人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.2 事件的相互独立性习题

10.2　事件的相互独立性

基础过关练

题组一　相互独立事件的判断

1.(2021北京丰台高二上期末)抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则A与B的关系为              (　　)

A.互斥　　　B.相互对立

C.相互独立　　　D.相等

2.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 (　　)

A.互斥但不对立　　　B.对立

C.相互独立　　　D.既互斥又独立

3.掷一枚质地均匀的骰子一次,设事件A:“掷出偶数点”,事件B:“掷出3点或6点”,则事件A,B的关系是              (　　)

A.互斥但不相互独立

B.相互独立但不互斥

C.互斥且相互独立

D.既不相互独立也不互斥

4.(2020山东济南历城二中高一下检测)袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,如果记“第一次摸到白球”为事件A,“第二次摸到白球”为事件B,“第二次摸到黑球”为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是              (　　)

A.A与B,A与C均相互独立  B.A 与B相互独立,A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥  D.A与B互斥,A与C相互独立

5.已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)表示的是              (　　)

A.事件A,B同时发生的概率      B.事件A,B至少有一个发生的概率

C.事件A,B至多有一个发生的概率D.事件A,B都不发生的概率

题组二　相互独立事件的概率计算

6.若A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)= (　　)

A.

7.(2021北京大兴高二上期末)某班级举办投篮比赛,每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6,则他至少投中一次的概率为              (　　)

A.0.24　　　B.0.36　　　C.0.6　　　D.0.84

8.(2020山东枣庄高一下期末)若事件A与B相互独立,P(A)=,P(B)=,则P(A∪B)=              (　　)

A.

9.(2020贵州贵阳一中高一下期末)袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,这些球除颜色外完全相同,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为              (　　)

A.

10.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8,则该系统的可靠性(3个开关只要一个正常工作即为可靠)为              (　　)

A.0.504　　　B.0.994　　　C.0.996　　　D.0.964

11.某自助银行设有两台ATM机,在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为,,则客户此刻到达需要等待的概率为　　　　. 

12.(2021山东聊城高二上期中)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　. 

13.(2020山东临沂高一下期末)某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况,进行了一次20道题的问卷调查,每位同学都是独立答题,在回收的试卷中发现甲同学答对了12道题,乙同学答对了16道题.假设答对每道题都是等可能的,试求:

(1)任选一道题目,甲、乙都没有答对的概率;

(2)任选一道题目,恰有一人答对的概率.

能力提升练

题组　相互独立事件的概率计算

1.(2020福建福州第一中学高一期末,)某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛,现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响,现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则其中一名同学得2分的概率为              (　　)

A.0.5　　　B.0.48　　　C.0.4　　　D.0.32

2.(多选)(2021湖北武汉钢城四中高二下期中,)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是              (　　)

A.两个球都是红球的概率为

B.两个球中恰有一个红球的概率为

C.至少有一个红球的概率为

D.两个球不都是红球的概率为

3.(多选)(2020湖北武汉二中高一期末,)如图所示的电路中,5个盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是(　　)

A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为

B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为

C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为

D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为

4.(2021天津高三上期末,)一个袋子中有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球,每次从中取出1个球,取到白球得2分,取到黑球得3分.甲从袋子中有放回地依次取出3个球,则甲三次都取到白球的概率为　　　　,甲的总得分是7分的概率为　　　　. 

5.(2021辽宁葫芦岛高三上期末,)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判,在前3局中乙恰好当1次裁判的概率为　　　　. 

6.(2020辽宁省实验中学高一月考,)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行分析,求:

(1)三人都合格的概率;

(2)三人都不合格的概率;

(3)出现几人合格的概率最大.

7.(2020山东滨州高一下期末,)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

答案全解全析
基础过关练

1.C　根据题意,两个事件可以同时发生,也可以都不发生,

事件A发生与否对事件B没有影响,是相互独立事件,故选C.

2.C　∵P()=,∴P(A)=1-P()=1-,∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0,

∴事件A与B相互独立且事件A与B不是互斥事件,也不是对立事件.

3.B　事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=,即P(AB)=P(A)P(B),因此事件A与B相互独立.当“掷出6点”时,事件A,B同时发生,所以事件A,B不是互斥事件.

4.A　由于摸球是有放回的,所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故事件A与B,A与C均相互独立.因为A与B,A与C均有可能同时发生,所以A与B,A与C均不互斥,故选A.

名师点睛

对互斥事件、对立事件、相互独立事件的理解:

(1)互斥事件是针对事件的分类,互斥事件不可能同时发生,但可能同时不发生.

(2)对立事件必有一个发生一个不发生.对立事件A、B中,A∩B 是不可能事件,A∪B为必然事件.

(3)两个事件相互独立是针对事件的分步,指一个事件发生与否,不影响另一事件发生的概率.相互独立事件A,B同时发生记作“A∩B”或“AB”(又称积事件).

(4)相互独立事件和互斥事件是两个不同的概念,它们之间没有直接关系.

5.C　由题意知,P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,故1-P(A)P(B)是指A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.

6.A　∵A,B是相互独立事件,∴A与也是相互独立事件,

∵P(A)=,P(B)=,

∴P(A)=P(A)·P()=.故选A.

7.D　设小明第一次投篮投中为事件A1,第二次投篮投中为事件A2,则A1与A2相互独立,且P(A1)=P(A2)=0.6,

设“他至少投中一次”为事件A,则,

因此P(A)=1-(1-0.6)×(1-0.6)=0.84.故选D.

8.C　因为事件A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,

所以P(AB)=P(A)P(B)=,

所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,故选C.

9.D　有放回地抽取3次,每次可看作一个独立事件.每次取出的球为红球的概率为,“3次全是红球”为三个独立事件同时发生,其概率为.

10.C　由题意知,所求概率为1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.8)=1-0.004=0.996.

易错警示

解决串联、并联线路问题,其关键是选好解题的目标,串联线路是“通路”容易解决,并联线路“不是通路”容易解决,解题时防止选错目标导致解题错误.

11.答案　

解析　客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用,故所求概率为.

12.答案　

解析　甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-.

13.解析　记“任选一道题目,甲答对”为事件A,“任选一道题目,乙答对”为事件B,则“任选一道题目,甲没有答对”为,“任选一道题目,乙没有答对”为,

根据古典概型的概率计算公式,得

P(A)=,P(B)=,

所以P()=,P()=.

(1)“甲、乙都没有答对”为,易知事件A,B相互独立,

所以P()=P()P()=.

(2)“恰有一人答对”为AB,

所以P(AB)=P(A)+P(B)

=P(A)P()+P()P(B)

=.

能力提升练

1.B　设事件A=“第一次投进球”,B=“第二次投进球”,则得2分的概率P=P(A)+P(B)=0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4=0.48.

2.ABC　设从甲袋中摸出一个红球为事件A,从乙袋中摸出一个红球为事件B,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,事件A,B相互独立,

则两个球都是红球的概率为P(AB)=,故A正确;

两个球中恰有一个红球的概率为P(A)+P(B)=,故B正确;

至少有一个红球的概率为1-P()=1-,故C正确;

两个球不都是红球的概率为1-P(AB)=1-,故D不正确.故选ABC.

3.ACD　由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=,所以A,B两个盒子串联后畅通的概率为,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为,D正确.故选ACD.

4.答案　;

解析　易知甲从袋中取出白球的概率为,取出黑球的概率为,所以甲从袋子中有放回地依次取出3个球,三次都取到白球的概率为.

甲的总得分是7分,即三次取球中,取到2次白球,1次黑球,概率为3×.

5.答案　

解析　在前3局中乙恰好当1次裁判,有两种情况:①第一局乙、丙比赛时乙负,第二局乙当裁判,甲、丙比赛无论胜负第三局乙均不当裁判;

②第一局乙、丙比赛时乙胜,第二局乙、甲比赛时甲胜,第三局丙、甲比赛,乙当裁判.

∴在前3局中乙恰好当1次裁判的概率P=.

6.解析　设甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.

设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).

(1)三人都合格的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.

(2)三人都不合格的概率为P0=P()=P()P()P()=.

(3)恰有两人合格的概率为P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)=.

恰有一人合格的概率为P1=1-P0-P2-P3=1-.

综上可知,恰有一人合格的概率最大.

7.解析　(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B,

甲队总得分为3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=,

甲队总得分为1分,即三人中只有一人回答正确,其余两人都答错,

其概率为P(B)=.

则甲队总得分为3分与1分的概率分别为,.

(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D,

事件C即甲队三人中有两人答对,其余一人答错,

则P(C)=,

事件D即乙队三人中只有一人答对,其余两人答错,

则P(D)=,

由题意得事件C与事件D相互独立,

则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)=P(C)P(D)=.