初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线精练

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 学霸夯基——北师大版八年级下册  班级：                            姓名：                    一、单选题1．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）  A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】C【解析】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠CED=50°，∴∠ECB=40°=∠EBC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，2．如图所示，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分线ME交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线NF交BC于点N，交AC于点F，则∠MAN为（　　）  A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】A【解析】∵EM是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线∴AM=BM，AN=NC∴∠BAM=∠ABM，∠CAN=∠ACN设∠BAM=∠ABM =x，∠CAN=∠ACN =y∴∠BAC=∠BAM+∠MAN+∠CAN=x+y+∠MAN=130°在△AMN中，∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MAN+2∠BAM+2∠CAN=∠MAN+2(∠BAM+∠CAN)= ∠MAN+2(x+y)=180°联立解得：∠MAN=80°，x+y=50°3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于 AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF，则下列说法中正确是（　　）  A．DF平分∠ADC B．AF＝3CF C．AE＝AF D．DA＝DB【答案】C【解析】解：由作法得MN垂直平分AD，即EF⊥AD，∵AD平分∠BAC，∴AE＝AF．4．如图，在中，是的垂直平分线，，则的周长为13cm，则的周长是（　　）A．16cm B．17cm C．18cm D．19cm【答案】D【解析】∵是的垂直平分线，，∴AE=EC=3，AD=DC，AC=2AE=6，∵的周长为13cm，∴AB+BD+AD= AB+BD+DC=AB+BC=13（cm），∴AB+AC+BC=19（cm）．5．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　）  A．108° B．72° C．90° D．100°【答案】B【解析】解：连接PA，如图所示：四边形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝ ∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°；6．如图，三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为(　　)  A．80° B．75° C．65° D．45°【答案】D【解析】解：已知AB=AC，∠A=30°可得∠ABC=∠ACB=75°根据线段垂直平分线的性质可推出AD=CD所以∠A=∠ACD=30°所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°．7．如图，在 中， ， ， .分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于 、 两点，作直线 交 于点 ，则 的长为（　　）  A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ， 由 ， 可知，∠CBH=30°，∴ ，∴ ，∴ .设 ，则 ，根据作图可知 ，则 ，∴根据勾股定理可得 ，解得 ，∴8．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠DAC的度数为（　　）  A．90° B．80° C．70° D．60°【答案】A【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C，∴∠B= （180°﹣120°）=30°，∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB=DA，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣30°=90°．二、填空题9．如图， 四边形ABCD中， AB=AD， 点B关于AC的对称点B'怡好落在CD上， 若∠BAD=a， 则∠ACB的度数为　            　.（用含a的代数式表示）【答案】90°﹣ a【解析】解：连接BB＇、AB＇，过点A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'怡好落在CD上，∴AC垂直平分BB＇，∴AB=AB＇CB=CB＇，∴∠BAC=∠B＇AC，∠ACB=∠ACB＇，∵AB=AD，∴AD=AB＇，∵AE⊥CD，∴∠B＇AE=∠DAE，∠AEC=90°,∴∠CAE= ∠BAD= a，∴∠ACB＇=90°﹣∠CAE=90°﹣ a，∴∠ACB=∠ACB＇=90°﹣ a，10．如图，△ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是　     　．【答案】10【解析】解：因为AB的垂直平分线交AC于D，由垂直平分线上的点到两端点的距离相等可知AD=BD，所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+4=10.11．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AC=10cm，△ABE的周长为17cm，则AB的长为　     　cm.【答案】7【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB=EC，∵AB+BE+AE=17，∴AB+CE+AE=17，∵CE+AE=AC=10，∴AB=17-10=7.12．如图，在 中，边 的垂直平分线 交 边于D点，点E为垂足．若 的周长为7cm， 的周长为11cm．则 　     　cm．  【答案】4【解析】解： DE是AB的垂直平分线，AD = BD，又△ADC的周长为7cm， △ADC的周长= AC ＋ DC ＋ BD = AC ＋ BC = 7cm， △ABC的周长为11cm， △ABC的周长= AB ＋ BC ＋ AC = AB ＋ 7cm =11cm，AB = 4cm三、解答题13．如图，在△ABC中，F、G分别是AB、AC的中点，DF⊥AB交BC于点D，EG⊥AC交AC于点G，BC=10，求△ADE周长．  【答案】解：∵F、G分别是AB、AC的中点，DF⊥AB交BC于点D，EG⊥AC交AC于点G，  ∴DF与EG分别是AB与AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10【解析】由F、G分别是AB、AC的中点，DF⊥AB交BC于点D，EG⊥AC交AC于点G，可得DF与EG分别是AB与AC的垂直平分线，继而可得△ADE周长=BC．  14．如图，在 中， ， ，线段 的垂直平分线 交 于 ，求证： .  【答案】证明：连接 ，  ∵直线 是线段 的垂直平分线，∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ，又∵ ， ，∴ ， ，∴ ，又∵ ，∴ ，又∵ ，∴ .【解析】连接 ，根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半即可证明15．如图，已知BC=DE，∠BCF=∠EDF，AF垂直平分CD．求证：∠B=∠E．  【答案】证明：  ∵AF垂直平分CD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC，∵∠BCF=∠EDF，∵∠BCF﹣∠ACD=∠EDF﹣∠ADC，∴∠BCA=∠EDA，在△ABC和△AED中 ，∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠B=∠E．【解析】由已知条件和垂直平分线的性质易证∠BCA=∠EDA，再结合全等三角形的判断方法即可证明△ABC≌△AED，由全等三角形的性质：对应角相等即可得到∠B=∠E．  16．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P，过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，求证：BM=CN．  【答案】证明：连接BD，CD，如图，  ∴DE是BC的垂直平分线，∴BD=CD，∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，在Rt△BMD和Rt△CND中， ，∴Rt△BMD≌Rt△CND（HL），∴BM=CN【解析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．