高考数学(理数)一轮精品复习：第9章《统计与统计案例》讲与练(38页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第9章《统计与统计案例》讲与练(38页学生版)，共39页。试卷主要包含了随机抽样；　2，4，则x，y的值分别为，79 kg等内容，欢迎下载使用。

第十章统计与统计案例
第一节 统　计
本节主要包括2个知识点：　1.随机抽样；　2.用样本估计总体.

突破点(一)　随机抽样　


1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
2．系统抽样
在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．
3．分层抽样
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
4．三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
均为不放回抽样，且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等
从总体中逐个抽取
是后两种方法的基础
总体中的个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
元素个数很多且均衡的总体抽样
分层抽样
将总体分成几层，分层按比例进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成


1．判断题
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　　)
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)
(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．(　　)
(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　　)
(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)
2．填空题
(1)利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
(2)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是________．
(3)某公司共有1 000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________．
(4)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．




简单随机抽样

1．抽签法的步骤
第一步，将总体中的N个个体编号；
第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀；
第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；
第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出．
2．随机数法的步骤
第一步，将个体编号；
第二步，在随机数表中任选一个数开始；
第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．




[例1]　(1)总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
　
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07
C．02 D．01
(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________．
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．

系统抽样

　系统抽样的步骤

[例2]　(1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)
A．50 B．40
C．25 D．20
(2)将高一(九)班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．

[易错提醒]
用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．　


分层抽样

进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
[例3]　(1)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200 人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n＝(　　)
A．860 B．720
C．1 020 D．1 040
(2)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
(3)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).

篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
[方法技巧]
分层抽样的解题策略
(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．
(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．
(4)抽样比＝＝.　　　



1.某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：
①1,2,3，…，100；　②001,002，…，100；
③00,01,02，…，99；　④01,02,03，…，100.
其中正确的序号是(　　)
A．②③④ B．③④
C．②③ D．①②
2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2 C．p1＝p3 3.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(　　)
A．10 B．11
C．12 D．16
4.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．
5.为了了解本班学生对网络游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01,02,03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03,09，则抽取的学生中最大的编号为________．

突破点(二)　用样本估计总体　



1．频率分布直方图和茎叶图
(1)作频率分布直方图的步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．

(2)频率分布折线图和总体密度曲线
频率分布
折线图
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图
总体密
度曲线
随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线
(3)茎叶图的优点
茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．
2．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
定义与求法
优点与缺点
众数
一组数据中重复出现次数最多的数
众数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征
中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)
中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
平均数
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝
平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低

(2)标准差、方差
①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，
一般用s表示，s＝ .
②方差：标准差的平方s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．

(3)平均数、方差公式的推广
若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2.

1．判断题
(1)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　　)
(2)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(　　)
(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(　　)
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(　　)
(5)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　)
(6)一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论．(　　)
2．填空题
(1)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．

(2)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：

①[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；
②据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．



(3)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是____________．

(4)一组数据分别为：12,16,20,23,20,15,28,23，则这组数据的中位数是________．
(5)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．



频率分布直方图
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．











[方法技巧]
1．绘制频率分布直方图时需注意的两点
(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；
(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．
2．与频率分布直方图计算有关的两个关系式
(1)×组距＝频率；
(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．　　

茎叶图
1.茎叶图的绘制需注意：
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．
2．茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．
[例2]　为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5
2．5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4
1．6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？



[方法技巧]
茎叶图问题的求解策略
(1)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表问题时，要充分对这个图表提供的样本数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．
(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图数据求出样本数据的数字特征，进一步估计总体情况．　　


样本的数字特征

(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，需先计算数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)，分析稳定情况．
(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性比较方差(标准差)的大小．

考法(一)　与频率分布直方图交汇命题
[例3]　某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数．









[方法技巧]
频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．　　

考法(二)　与茎叶图交汇命题
[例4]　(1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为(　　)

A.7,8 B．5,7
C．8,5 D．7,7
(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

则7个剩余分数的方差为________．
[易错提醒]
在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．　　
考法(三)　与优化决策问题交汇命题
[例5]　甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[方法技巧]
利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．　　


1.在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积的和的，且样本容量为80，则中间一组的频数为(　　)
A．0.25 B．0.5
C．20 D．16
2．[考点二]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　)

A.3,5 B．5,5
C．3,7 D．5,7
3．[考点一]为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是(　　)

A．36 B．40
C．48 D．50


4.[考点三·考法(二)]如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,1.6 D．85,4

5．[考点三·考法(三)]甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
6．[考点三·考法(一)]全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：
空气质量指
数(μg/m3)
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,250]
空气质量
等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；

(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．









[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
2．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)

A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
4．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
5．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标
值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

















[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　随机抽样
1．某学校为了了解某年高考数学的考试成绩，在高考后对该校1 200名考生进行抽样调查，其中有400名文科考生，600名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽取120名考生作为样本，记这项调查为①；从10名家长中随机抽取3名参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
2．某校高三年级共有学生900人，编号为1,2,3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在[481,720]的人数为(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　)

A．93 B．123
C．137 D．167
4．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1,2,3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是(　　)
A．30 B．31
C．32 D．33
5．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________________________________________________________________________
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)．
84　42　17　53　31　57　24　55　06　88　77　04　74
47　67　21　76　33　50　25　83　92　12　06　76
63　01　63　78　59　16　95　56　67　19　98　10　50
71　75　12　86　73　58　07　44　39　52　38　79
33　21　12　34　29　78　64　56　07　82　52　42　07
44　38　15　51　00　13　42　99　66　02　79　54

6．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．
7．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________．

对点练(二)　用样本估计总体
1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设所得分数的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)

A．me＝m0＝ B．me＝m0<
C．me 2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　)

A.32　34　32 B．33　45　35
C．34　45　32 D．33　36　35




3．已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差为8，则a的值为(　　)
A．1 B.
C．2 D．4
4．已知数据x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这(n＋1)个数据中，下列说法正确的是(　　)
A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
5．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
6.五一期间，某淘宝店趁势推出了“抢红包”的促销活动．已知每人有5次抢红包的机会，每次可得到1元至30元不等的红包．甲、乙二人在这5次抢红包活动中获得的红包金额的茎叶图如图所示．若甲5次获得的红包金额的均值为x1，乙5次获得的红包金额的均值为x2，则x1－x2＝________.








7．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
8．已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x2，－y这四个数据的平均数为1，则y－的最小值为________．
[大题综合练——迁移贯通]
1．某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示．

你认为选派谁参赛更合适？并说明理由．

2．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：

(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：
①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?
②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．



3．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．






















第二节 统计案例
本节主要包括2个知识点：　1.回归分析；　2.独立性检验.
突破点(一)　回归分析
　

1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
回归
直线
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线
回归
方程
回归方程为＝x＋，其中＝， ＝－
最小
二乘法
通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法
相关
系数
当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性


1．判断题
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(　　)
(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(　　)
(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(　　)
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．(　　)
2．填空题
(1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，大小关系为________________．

(2)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，经计算得到它们的相关系数r的值如表所示，其中拟合效果最好的模型是________.
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
r
0.98
0.80
0.50
0.25
(3)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋x，若i＝17，i＝4，则的值为________．
(4)经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．



相关关系的判断
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　(1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　)

(2)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
[方法技巧]
判断相关关系的两种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强．　　


线性回归分析
1.求回归直线方程的步骤

2．利用回归直线方程进行预测是对总体的估计，此估计值不是准确值．进行预测时，把自变量代入回归直线方程即可对因变量进行估计．
[例2]某品牌2018款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S店分别进行了两天试销售，得到如下数据：
4S店
甲
乙
丙
丁
戊
单价
x/万元
18.0
18.6
18.2
18.8
18.4
19.0
18.3
18.5
18.5
18.7
销量
y/辆
88
78
85
75
82
66
82
78
80
76
(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程＝x＋；
(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?
附：＝，＝－.







[方法技巧]
1．回归直线方程中系数的两种求法
(1)公式法：利用公式，求出回归系数，.
(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(，)求系数．
2．回归分析的两种策略
(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．
(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数.　　


非线性回归分析

[例3]　某地区不同身高的未成年女性的体重平均值如下表：
身高
x/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重
y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
试建立y与x的回归方程．















[方法技巧]
对于非线性化的回归分析问题，通常先画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型，再进行变量代换，求出代换后的回归直线方程，即得所要求的非线性的回归方程．　　


1.两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　
A．①②③ B．②③①
C．②①③ D．①③②
2．[考点二]根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，若a＝5.4，则x每增加1个单位，y就(　　)
x
3
4
5
6
7
y
4
2.5
－0.5
0.5
－2
A.增加0.9个单位 B．减少0.9个单位
C．增加1个单位 D．减少1个单位
3．[考点三]若一函数模型为y＝sin2 α＋2sin α＋1，为将y转化为t的回归直线方程，则需作变换t＝(　　)
A．sin2 α B．(sin α＋1)2
C.2 D．以上都不对
4.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④




5.调查某公司的五名推销员，其工作年限与年推销金额如下表：
推销员
A
B
C
D
E
工作年限x(年)
2
3
5
7
8
年推销金额y(万元)
3
3.5
4
6.5
8
(1)在图中画出年推销金额关于工作年限的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；
(2)利用最小二乘法求年推销金额关于工作年限的回归直线方程；
(3)利用(2)中的回归方程，预测工作年限为10年的推销员的年推销金额．
附：＝，＝－.




突破点(二)　独立性检验　



1．分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
2．列联表
列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)，可利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．

1．判断题
(1)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的值越大．(　　)
(2)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(　　)
2．填空题
(1)下面是2×2列联表：

y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
总计
b
46
120
则表中a，b的值分别为________．
(2)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(选填：有关，无关)．
(3)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
















独立性检验的实际应用
[典例]　为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：

未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
总计
50
50
100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为.
(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？

(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d
P(K2≥k0)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828











[易错提醒]
(1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K2的值．
(2)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．　　


1．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下所示的2×2列联表：

男
女
总计
走天桥
40
20
60
走斑马线
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝，算得K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828

参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”
2．已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．

(1)求n的值；
(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”？








[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法


新养殖法


(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
K2＝.










2．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据： i＝9.32， i yi＝40.17, ＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－ .























3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．




(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，＝ i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .









4．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－















[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　回归分析
1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

2．为了解某商品销售量y(件)与其单价x(元)的关系，统计了(x，y)的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是(　　)

A.＝－10x－198　　　 B.＝－10x＋198
C.＝10x＋198 D.＝10x－198
3．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，为将y转化为t的回归直线方程，需作变换t＝(　　)
A．x2 B．(x＋a)2
C.2 D．以上都不对
4．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表(单位：万元)
广告费
2
3
4
5
6
销售额
29
41
50
59
71
由表可得回归方程为＝10.2x＋，据此模拟，预测广告费为10万元时的销售额约为(　　)
A．101.2 B．108.8
C．111.2 D．118.2
5．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为(　　)
A．66% B．67%
C．79% D．84%
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1 B．0
C. D．1

7．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________.

对点练(二)　独立性检验
1．假设有两个分类变量x和y的2×2列联表
　 　y
x　　
y1
y2
总计
x1
a
10
a＋10
x2
c
30
c＋30
总计
60
40
100
对同一样本，以下数据能说明x与y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20
C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30
2．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是(　　)
A．有95%的把握认为“X和Y有关系”
B．有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C．有99%的把握认为“X和Y有关系”
D．有99%的把握认为“X和Y没有关系”
3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)
表1　　　　　　　　　　
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52

表3　　　　　　　　　　
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52

表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52

A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
则下面的正确结论是(　　)
附：K2＝
P(K2>k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
5．在独立性检验时计算的K2的观测值k＝3.99，那么我们有________的把握认为这两个分类变量有关系．
6．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：

生产能手
非生产能手
总计
25周岁以上
25
35
60
25周岁以下
10
30
40
总计
35
65
100
有________以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．


[大题综合练——迁移贯通]
1．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，＝，＝－.














2．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：
天数t(天)
3
4
5
6
7
繁殖数量y(千个)
2.5
3
4
4.5
6
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖的数量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为＝，＝－.






3．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．

(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：

主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下



50岁以上



总计



(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．