人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性精练，共6页。

A.49B.29C.23D.13
【答案】A
【解析】设事件A=“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P（A）=23，事件B=“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P（B）=23.
又事件A，B相互独立，故P（AB）=P（A）P（B）=23×23=49.
2.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，分别能破译出的概率为15,13,14，则此密码能被破译出的概率是（ ）
A.160B.25C.35D.5960
【答案】C
【解析】设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则事件A，B，C相互独立，A与B,C，B与A,C，C与B,A也相互独立，
由已知得P（A）=15，P（B）=13，P（C）=14，且P（A B C）=P（A）P（B）P（C）=45×23×34=25.
故此密码被破译出的概率为1-25=35.
3.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13,12,23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为（ ）
A.19B.16C.13D.718
【答案】D
【解析】分别设汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则事件A，B，C相互独立，A与B,C，B与A,C，C与B,A也相互独立.由已知得P（A）=13，P（B）=12，P（C）=23，事件D=“停车一次”，则D=ABC∪ABC∪ABC，且ABC，ABC，ABC彼此互斥，
因此P（D）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=1−13×12×23+13×1−12×23+13×12×1−23=718.
4.甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ）
A.34B.23C.57D.512
【答案】D
【解析】根据题意，恰有一人获得一等奖有两种情况:甲获得乙没有获得，甲没有获得乙获得，这两个事件显然是互斥的，则所求概率是23×1−34+34×1−23=512.
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜.根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）
【答案】D
【解析】记事件为Ai（i=1，2，3）=“甲在第i局获胜”，则事件A1，A2，A3相互独立.
由已知得P（Ai）=0.6，甲获胜有两种情况，一是“甲以2∶0获胜”=A1A2，此时P1=0.6×0.6=0.36，二是“甲以2∶1获胜”=A1A2A3+A1A2A3，又知A1A2A3与A1A2A3互斥，此时P2=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288，故甲获胜的概率P=P1+P2=0.648.
6.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统才正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
【答案】B
【解析】方法一:由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P（K）=0.9，P（A1）=0.8，P（A2）=0.8，因为K，A1，A2正常工作相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为P（A1A2）+P（A1A2）+P（A1A2）=（1-0.8）×0.8+0.8×（1-0.8）+0.8×0.8=0.96.
所以系统正常工作的概率为P（K）[P（A1A2）+P（A1A2）+P（A1A2）]=0.9×0.96=0.864.
方法二:A1，A2至少有一个正常工作的概率为1-P（A1A2）=1-（1-0.8）（1-0.8）=0.96，故系统正常工作的概率为P（K）[1-P（A1A2）]=0.9×0.96=0.864.
7.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 .
【答案】0.24 0.96
【解析】三人均达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24，三人均未达标的概率为0.2×0.4×0.5=0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96.
8.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170,169,168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 .
【答案】370
【解析】加工出来的零件是次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率p=1-6970×6869×6768=370.
9.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了3个问题就晋级下一轮的概率等于 .
【答案】0.128
【解析】根据题意，若该选手恰好回答3个问题就晋级，则该选手第2个，第3个问题均回答正确，而第1个问题回答一定错误，故根据相互独立事件的概率乘法公式得其概率为0.2×0.8×0.8=0.128.
10.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且每次投篮互不影响.
求:（1）乙获胜的概率;
（2）投篮结束时乙只投了2个球的概率.
解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，
则P（Ak）=13，P（Bk）=12（k=1，2，3）.
（1）记“乙获胜”为事件C，
则P（C）=P（A1B1）+P（A1B1A2B2）+P（A1B1A2B2A3B3）
=P（A1）P（B1）+P（A1）P（B1）P（A2）P（B2）+P（A1）P（B1）P（A2）·P（B2）P（A3）P（B3）
=23×12+232×122+233×123=1327.
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，
则P（D）=P（A1B1A2B2）+P（A1B1A2B2A3）
=P（A1）·P（B1）P（A2）P（B2）+P（A1）P（B1）P（A2）P（B2）·P（A3）
=232×122+232×122×13=427.
1.已知两个独立事件A和B同时不发生的概率是p，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事件A发生的概率为（ ）
A.2pB.p2C.1-pD.1-2p
【答案】C
【解析】根据题意，设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b，
则有(1-a)(1-b)=p, ①a(1-b)=(1-a)b. ②由②知a=b，代入①即得a=1-p.
2.已知某批产品的合格率为34，不合格率为14，现对该产品进行测试，则事件“第3次首次取到正品”的概率为（ ）
A.3×142×34
B.3×342×14
C.142×34
D.342×14
【答案】C
【解析】根据题意，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则所求概率P=142×34.
3.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次.已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ）
B.0.2D.0.1
【答案】A
【解析】A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.
若A射击一次就击落敌机，则他击中敌机的机尾，故概率为0.1;
若A射击两次就击落敌机，则他两次都击中敌机的机首，概率为0.2×0.2=0.04;
或者A第一次没有击中机尾且第二次击中了机尾，概率为0.9×0.1=0.09.
所以A至多射击两次，他能击落敌机的概率为0.1+0.04+0.09=0.23.
4.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于（ ）
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
【答案】C
【解析】分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P（A）=13，P（B）=12，
由于A，B相互独立，所以1-P（A）P（B）=1-23×12=23.
根据对立事件可知C正确.
5.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13 s内（称为合格）的概率分别为25,34,13，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则下列事件概率最大的是（ ）
A.三人都合格
B.三人都不合格
C.恰有两人合格
D.恰有一人合格
【答案】D
6.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过四小时.
求:（1）甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
（2）甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.
解：（1）设事件A1=“甲不超过两小时还车”，事件A2=“甲两小时以上且不超过三小时还车”，事件A3=“甲三小时以上且不超过四小时还车”;事件B1=“乙不超过两小时还车”，事件B2=“乙两小时以上且不超过三小时还车”，事件B3=“乙三小时以上且不超过四小时还车”，则上述六个事件相互独立.
由已知得P（A1）=14，P（A2）=12，P（A3）=14，P（B1）=12，P（B2）=14，P（B3）=14.
设事件C=“所付费用相同”，则C=A1B1∪A2B2∪A3B3，且A1B1，A2B2，A3B3彼此互斥，
故P（C）=P（A1B1∪A2B2∪A3B3）=P（A1B1）+P（A2B2）+P（A3B3）=14×12+12×14+14×14=516.
（2）设事件D=“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元”，则D=A1B3∪A2B2∪A3B1，且A1B3，A2B2，A3B1彼此互斥，
故P（D）=P（A1B3∪A2B2∪A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=14×14+12×14+14×12=516.
7.某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率;
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他参加4次考试的概率.
解：设事件A1=“科目A第一次考试合格”，事件A2=“科目A补考合格”;事件B1=“科目B第一次考试合格”，事件B2=“科目B补考合格”.
（1）记事件C=“不需要补考就获得证书”，则C=A1B1，且A1与B1相互独立，
故P（A1B1）=P（A1）P（B1）=23×12=13.
（2）设事件D=“参加四次考试”，
则D=A1A2B1，且A1，A2，B1相互独立，P（D）=P（A1A2B1）=P（A1）·P（A2）P（B1）=13×23×12=19.