

[方法技巧]
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．　　



焦点弦问题
焦点弦的常用结论
以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)S△AOB＝(其中θ为直线AB的倾斜角)；
(5)＋＝为定值；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
[例2]已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝4|FB|，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则p＝________.



[方法技巧]
焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．　


1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|＝(　　)　　　　
A．8 B.
C．6 D.
2.过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
3.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为(　　)
A. B．1
C. D.
4.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A. B.
C．1 D．2
5.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.














突破点(二)　抛物线的标准方程及性质


图形




标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
坐标




准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
离心率
e＝1
焦半径
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋



1．判断题
(1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
2．填空题
(1)以(－1,0)为焦点的抛物线的标准方程为____________________________．
(2)抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
(3)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为________．
(4)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为________．




求抛物线的标准方程

[例1]　(1)若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________________________．
(2)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________________．











[方法技巧]　　求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解
法二
设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m2，则点A到原点的距离为(　　)
A. B．2
C．4 D．8





[方法技巧]
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．　　




抛物线方程的实际应用

[例3]　一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．











[方法技巧]
抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．


1.抛物线y＝3x2的焦点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
2.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A. B．－
C．4 D．－4
3.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝2y D．x2＝y

4.过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．

6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．



[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A. B．1
C. D．2
2．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
3．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2



5．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.


[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　抛物线的定义及其应用
1．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．3 B．4
C．7 D．13
3．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)
A．2－1 B．2－2
C.－1 D.－2
6．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
7．过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，||FB|－|FA||＝________.





对点练(二)　抛物线的标准方程及性质
1．抛物线y2＝2px(p>0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则p＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
2．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA―→与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为(　　)
A. B．2
C. D．1
3．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标为(3,2)，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8x
C．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x
4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
5．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，则其中最长支柱的长为________米．

6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

7．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．










[大题综合练——迁移贯通]
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．











2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则点P的轨迹是________．
(3)已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是________．



直接法求轨迹方程

[例1]　(1)|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．抛物线 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点且直线AP与BP的斜率之积等于－，则动点P的轨迹方程为________________．
[方法技巧]
直接法求轨迹方程的思路
直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．　　


定义法求轨迹方程

[例2]　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．











[方法技巧]
定义法求轨迹方程的思路
应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．　　


代入法求轨迹方程

[例3]　设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．












[方法技巧]
代入法求轨迹方程的四个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)．
(2)寻找所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.
(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．　　


1.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　　　 B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
2.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
3.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________________．
4.如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若＝λ.
(1)求N点的轨迹方程；
(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．













[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.











2．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．















[课时达标检测]
[小题常考题点——准解快解]
1．方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
2．已知A(－1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，当λ＜0时，动点M的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2 (O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
4．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
5．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________．
6．设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________________．








[大题常考题点——稳解全解]
1．已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹C的方程．











2．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值；
(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．




3.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是点D，点M满足＝.
(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．









4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．AO，BO的延长线与直线x＝－4分别交于P，Q两点．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)连接OM，求△OPQ与△BOM的面积比．











5．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2＝0相切．
(1)求圆C1的标准方程；
(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足＝m＋(1－m) (其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程；
(3)在(2)的结论下，当m＝时，得到动点Q的轨迹为曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B，D两点，求△OBD面积的最大值．















第八节　直线与圆锥曲线
本节主要包括2个知识点：　1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.圆锥曲线中弦的问题.

突破点(一)　直线与圆锥曲线的位置关系　


判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，则
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．

1．判断题
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．(　　)
2．填空题
(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为________________．
(2)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．
(3)直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是________．
(4)已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．







直线与圆锥曲线位置关系的判定

[例1]　设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[方法技巧]
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
[提醒]　联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．　


由直线与圆锥曲线的位置关系求参数

利用直线与圆锥曲线位置关系解题时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
[例2]　已知一条斜率为k(k≠0)的直线l，与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且M，N到点A(0，－1)的距离相等，求k的取值范围．













1.若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
2.若直线kx＋y－1＝0(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,5)
C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1，＋∞)
3.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
4.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．

















突破点(二)　圆锥曲线中弦的问题　


圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|
＝·＝ ·|y1－y2|＝ ·.

1．判断题
(1)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B (x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.(　　)
(2)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)
2．填空题
(1)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________________．
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是_________．




弦长问题

[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．






[方法技巧]
求解弦长的四种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2或(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．
(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
[提醒]　利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　　


中点弦问题
考法(一)　由中点弦确定直线或曲线方程
[例2]　(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0 B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[方法技巧]
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：






考法(二)　对称问题
[例3]　如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．










[方法技巧]
解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用．　　


1.已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|＝(　　)
A．3 B．4
C．3 D．4
2.已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝________.


5.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．求实数m的取值范围．












[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　
1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)
A. B．2
C．2 D．3
2．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)




3．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．










4．已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．


















5．在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．











[课时达标检测]
[小题常考题点——准解快解]
1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．0
2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝(　　)
A. B.
C. D．0
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　)
A. B.
C．2 D．3
5．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．
7．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝________.

[大题常考题点——稳解全解]
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．





2．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点是抛物线x2＝－4y的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．








3．已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.
(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；
(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，·＝2，求抛物线C的方程．










4.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．















第九节 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
本节主要包括3个知识点：　
1.圆锥曲线中的最值问题；　2.圆锥曲线中的范围问题；　3.圆锥曲线中的几何证明问题.

突破点(一)　圆锥曲线中的最值问题　

圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.




利用几何性质求最值

[例1]　设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
[方法技巧]
当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等解决，该方法叫做几何法．　　


建立目标函数求最值

[例2]如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．



[方法技巧]
当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等．　　


利用基本不等式求最值

[例3]已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
(1)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．

















[方法技巧]
利用基本不等式求最值的策略
(1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．
(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．　　



1.如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线C的方程；
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．












2.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.

(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．








3.如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k′.
(1)求证：k·k′为定值；
(2)求|AB|·|CD|的最大值．










突破点(二)　圆锥曲线中的范围问题　
圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解.一般有五种思考方法：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；(5)利用函数的值域，确定参数的取值范围.


利用判别式构造不等关系求范围
[例1]　已知m>1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：＋y2＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点．
(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．



[方法技巧]　利用判别式构造不等关系求范围的步骤


利用函数性质求范围

[例2]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1， ·＝0，求||＋||的取值范围．












[方法技巧]
利用函数性质求范围的策略
(1)利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．
(2)在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．　　


1.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2＋y2＝，若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
(2)过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明：原点O到直线AB的距离是定值，并求实数m的取值范围．










2.已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1,0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围．














突破点(三)　圆锥曲线中的几何证明问题　
　圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.


圆锥曲线中的几何证明问题

[典例]如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.











1．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.




2．已知点A(－4,0)，直线l：x＝－1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．













[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．














2．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．













3．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．












[课时达标检测]
[一般难度题——全员必做]
1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．












2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．












3．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．













[中档难度题——学优生做]
1．过离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|＝λ|FB|，T(2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．












2．已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．
(1)若＝6，求k的值；
(2)求四边形AEBF面积的最大值．













[较高难度题——学霸做]
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．












2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．






























第十节 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
本节主要包括2个知识点：　
1.圆锥曲线中的定点、定值问题；　2.圆锥曲线中的存在性问题.

突破点(一)　圆锥曲线中的定点、定值问题　
锥曲线中的定点、定值问题是解析几何中的常见问题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现在解答题中.



圆锥曲线中的定点问题

[例1]如图，设直线l：y＝k与抛物线C：y2＝2px(p>0，p为常数)交于不同的两点M，N，且当k＝时，抛物线C的焦点F到直线l的距离为.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ过定点．



















[方法技巧]　　 圆锥曲线中定点问题的两种解法


圆锥曲线中的定值问题

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
代数式
为定值
依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值
点到直线
的距离为
定值
利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得
某线段长
度为定值
利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得

方法(一)　从特殊到一般求定值
[例2]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．













[方法技巧]
定值问题必然是在变化中所表示出来的不变的量，常表现为求一些直线方程、数量积、比例关系等的定值．解决此类问题常从特征入手，求出定值，如有必要，再证明这个值与变量无关．　　

方法(二)　直接消参求定值
[例3]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．







1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．









2.如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.
(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．














3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．













突破点(二)　圆锥曲线中的存在性问题　
1.圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.
2.圆锥曲线的存在性问题主要体现在以下几个方面：
(1)点的存在性.
(2)曲线的存在性.
(3)探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系.



探究是否存在常数的问题

[例1]　 如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
















[方法技巧]
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．　　


探究是否存在点的问题

[例2]已知点P是圆F1：(x－1)2＋y2＝8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点G的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．












探究是否存在直线的问题
[例3]　如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且·＝1，||＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．







[方法技巧]
解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．　　

1.已知直线y＝k(x－2)与抛物线Γ：y2＝x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N.
(1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行；
(2)是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．










2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|＝(其中O为坐标原点)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．










3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．









[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．

















2．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．











3．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

















[课时达标检测]
[一般难度题——全员必做]
1．已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．
(1)求圆心M的轨迹方程；
(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．











2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：＋y2＝1上的非坐标轴上的点，且4kOA·kOB＋1＝0(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)．
(1)证明：x＋x，y＋y均为定值；
(2)判断△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．















3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．








[中档难度题——学优生做]
1.如图已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问，是否存在一个定点M(t,0)，使得·＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．














2．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)，且a＞b＞c＞0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．








[较高难度题——学霸做]
1．如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．
(1)若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；
(2)记△GFD的面积为S1，△OED(O为原点)的面积为S2.
试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明理由．













2．已知椭圆D：x2＋＝1的左焦点为F，其左，右顶点为A，C，椭圆与y轴正半轴的交点为B，△FBC的外接圆的圆心P(m，n)在直线x＋y＝0上．
(1)求椭圆D的方程；
(2)已知直线l：x＝－，N是椭圆D上的动点，MN⊥l，垂足为M，问：是否存在点N，使得△FMN为等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．